MATLAB数值计算一.ppt

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1、第4讲MATLAB数值计算一,西南科技大学网络教育系列课程,数学软件,数学软件,主讲教师:鲜大权 副教授,西南科技大学理学院数学系,4.1 特殊矩阵4.2 矩阵分析4.3 矩阵分解与线性方程组求解4.4 数据处理与多项式计算,4.1 特殊矩阵,4.1.1对角阵与三角阵1.矩阵的对角元素(1)提取矩阵的对角线元素 设A为mn矩阵，diag(A)函数用于提取矩阵A主对角线元素产生一个具有min(m,n)个元素的列向量。diag(A)函数还有更进一步的形式diag(A,k)，其功能是提取第k条对角线的元素。(2)构造对角矩阵 设V为具有m个元素的向量，diag(V)将产生一个mm对角矩阵，其主对角线

2、元素即为向量V的元素。diag(V)函数也有更进一步的形式diag(V,k)，其功能是产生一个nn(n=m+)对角阵，其第k条对角线的元素即为向量V的元素。,例4.1 先建立55矩阵A，然后将A的第1行元素乘以1，第2行乘以2，第5行乘以5。命令如下：A=17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12,19,21,3;11,18,25,2,19;D=diag(1,2,3,4,5);D*A,2.矩阵的三角阵(1)下三角矩阵 求矩阵A的下三角阵的MATLAB函数是tril(A)。tril(A)函数也有更进一步的一种形式tril(A,k)，其功能是求矩阵A的第k

3、条对角线以下的元素。(2)上三角矩阵 在MATLAB中，提取矩阵A的上三角矩阵的函数是triu(A)和triu(A,k)，其用法与提取下三角矩阵的函数tril(A)和tril(A,k)完全相同。,4.1.2 特殊矩阵的生成 1.魔方矩阵 函数magic(n)，其功能是生成一个n阶魔方阵。例4.2 将101125等25个数填入一个5行5列的表格中，使其每行每列及对角线的和均为565。命令如下：B=100+magic(5)2.范得蒙矩阵 函数vander(V)生成以向量V为基础向量的范得蒙矩阵。,3.希尔伯特矩阵 生成希尔伯特矩阵的函数是hilb(n)。MATLAB中，有一个专门求希尔伯特矩阵的逆

4、的函数invhilb(n)，其功能是求n阶的希尔伯特矩阵的逆矩阵。4.托普利兹矩阵 生成托普利兹矩阵的函数是toeplitz(x,y)，它生成一个以x为第1列，y为第1行的托普利兹矩阵。这里x,y均为向量，二者不必等长。5.友矩阵 生成友矩阵的函数是：compan(P)，生成多项式P的友矩阵。P是一个多项式的系数向量，高次幂系数排在前，低次幂排在后。6.帕斯卡矩阵 函数pascal(n)生成一个n阶的帕斯卡矩阵。,例4.3求(x+y)5的展开式。在MATLAB命令窗口，输入命令：pascal(6)ans=1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 1 3 6 10 15 21 1 4 10

5、 20 35 56 1 5 15 35 70 126 1 6 21 56 126 252其次对角线上的元素1，5，10，10，5，1即为展开式的系数。,4.2 矩阵分析,4.2.1 矩阵结构变换1.矩阵的转置转置运算符是单撇号()。2.矩阵的旋转矩阵的旋转利用函数rot90(A,k)，功能是将矩阵A旋转90的k倍，当k为1时可省略。3.矩阵的左右翻转对矩阵A实施左右翻转的函数是fliplr(A)。4.矩阵的上下翻转对矩阵A实施上下翻转的函数是flipud(A)。,4.2.2 矩阵的逆与伪逆1.矩阵的逆 求一个矩阵的逆非常容易。求方阵A的逆可调用函数inv(A)。例4.4 用求逆矩阵的方法解线性

