MATLAB数值计算-河南教育学院.ppt

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1、第4章 MATLAB 数值计算(2),2,4.4 多项式函数,4.4.1 多项式的表示MATLAB中多项式的表示方法：,例如：行向量 p=1-12 0 25 116对应的多项式为：,3,4.4.2多项式的算术运算,1 加减运算,4,5,2 乘法运算,MATLAB支持多项式乘法，函数格式为：函数conv(P1,P2)求多项式P1和P2的乘积。这里，P1，P2是两个多项式系数向量。,例 4-44 计算c=conv(1 2 2,1 5 4)执行结果如下：c=1 7 16 18 8由执行结果可知:,6,3 除法运算Q,r=deconv(P1,P2)对多项式P1和P2作除法运算。其中Q返回多项式P1除以

2、P2的商式，r返回P1除以P2的余式。注意deconv是conv的逆函数，即有P1=conv(P2,Q)+r。,7,例4-45 计算Q=deconv(1 8 0 0-10,2-1 3)Q=0.5000 4.2500 1.3750Q,r=deconv(1 8 0 0-10,2-1 3)执行结果如下：Q=0.5000 4.2500 1.3750r=0 0 0-11.3750-14.1250由执行结果可知商是:余式是:,8,4.4.3 导函数,p=polyder(P)求多项式P的导函数pp=polyder(P,Q)求PQ的导函数pp,q=polyder(P,Q)求P/Q的导函数，导函数的分子存入p，

3、分母存入q。,9,例4-46 求的导数,p=3-2 1;polyder(p)执行结果为：ans=6-2结果是,10,a=3-2 1;b=4 5 6;polyder(a,b)执行结果为：ans=48 21 24-7结果是,例4-47 求的导数,11,例4-48 求 的导数。,a=3-2 1;b=4 5 6;q,d=polyder(a,b)执行结果为：q=23 28-17d=16 40 73 60 36,12,例4-49 求有理分式 的导数。,P=1;Q=1,0,5;p,q=polyder(P,Q)执行结果为：p=-2 0q=1 0 10 0 25,13,4.4.4 多项式求根,x=roots(P

4、)其中P为多项式的系数向量，求得的根赋给向量x，即x(1),x(2),x(n)分别代表多项式的n个根。给出一个多项式的根，可以构造相应的多项式。若已知多项式的全部根，则可以用poly函数建立起多项式，其调用格式为：P=poly(x)x为具有n个元素的向量，poly(x)为以x为其根的多项式，且将该多项式的系数赋给向量P。,14,例4-50 求多项式的 根,A=1,8,0,0,-10;x=roots(A)执行结果如下：x=-8.0194 1.0344-0.5075+0.9736i-0.5075-0.9736i由结果可以看出，方程的根为两个实根和一对共轭复根,15,例4-51 求方程 的根。,r=

5、1-7 2 40;p=roots(r);执行结果如下：p=5.0000 4.0000-2.0000由结果可以看出，方程的根均为实根5.000，4.0000和-2.0000。,16,例 4-52已知(1)计算 的全部根。(2)由方程 的根构造一个多项式并与 进行对比。,P=3,0,4,-5,-7.2,5;X=roots(P)%求方程f(x)=0的根G=poly(X)%求多项式G(x),17,执行结果为：X=-0.3046+1.6217i-0.3046-1.6217i-1.0066 1.0190 0.5967 G=1.0000 0.0000 1.3333-1.6667-2.4000 1.6667注

6、意：构造的多项式的首项系数为1。,18,4.4.5多项式估值,1 代数多项式求值 Y=polyval(P,x)求代数多项式的值。若x为一常数，则求多项式P在该点的值，Y=P(1)x N+P(2)x(N-1)+.+P(N)x+P(N+1)若x为向量或矩阵，则对向量或矩阵中的每个元素求多项式P的值，返回值为与自变量同型的向量或矩阵。,19,例4-53 已知 分别计算 和 时 的值。,P=1 8 0 0-10；x=1.2；Y=polyval(P,x)执行结果如下：Y=5.8976y=2 3 4;5 4 1;Y=polyval(P,y)执行结果如下：Y=70 287 758 1615 758-1,20

7、,2 矩阵多项式求值,polyvalm函数用来求矩阵多项式的值，要求以方阵x为自变量求多项式的值。,21,例4-54 当x取 时求 的值。,p=1-5 0 8;a=2 3 5;5 8 1;7 6 9;polyvalm(p,a)执行结果：ans=552 690 562 548 686 538 1148 1422 1154,22,polyval(p,a)执行结果：ans=-4-10 8 8 200 4 106 44 332,23,例4-55 当x=8时求(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)的值。,p=poly(1 2 3 4)，polyvalm(p,8)执行结果如下：p=1-10 35-50

