n阶行列式、性质与展开定理.ppt

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1、行列式,第二章,n 阶行列式,行列式性质与展开定理,克拉默（Cramer）法则 应用举例,第一节n 阶行列式,2023/11/8,3,行列式（Determinant）是线性代数中的一个最基本、最常用的工具，最早出现于求解线性方程组.它被广泛地应用于数学、物理、力学以及工程技术等领域.,了解：关于行列式,2023/11/8,4,设 二元线性方程组,用消元法知：,当 时，,（1）,方程组(1)有解,且,把由四个数排成两行两列,并定义为数 的式子,叫做二阶行列式.,数 称为行列式的元素，元素第一个下标称为行标，表明该元素位于第 i 行；第二个下标称为列标，表明该元素位于第 j 列.,+,-,主对角线

2、,一、二阶与三阶行列式,1、基本概念,行列式是一个数,2023/11/8,5,由二阶行列式的定义，得：,称为方程组（1）的系数行列式,Example 2,便于表示、记忆和推广,求解二元线性方程组,由于,Solution:,（1）,用行列式形式表示方程组的解,2023/11/8,6,类似地，定义三阶行列式,+,-,计算（定义）规则称为对角线规则（或沙流氏规则）.,Example 3,计算三阶行列式,=-5,+12,-2,-5,+8,+3,=11,Solution:,1、基本概念,2023/11/8,7,二、n 阶行列式,用递归的方法来定义 n 阶行列式.,由 n2 个元素 aij(i,j=1,2

3、,n)排成 n 行 n 列，,称为 n 阶行列式.,数,行数与列数相等,特点？,1、基本概念,在(2)式中，a11,a22,ann 所在的对角线称为行列式的主对角线.,2023/11/8,8,M11,M12,M13,Definition 1,在 n 阶行列式 D 中，将 aij 所在的第 i 行第 j 列划去后，余下的元素按原相对位置构成的一个 n-1 阶行列式，称为 aij 的余子式，记作 Mij.,称 Aij=(-1)i+jMij，称为元素 aij 的代数余子式.,二、n 阶行列式,2023/11/8,9,Definition 2,当 n=1 时，定义一阶行列式,若定义了 n-1(n 2)

4、阶行列式，则定义 n 阶行列式为,Dn=a11A11+a12A12+a1nA1n,也称(3)为 n 阶行列式关于第一行的展开式.,数 aij 称为行列式 Dn 的第 i 行第 j 列元素.,Note:,当 n 4 时，对角线法则不再适用 Dn 的计算.,如 4 阶行列式：,按对角线法共有 8 项代数和；,4!=24 项.,但按定义，共有,n 阶行列式？,二、n 阶行列式,2023/11/8,10,Example 4,证明 n 阶下三角行列式(当 i j 时，aij=0，即主对角线以上元素全为零),Proof:,对 n 作数学归纳法，n=2 时，结论显然成立,假设结论对 n-1 阶下三角行列式成

5、立，则由定义得,右端行列式是 n-1 阶下三角行列式，根据归纳假设得,Dn=a11a22ann,特别地，主对角行列式,二、n 阶行列式例子,2023/11/8,11,Example 5,证明 n 阶行列式,Proof:,对 n 作数学归纳法，n=2 时，结论显然成立,假设结论对 n-1 阶行列式成立，则由定义得,根据归纳假设得,特别地，,二、n 阶行列式例子,2023/11/8,12,第二节行列式性质与展开定理,2023/11/8,13,行列式的计算是一个重要却很麻烦的问题.,n 阶行列式共有 n!项，计算它需要 n!(n-1)次乘法,直接用定义计算行列式几乎是不可能的.,因此，有必要进一步讨

6、论行列式的性质，利用这些性质简化行列式的计算.,说明1：,一、行列式按行（或列）展开定理,一般说来，低阶行列式的计算比高阶行列式的计算更简便，所以，是否可用低阶行列式表示高阶行列式，行列式定义已表示n 阶行列式可按第一行展开.,2023/11/8,14,此式说明三阶行列式也可以关于第一列展开.,说明2：三 阶行列式的另几种表达,2023/11/8,15,此式说明三阶行列式也可以关于第二行展开.,Theorem 1,行列式等于它的某一行（或列）的元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即,或,可用数学归纳法证明之,一、行列式按行（或列）展开定理,注,2023/11/8,16,利用 Th.1 可降低行