6、方程组。命令如下：A=1,2,3;1,4,9;1,8,27;b=5,2,6;x=inv(A)*b一般情况下，用左除比求矩阵的逆的方法更有效，即x=Ab。,2.矩阵的伪逆MATLAB中，求一个矩阵伪逆的函数是pinv(A)。例4.5 求A的伪逆，并将结果送B。命令如下：A=3,1,1,1;1,3,1,1;1,1,3,1;B=pinv(A)例4.6 求矩阵A的伪逆。在MATLAB命令窗口，输入命令：A=0,0,0;0,1,0;0,0,1;pinv(A),4.2.3 方阵的行列式求方阵A所对应的行列式的值的函数是det(A)。例4.7用克莱姆(Cramer)方法求解线性方程组。程序如下：D=2,2,

7、-1,1;4,3,-1,2;8,5,-3,4;3,3,-2,2;%定义系数矩阵b=4;6;12;6;%定义常数项向量D1=b,D(:,2:4);%用方程组的右端向量置换D的第1列D2=D(:,1:1),b,D(:,3:4);%用方程组的右端向量置换D的第2列D3=D(:,1:2),b,D(:,4:4);%用方程组的右端向量置换D的第3列D4=D(:,1:3),b;%用方程组的右端向量置换D的第4列DD=det(D);x1=det(D1)/DD;x2=det(D2)/DD;x3=det(D3)/DD;x4=det(D4)/DD;x1,x2,x3,x4,4.2.4 矩阵的秩MATLAB中，求矩阵秩

8、的函数是rank(A)。例如，求例5.7中方程组系数矩阵D的秩，命令是：D=2,2,-1,1;4,3,-1,2;8,5,-3,4;3,3,-2,2;r=rank(D)r=4说明D是一个满秩矩阵。,4.2.5 向量和矩阵的范数1.计算向量3种常用范数的函数(1)norm(V)或norm(V,2)计算向量V的2范数(2)norm(V,1)计算向量V的1范数(3)norm(V,inf)计算向量V的范数例4.8 已知V，求V的3种范数。命令如下：V=-1,1/2,1;v1=norm(V,1)%求V的1范数v2=norm(V)%求V的2范数vinf=norm(V,inf)%求范数,2.矩阵的范数及其计算

9、函数MATLAB中提供了求3种矩阵范数的函数，其函数调用格式与求向量的范数的函数完全相同例4.9 求矩阵A的三种范数。命令如下：A=17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12,19,21,3;11,18,25,2,19;a1=norm(A,1)%求A的1范数a2=norm(A)%求A的2范数ainf=norm(A,inf)%求A的范数,4.2.6 矩阵的条件数和迹1.的条件数MATLAB中，计算矩阵A的3种条件数的函数是：(1)cond(A,1)计算A的1范数下的条件数(2)cond(A)或cond(A,2)计算A的2范数数下的条件数(3)cond(A

10、,inf)计算A的 范数下的条件数例4.10 求矩阵X的三种条件数。命令如下：A=2,2,3;4,5,-6;7,8,9;C1=cond(A,1)C2=cond(A)C3=cond(A,inf),2.矩阵的迹MATLAB中，求矩阵的迹的函数是trace(A)。例如，X=2 2 3;4 5-6;7 8 9;trace(X)ans=16,4.2.7 矩阵的特征值与特征向量MATLAB中，计算矩阵A的特征值和特征向量的函数是eig(A)，常用的调用格式有3种：(1)E=eig(A)求矩阵A的全部特征值，构成向量E。(2)V,D=eig(A)求矩阵A的全部特征值，构成对角阵D，并求A的特征向量构成V的列

11、向量。(3)V,D=eig(A,nobalance)与第2种格式类似，但第2种格式中先对A作相似变换后求矩阵A的特征值和特征向量，而格式3直接求矩阵A的特征值和特征向量。,例4.11 用3种不同的格式求A的特征值和特征向量。命令如下：A=1,2,2;1,-1,1;4,-12,1;E=eig(A)V,D=eig(A)V,D=eig(A,nobalance),例4.12用求特征值的方法解方程。命令如下：p=3,-7,0,5,2,-18;A=compan(p);%A的友矩阵x1=eig(A)%求A的特征值x2=roots(p)%直接多项式p的零点两种方法求得的方程的根是完全一致的，实际上，roots