8、24ans=840,24,4.4.6 部分分式函数,R,P,K=residue(B,A)功能：返回部分分式和余数。R为极点，P为零点，K为余数。,25,例4-56 求 的部分分式。,num=10*1 2;%numerator polynomialden=poly(-1;-3;-4);%denominator polynomialres,poles,k=residue(num,den),26,执行结果为：res=-6.6667 5.0000 1.6667poles=-4.0000-3.0000-1.0000k=,27,4.4.7多项式积分,polyint(P,K)返回多项式P的积分。K 为常数项

9、（默认值为0）。,28,例4-57 求。,p=3-2 1;polyint(p,2)ans=1-1 1 2polyint(p)%常数为0ans=1-1 1 0由执行结果可知：,（为常数项，本例中为2和0）。,29,4.5插值和拟合,4.5.1数值插值1 一维数值插值 Y1=interp1(X,Y,X1,method)函数根据X,Y的值，计算函数在X1处的值。X,Y是两个等长的已知向量，描述数据点，X1是一个向量或标量，描述欲插值的点，Y1是一个与X1等长的插值结果。,30,method是插值方法，可用的方法有：linear 默认方法，线性插值。nearest 最邻近插值。spline 三次样条插

10、值。cubic 三次插值，要求x的值等距离。所有插值方法均要求x是单调的。注意：X1的取值范围不能超出X的给定范围，否则，会给出“NaN”错误。,31,例4-58 求正弦、余弦函数在区间0 1内间 隔为0.25的各点的值。,x=0:1;y1=sin(x);y2=cos(x);xi=0:.25:1;yi1=interp1(x,y1,xi),yi2=interp1(x,y2,xi)%线性插值方法yi1=interp1(x,y1,xi,nearest),yi2=interp1(x,y2,xi,nearest)%最邻近插值,32,2 二维数值插值,Z1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1,meth

11、od)二维插值。其中X,Y是两个向量，分别描述两个参数的采样点，Z是与参数采样点对应的函数值，X1,Y1是两个向量或标量，描述欲插值的点。Z1是根据相应的插值方法得到的插值结果。,33,4.5.2 数据拟合,polyfit函数求最小二乘拟合多项式的系数，调用格式为：P,S=polyfit(X,Y,m)功能：根据采样点X和采样点函数值Y，产生一个m次多项式P及其在采样点的误差向量S。其中X,Y是两个等长的向量，P是一个长度为m+1的多项式系数向量。,34,例4-59已知 在1，3区间10个采样点的函数值，求 的4次拟合多项式p(x)。,35,例4-60 已知数表如下 x9 10 11 12 f(

12、x)2.6093 1.7586 1.39791.9483求4次拟合多项式f(x)，并计算f(10.5)的近似值。,36,4.6数值微分与积分,4.6.1差分,DX=diff(X)计算向量X的向前差分，DX(i)=X(i+1)-X(i)，i=1,2,n-1。,DX=diff(X,n)计算向量X的n阶向前差分，如 diff(X,2)=diff(diff(X)。,DX=diff(A,n,dim)计算矩阵A的n阶差分，dim=1时(缺省状态)，按列计算差分；dim=2，按行计算差分。,37,例4-61 求矩阵 的差分。,38,4.6.2数值积分1数值积分基本原理 高等数学中求解定积分的数值方法有简单的

13、梯形法、辛普生(Simpson)法、牛顿柯特斯(Newton-Cotes)法等，基本思想都是将整个积分区间a,b分成n个子区间xi,xi+1，i=1,2,n，其中x1=a，xn+1=b。这样求定积分问题就分解为求和问题。,39,2 一重积分,I,n=quad(fname,a,b,tol,trace)基于变步长辛普生法的求定积分。其中:fname 是被积函数。a和b 分别是定积分的下限和上限。tol 用来控制积分精度，缺省时取tol=0.001。trace 控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取trace=0。返回参数I即定积分值，n为被积函数的调用次数。,40,I

14、,n=quad8(fname,a,b,tol,trace)基于牛顿柯特斯法求定积分。其中参数的含义和quad函数相似，只是tol的缺省值取10-6。,41,例4-62 求,（1）建立被积函数文件fesin.mfunction f=fesin(x)f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6);（2）调用数值积分函数quad求定积分S,n=quad(fesin,0,3*pi)执行结果如下：S=0.9008n=77,42,例4-63 求,(1)被积函数文件fx.m。function f=fx(x)f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x);(2)调用函数quad8求定积分。

15、I=quad8(fx,0,pi)执行结果如下：I=2.4674,43,例4-64 分别用quad函数和quad8函数求 的近似值，并在相同的积分精度下，比较函数的调用次数。,44,以表格形式定义的函数的求定积分函数trapz的格式为：trapz(X,Y)其中向量X,Y定义函数关系Y=f(X)。,例 4-65 用trapz函数计算定积分。X=1:0.01:2.5;Y=exp(-X);%生成函数关系数据向量trapz(X,Y),45,3 二重定积分,I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace)求f(x,y)在a,bc,d区域上的二重定积分。,46,例4-66 计算二重定积分,47,重点内容：,（1）统计分析函数的应用；（2）矩阵分析函数的应用；（3）多项式运算函数的应用。,