7、列式的阶数，便于计算.,Example 6,计算,Solution:,按第一列展开,=12,二、行列式展开实例,2023/11/8,17,记,(6),(7),称行列式 DT 为行列式 D 的转置(Transposition)行列式.,Definition 3,将 D 中的行与列互换,也记 D,Property 1,行列式与它的转置行列式相等.,Proof,由 Pro.1 可知，在行列式中，行与列具有相等的地位.因而，行列式对其行具有的性质，对列也成立.,三、行列式的性质,2023/11/8,18,Property 1 的证明,Proof:,对行列式的阶数用数学归纳法.,阶数为 2，结论显然成立

8、.,假设 阶数为 n 1 时，结论成立.,当阶数为 n 时，,Dn=a11A11+a12A12+a1nA1n,按定义（按第一行展开）得,由归纳假设,按 Th.1，上式右端是 按第一列展开式，即,因此，,三、行列式的性质,2023/11/8,19,Example 7,Solution:,计算上三角行列式（i j 时，aij=0）,利用 Pro.1 和 Ex.4 得,=a11a22 ann.,Property 2,互换行列式的两行(列)，行列式值变号.,三、行列式的性质,2023/11/8,20,Property 2 的证明,Proof:,对行列式的阶数用数学归纳法.,阶数为 2，结论显然成立.,

9、假设 阶数为 n 1 时，结论成立.,当阶数为 n 时，设,交换第 i 行与第 j 行为,其中 bi1=aj1，bj1=ai1，bk1=ak1(k=1,2,n;k i，j),三、行列式的性质,2023/11/8,21,=(-1)i+1,(-1)(j-1)-i Mj1,对 D*按第一列展开，得：,其中 Bk1 为 D*的元素 bk1 的代数余子式.,对 k=1,2,n;k i，j，,由归纳假设，Bk1=-Ak1;,Bi1=(-1)i+1,M*i1,由归纳假设,=-(-1)j+1Mj1=-Aj1,同理可得：Bj1=-Ai1,D*=b11B11+bi1Bi1+bj1Bj1+bn1Bn1=a11(-A

10、11)+aj1(-Aj1)+ai1(-Ai1)+an1(-An1)=-(a11A11+ai1Ai1+aj1Aj1+an1An1)=-D,三、行列式的性质,2023/11/8,22,Corollary 1,如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.,只需把这相同的两行（列）互换，得,Corollary 2,行列式某行（列）的元素乘另一行（列）对应元素的代数余子式之和等于零.即,0 k i,0 k j,三、行列式的性质,2023/11/8,23,行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,推论,证明：,由前面的定理，行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子

11、式的乘积之和。,在,中，如果令第 i 行的元素等于另外一行，譬如第 k 行的元素,2023/11/8,24,则，,第i行,右端的行列式含有两个相同的行，值为 0。,证毕,行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,推论,2023/11/8,25,综上，得公式,注：直接应用行列式展开公式并不一定简化计算，因为把一个n阶行列式换成n个（n1）阶行列 式的计算并不减少计算量；只是在行列式中某一行或某一列含有较多的 零时，应用展开定理才有意义。但展开定理在理论上是重要的。,2023/11/8,26,Property 3,用数 k 乘以行列式，相当于用数 k 乘以行列

12、式的某一行（列）的所有元素.,即,第 i 行（列）乘以 k，记作,Corollary 1,行列式中某一行（列）的所有元素的公因子，可以提到行列式符号外面.,三、行列式的性质,2023/11/8,27,Corollary 2,如果行列式中一行（列）为零，则该行列式为零.,(取 k=0),Corollary 3,行列式中如果有两行（列）元素成比例,则 此行列式为零.,(由 Pro.3 Co.1 及 Pro.2 Co.1),Property 4,由Th.1，按该行（列）展开可得.,该行每个元素为两个元素之和,三、行列式的性质,2023/11/8,28,Theorem 1,行列式等于它的某一行（或列）