12、函数正是应用求友矩阵的特征值的方法来求方程的根。,4.2.8 MATLAB在三维向量中的应用1.向量共线或共面的判断例4.13 设X=(1，1，1)，Y=(-1，2，1)，Z=(2，2，2)，判断这三个向量的共线共面问题。命令如下：X=1,1,1;Y=-1,2,1;Z=2,2,2;XY=X;Y;YZ=Y;Z;ZX=Z;X;XYZ=X;Y;Z;rank(XY)rank(YZ)rank(ZX)rank(XYZ),2.向量方向余弦的计算例4.14设向量V=(5，-3，2)，求V的方向余弦。建立一个函数文件direct.m：function f=f(v)r=norm(v);if r=0 f=0else

13、 f=v(1)/r,v(2)/r,v(3)/r;endreturn在MATLAB命令窗口，输入命令：v=5,-3,2;f=direct(v),3.向量的夹角例4.15 设U=(1，0，0)，V=(0，1，0)，求U,V间的夹角。命令如下：U=1,0,0;V=0,1,0;r1=norm(U);r2=norm(V);UV=U*V;cosd=UV/r1/r2;D=acos(cosd)4.两点间的距离例4.16 设 U=(1，0，0)，V=(0，1，0)，求U、V两点间的距离。命令如下：U=1,0,0;V=0,1,0;UV=U-V;D=norm(UV),5.向量的向量积例4.17设U=(2，-3，1)

14、，V=(3，0，4)，求UV。命令如下：U=2,-3,1;V=3,0,4;W=eye(3);A1=W(1,:);U;V;A2=W(2,:);U;V;A3=W(3,:);U;V;UV=det(A1),det(A2),det(A3)UV=-12-5 96.向量的混合积例4.18 设U=(0，0，2)，V=(3，0，5)，W=(1，1，0)，求以这三个向量构成的六面体的体积。命令如下：U=0,0,2;V=3,0,5;W=1,1,0;A=U;V;W;det(A)ans=6,7.点到平面的距离例4.19求原点到平面X+Y+Z=1的距离。命令如下：u=0,0,0;v=1,1,1;%A=B=C=1,u1=u

15、2=u3=0,D=-1r=abs(u*v-1)/norm(v,2)r=0.5774,4.3 矩阵分解与线性方程组求解,4.3.1矩阵分解1.实对称矩阵的QDQ分解例4.20设对称矩阵A，对A进行QDQ分解。命令如下：A=2,1,4,6;1,2,1,5;4,1,3,4;6,5,4,2;Q,D=eig(A)Q*D*Qans=2.0000 1.0000 4.0000 6.0000 1.0000 2.0000 1.0000 5.0000 4.0000 1.0000 3.0000 4.0000 6.0000 5.0000 4.0000 2.0000结果与A相等，说明确实将A分解为了QDQ的乘积。,例4.

16、21求下列二次型的标准形式及变换矩阵。命令如下：A=1,2,1;2,1,1;1,1,3;Q,D=eig(A)进一步作线性变换即得关于u,v,w的标准二次型：2.矩阵的LU分解MATLAB中，完成LU分解的函数是：(1)L,U=lu(A)将方阵A分解为交换下三角矩阵L和上三角矩阵U，使 A=LU。(2)L,U,P=lu(A)将方阵A分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U，使 PA=LU。,例4.22用LU分解求方程组的根。3.矩阵的QR分解对矩阵A进行QR分解的函数是Q,R=qr(A)，根据方阵A，求一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R，使A=Q*R。例如，对矩阵A进行QR分解的命令是：A=2,1,-2;

17、1,2,1;2,5,3;Q,R=qr(A),4.3.2 线性方程组求解1.线性方程组解的一般讨论解线性方程组的一般函数文件如下：function x,y=line_solution(A,b)m,n=size(A);y=;if norm(b)0%非齐次方程组 if rank(A)=rank(a,b)%方程组相容 if rank(A)=m%有唯一解 x=Ab;else%方程组有无穷多个解,基础解系 disp(原方程组有有无穷个解，其齐次方程组的基础解系为y，特解为x);y=null(A,r);x=Ab;end else%方程组不相容，给出最小二乘法解 disp(方程组的最小二乘法解是：);x=Ab