13、的元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即,或,行列式的性质小结,2023/11/8,29,Property 1,行列式与它的转置行列式相等.,由 Pro.1 可知，在行列式中，行与列具有相等的地位.因而，行列式对其行具有的性质，对列也成立.,行列式的性质小结,2023/11/8,30,Corollary 1,如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.,Corollary 2,行列式某行（列）的元素乘另一行（列）对应元素的代数余子式之和等于零.即,Property 2,互换行列式的两行(列)，行列式值变号.,行列式的性质小结,2023/11/8,31,综上，得公式,注：直接应用行列式展开公

14、式并不一定简化计算，因为把一个n阶行列式换成n个（n1）阶行列 式的计算并不减少计算量；只是在行列式中某一行或某一列含有较多的 零时，应用展开定理才有意义。但展开定理在理论上是重要的。,2023/11/8,32,Property 3,用数 k 乘以行列式，相当于用数 k 乘以行列式的某一行（列）的所有元素.,即,第 i 行（列）乘以 k，记作,Corollary 1,行列式中某一行（列）的所有元素的公因子，可以提到行列式符号外面.,行列式的性质小结,2023/11/8,33,Corollary 2,如果行列式中一行（列）为零，则该行列式为零.,(取 k=0),Corollary 3,行列式中如

15、果有两行（列）元素成比例,则 此行列式为零.,(由 Pro.3 Co.1 及 Pro.2 Co.1),Property 4,由Th.1，按该行（列）展开可得.,行列式的性质小结,2023/11/8,34,Property 5,把行列式的某一行（列）的各元素乘以数 k，然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变.,即,以数 k 乘第 j 行加到第 i 行，记作,（由 Pro.4、Pro.3 Co.3即得）,注意表示！,三、行列式的性质,2023/11/8,35,Example 8,计算,Solution:,化行列式为上（下）三角行列式是一重要方法,=-45,改为 6，如何？,4阶及以上行列式

16、不能用对角线法,三、行列式的性质,2023/11/8,36,Example 8,计算,Solution:,化行列式为上（下）三角行列式是一重要方法,=-45,改为 6，如何？,4阶及以上行列式不能用对角线法,三、行列式的性质,2023/11/8,37,Example 9,计算,Solution:,方法一,D4,=(a+3b)(a-b)3,方法二,D4,=(a+3b)(a-b)3,方法一、方法二对 n 阶也很适用,三、行列式的性质,2023/11/8,38,方法三,将 a=b+(a-b)则,利用 Pro.5 进行拆项，几项?,应有 16 项.,但包含两个或两个以上第一个子列，则为零.,三、行列式

17、的性质,2023/11/8,39,Example 10,试证,Proof：,分析特点:列之和相等,(实质是计算),确定方法,左边,=右边,三、行列式的性质,2023/11/8,40,Example 11,n 阶行列式，满足 aij=-aji i，j=1 n,证明：当 n 为奇数时，D=0.,Proof：,由条件可知：aii=-aii i=1n 得 aii=0,D=(-1)nD,因为 n 为奇数，D=-D,所以 D=0.,三、行列式的性质,2023/11/8,41,Example 12,计算,Solution:,方法一,将各列加到第一列，得,方法二,三、行列式的性质,2023/11/8,42,E

18、xample 13,计算,Solution:,方法一,每行减去第一行，得,方法二,三、行列式的性质,2023/11/8,43,Example 14,计算,Solution:,方法一 从第二行起，前行乘以 x 加到后一行，得,三、行列式的性质,2023/11/8,44,按最后一行展开，得：,Dn=xDn-1+an-1,Dn-1=xDn-2+an-2,方法二(递推法),.,D2=xa0+a1,Dn=xDn-1+an-1,=x2Dn-2+an-2x+an-1,所以,=x3Dn-3+an-3x2+an-2x+an-1=,=xn-2D2+a2xn-1+an-3x2+an-2x+an-1,Dn-2=xDn

19、-3+an-3,=a0 xn-1+a1xn-2+an-2x+an-1,三、行列式的性质,2023/11/8,45,Example 15,设,证明：D=D1D2.,对 m 用数学归纳法即可证明,=？,三、行列式的性质,2023/11/8,46,Example 16,证明 范德蒙德（Vandermonde）行列式,三、行列式的性质,2023/11/8,47,Example 16,证明 范德蒙德（Vandermonde）行列式,Proof:,用数学归纳法,当 n=2,结论成立；,假设对于 n-1 阶 V-行列式，结论成立；,对于 n 阶 V-行列式，从第 n 行开始，后行减去前行的 x1倍.,三、行