18、;end else%齐次方程组 if rank(A)=n%列满秩 x=zero(m,1)%0解 else%非0解 disp(方程组有无穷个解，基础解系为x);x=null(A,r);end endreturn,2.应用举例例4.23求线性方程组的解。在MATLAB命令窗口，输入命令：A=2,2,-1,1;4,3,-1,2;8,5,-3,4;3,3,-2,2;b=4,6,12,6;x,y=line_solution(A,b)%调用自定义函数例4.24求下列线性方程组的解。在MATLAB命令窗口，输入命令：A=2,7,3,1;3,5,2,2;9,4,1,7;b=6,4,2;x,y=line_sol

19、ution(A,b),5.4 数据处理与多项式计算,4.4.1 数据统计与分析1.求矩阵最大和最小元素(1)求向量的最大最小元素y=max(X)返回向量X的最大元素存入y。y,I=max(X)返回向量X的最大元素存入y，最大元素的序号存入I。(2)求矩阵的最大和最小元素max(A)返回一个行向量，向量的第i个元素是A矩阵的第i列上的最大元素。Y,U=max(A)返回两个行向量，Y向量记录A的每列的最大元素，U向量记录每列最大元素的行号。max(A,dim)dim取1或2。dim取1时，该函数和max(A)完全相同。dim取2时，该函数返回一个列向量，其第i个元素是A矩阵的第i行上的最大元素。,

20、(3)两个向量或矩阵对应元素的比较U=max(A,B)A,B是两个同型的向量或矩阵。结果U是与A,B同型的向量或矩阵，U的每个元素等于A,B对应元素的较大者。U=max(A,n)n是一个标量。结果U是与A同型的向量或矩阵，U的每个元素等于A对应元素和n中的较大者。min函数的用法和max完全相同。,例4.25 求矩阵A的每行及每列的最大和最小元素，并求整个矩阵的最大和最小元。命令如下：A=13,-56,78;25,63,-235;78,25,563;1,0,-1;max(A,2)%求每行最大元素min(A,2)%求每行最小元素max(A)%求每列最大元素min(A)%求每列最小元素max(ma

21、x(A)%求整个矩阵的最大元素min(min(A)%求整个矩阵的最小元素,2.求矩阵的平均值和中值求矩阵和向量元素的平均值的函数是mean，求中值的函数是median。它们的调用方法和max函数完全相同。3.矩阵元素求和与求积矩阵和向量求和与求积的基本函数是sum和prod，其使用方法和max类似。,例4.26求矩阵A的每行元素的乘积和全部元素的乘积。命令如下：A=1,2,3,4;5,6,7,8;9,10,11,12;S=prod(A,2)prod(S)%求A的全部元素的乘积4.矩阵元素累加和与累乘积MATLAB中，使用cumsum和cumprod函数能方便地求得向量和矩阵元素的累加和与累乘积

22、向量，函数的用法和sum及prod相同例4.27求向量X=(1！，2！，3！，10！)。命令如下：X=cumprod(1:10),5.标准方差MATLAB中，提供了计算数据序列的标准方差的函数std。对于向量X，std(X)返回一个标准方差。对于矩阵A，std(A)返回一个行向量，它的各个元素便是矩阵A各列或各行的标准方差。std函数的一般调用格式为：std(A,FLAG,dim)其中dim取1或2。当dim=1时，求各列元素的标准方差；当dim=2时，则求各行元素的标准方差。FLAG取0或1。,6.元素排序MATLAB中对向量X是排序函数是sort(X)，函数返回一个对X中的元素按升序排列的

23、新向量。sort函数也可以对矩阵A的各列(或行)重新排序，其调用格式为：Y,I=sort(A,dim)其中dim指明对A的列还是行进行排序，若dim=1，则按列排，若dim=2，则按行排。Y是排序后的矩阵，而I记录Y中的元素在A中位置。,例4.28对矩阵做各种排序。命令如下：A=1,-8,5;4,12,6;13,7,-13;sort(A)%对A的每列按升序排序-sort(-A,2)%对A的每行按降序排序X,I=sort(A)%对A按列排序，并将每个元素所在行号送矩阵I,4.4.2 数值插值1.一维数值插值interp1函数调用格式为：Y1=interp1(X,Y,X1,method)函数根据X

24、、Y的值，计算函数在X1处的值。X、Y是两个等长的已知向量，分别描述采样点和样本值，X1是一个向量或标量，描述欲插值的点，Y1是一个与X1等长的插值结果。method是插值方法，允许的取值有linear(线性插值)、nearest(最近插值)、spline(三次样条插值)、cubic（三次多项式插值），缺省值是linear。,例4.29用不同的插值方法计算sin(x)在/2点的值。这是一个一维插值问题。在MATLAB命令窗口，输入命令：X=0:0.2:pi;Y=sin(X);%给出X、Yinterp1(X,Y,pi/2)%用缺省方法(即线性插值方法)计算sin(/2)interp1(X,Y,p

25、i/2,nearest)%用最近方法计算sin(/2)interp1(X,Y,pi/2,linear)%用线性方法计算sin(/2)interp1(X,Y,pi/2,spline)%用三次样条方法计算sin(/2)interp1(X,Y,pi/2,cubic)%用三次多项式方法计算sin(/2)MATLAB中有一个专门的三次样条插值函数Y1=spline(X,Y,X1)，其功能及使用方法与函数Y1=interp1(X,Y,X1,spline)完全相同。,例4.30 已知检测参数f随时间t的采样结果，用数值插值法计算t=2，7，12，17，22，17，32，37，42，47，52，57时f的值。

26、这是一个一维数值插值问题，命令如下：T=0:5:65;X=2:5:57;F=3.2015,2.2560,879.5,1835.9,2968.8,4136.2,5237.9,6152.7,.6725.3,6848.3,6403.5,6824.7,7328.5,7857.6;F1=interp1(T,F,X)%用线性方法插值F1=interp1(T,F,X,nearest)%用最近方法插值F1=interp1(T,F,X,spline)%用三次样条方法插值F1=interp1(T,F,X,cubic)%用三次多项式方法插值,2.二维数值插值MATLAB中，提供了解决二维插值问题的函数。其调用格式为

27、：Z1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1,method)其中X、Y是两个向量，分别描述两个参数的采样点，Z是与参数采样点对应的采样变量的样本值，X1、Y1是两个向量或标量，描述欲插值的点。method的取值与一维插值函数相同。,例4.31设Z=x2+y2，对Z函数在(0，1)(0，2)区域内进行插值。命令如下：x=0:0.1:10;y=0:0.2:20;X,Y=meshgrid(x,y);Z=X.2+Y.2;interp2(x,y,Z,0.5,0.5)%对函数在(0.5,0.5)点进行插值interp2(x,y,Z,0.5 0.6,0.4)%对函数在(0.5,0.4)点和(0.6，0.4

28、)点进行插值interp2(x,y,Z,0.5 0.6,0.4 0.5)%对函数在(0.5,0.4)点和(0.6，0.5)点进行插值interp2(x,y,Z,0.5 0.6,0.4 0.5)%对函数在(0.5,0.4),(0.6,0.4),(0.5,0.5)和(0.6,0.5)点进行插值,3.三维数值插值对三维函数插值的函数是interp3，其使用方法和interp2相同。其调用格式为：W1=interp3(X,Y,Z,W,X1,Y1,Z1,method)函数返回三维插值结果。其中X、Y、Z是三个向量，分别描述三个参数的采样点，W是与参数采样点对应的采样变量的样本值，X1、Y1、Z1是三个向

29、量或标量，描述欲插值的点。method是插值方法，可选，其缺省值是 line。method的取值与一、二维插值函数相同。,4.4.3 曲线拟合MATLAB中，提供了解决使用最小二乘法进行曲线拟合的函数。调用格式为：P,S=polyfit(X,Y,m)函数根据采样点X和采样点函数值Y，产生一个m次多项式P及其在采样点的误差向量S。其中X、Y是两个等长的向量，P是一个长度为m+1的向量。,例4.32 用一个5次多项式在区间0，2内逼近函数sin(x)。命令如下：X=linspace(0,2*pi,50);Y=sin(X);P,S=polyfit(X,Y,5)%得到5次多项式的系数和误差plot(X