20、列式的性质,2023/11/8,48,Dn,上式右端行列式是 n-1 阶 V-行列式，由归纳假设，得,三、行列式的性质,2023/11/8,49,Example 17,计算,Solution:,D4 为 4 阶 V-行列式,其中,故,三、行列式的性质,2023/11/8,50,第三节克莱姆（Cramer）法则,2023/11/8,51,首次讨论线性方程组的求解问题，利用行列式得出一类特殊方程的求解公式.,克莱姆法则：,如果线性方程组,(1),其系数行列式,则方程组(1)有唯一解,简记为,其中 Dj 是用常数项(自由项)b1，b2，bn 替换 D 中第 j 列所成的行列式.,一、克莱姆法则,20

21、23/11/8,52,Proof:,是解；,唯一性.,所以，（2）是（1）的解.,设 是方程组（1）的一个解.,代入方程 得,用 D 中第 j 列元素的代数余子式 依次乘方程组（3）的 n 个方程，再相加，得,左边=右边=Dj,由 Th.1.2 可知 Dcj=Dj,一、克莱姆法则,2023/11/8,53,Example 18,解方程组,Solution:,该位置展开一定带正号,D1=-2，D2=4，D3=0，D4=-1,所以，x1=1，x2=-2，x3=0，x4=1/2.,二、克莱姆法则应用实例,2023/11/8,54,克莱姆法则的意义在于它给出了解与系数的关系,在方程理论上很有价值.但用

22、它来求解是很不方便的.因为，它求解一个 n 个未知量、n 个方程的线性方程组，需计算 n+1 个 n 阶行列式，计算量很大.,Definition 1.8,在方程组（1）中，如果自由项 b1，b2，bn 不全为零，则称（1）为非齐次线性方程组;否则，称为齐次线性方程组.,Corollary 1,零一定是它的解，更关心的是非零解,如果齐次线性方程组,的系数行列式,则方程组只有零解.,Corollary 2,如果齐次线性方程组,有非零解的必要条件是 D=0.,第三章将证明这也是充分的,三、克莱姆法则应用,(1),2023/11/8,55,Example 19,设方程组,问 a、b、c 满足什么条件

23、，方程组有非零解.,Solution:,由 D=0,a、b、c 至少有两个相等.,不难验证，当 a、b、c 中至少有两个相等，方程组有非零解.,2023/11/8,56,小,结,行列式计算、证明的常用方法,定义,性质,降（升）阶,递推,V-行列式,数学归纳法,2023/11/8,57,第 二 章 行列式,完,2023/11/8,58,第二章练习,P36，习题2(A)第3(5)；4(3)；5；7(B),2023/11/8,59,答疑：联合收入问题,X,Y,Z三公司股份关系如图：X公司拥有Z公司60%股份，Z公司掌握X公司20%股份，而X公司有80%的股份不受其他两家公司控制，等等。设各自营业净收

24、入分别是10、8和6万元。每家的联合收入=净收入+在其他公司的股份按比例的提成收入。求：各公司联合收入及实际收入。,2023/11/8,60,联合收入=本公司营业净收入+在其他公司股份比例的提成收入设：X，Y，Z联合收入分别为x，y，z，则：三公司实际收入分别为0.8x,0.1y,0.2z,整理为,答疑：联合收入问题,2023/11/8,61,Matlab代码为：Syms x y zeq1=sym(x-0.8*y-0.6*z=10)eq2=sym(y-0.2*z=8)eq3=sym(-0.2*x-0.1*y+z=6)x y z=solve(eq1,eq2,eq3),答疑：联合收入问题,2023/11/8,62,思考、不计算证明下列行列式可以被499整除.,=,=,=,2023/11/8,63,=,思考、不计算证明下列行列式可以被499整除.,2023/11/8,64,习题2作业,P36，习题2(A)第2(1,2);3(3,5);4(3,4);6，8(1);9;10,