30、,Y,k*,X,polyval(P,X),k-),4.4.4 多项式计算1.多项式的建立已知一个多项式的全部根X求多项式系数的函数是poly(X)，该函数返回以X为全部根的一个多项式P，当X是一个长度为m的向量时，P是一个长度为m+1的向量。2.多项式求根求多项式p(x)的根的函数是roots(P)，这里，P是p(x)的系数向量，该函数返回方程p(x)=0的全部根(含重根，复根)。3.多项式求值求多项式p(x)在某点或某些点的函数值的函数是polyval(P,x)。若x为一数值，则求多项式在该点的值；若x为向量或矩阵，则对向量或矩阵中的每个元素求其多项式的值。,例4.33 已知一个多项式，计算

31、：(1)计算f(x)=0 的全部根。(2)由方程f(x)=0的根构造一个多项式g(x)，并与f(x)进行对比。(3)计算f(5)、f(7.8)、f(9.6)、f(12.3)的值。命令如下：P=3,0,4,-5,-7.2,5;X=roots(P)%求方程f(x)=0的根G=poly(X)%求多项式g(x)X0=5,7.8,9.6,12.3;f=polyval(P,X0)%求多项式f(x)在给定点的值多项式求值还有一个函数是polyvalm，其调用格式与polyval相同，但含义不同。polyvalm函数要求x为方阵，它以方阵为自变量求多项式的值。,4.多项式的四则运算(1)多项式的加减法(2)多

32、项式的乘法函数conv(P1,P2)用于求多项式P1和P2的乘积。(3)多项式的除法函数Q,r=deconv(P1,P2)用于对多项式P1和P2作除法运算。其中Q返回多项式P1除以P2的商式，r返回P1除以P2的余式。这里，Q和r仍是多项式系数向量。deconv是conv的逆函数，即有P1=conv(P2,Q)+r。,例4.34设有两个多项式，计算：(1)求f(x)+g(x)、f(x)-g(x)。(2)求f(x)g(x)、f(x)/g(x)。在MATLAB命令窗口，输入命令：f=3,-5,2,-7,5,6;g=3,5,-3;g1=0,0,0,g;f+g1%求f(x)+g(x)f-g1%求f(x

33、)-g(x)conv(f,g)%求f(x)*g(x)Q,r=deconv(f,g)%求f(x)/g(x)，商式送Q，余式送r。,5.多项式的导函数对多项式求导数的函数是：p=polyder(P)求多项式P的导函数p=polyder(P,Q)求P*Q的导函数p,q=polyder(P,Q)求P/Q的导函数，导函数的分子存入p，分母存入q。,例4.35求有理分式的导数。命令如下：P=3,5,0,-8,1,-5;Q=10,5,0,0,6,0,0,7,-1,0,-100;p,q=polyder(P,Q),4.4.5 函数的最大值与最小值MATLAB中用于求最小值的函数是：fmin(f,a,b)求单变量

34、函数f(x)在区间(a,b)上的最小值点。fmins(F,X0)求多变量函数F(x)在估计值X0附近的最小值点。MATLAB没有专门提供求函数最大值点的函数，但只要注意到-f(x)在区间(a,b)上的最小值点就是f(x)在(a,b)的最大值点，所以fmin(-f,a,b)返回函数f(x)在区间(a,b)上的最大值。,例4.36 求函数f(x)在区间(-10，1)和(1，10)上的最小值点。首先建立函数文件fx.m：function f=f(x)f=x-1/x+5;return再在MATLAB命令窗口，输入命令：fmin(fx,-10,-1)%求函数在区间(-10，-1)内的最小值点fmin(f,1,10)%求函数在区间(1，10)内的最小值点。注意函数名f不用加,例4.37 设有函数f(x,y,z)，求函数f在(0.5,0.5,0.5)附近的最小值。建立函数文件fxyz.m：function f=f(u)x=u(1);y=u(2);z=u(3);f=x+y.2./x/4+z.2./y+2./z;return在MALAB命令窗口，输入命令：U=fmins(fxyz,0.5,0.5,0.5)%求函数的最小值点fxyz(U)%求函数的最小值,