MATLAB02矩阵与数组.ppt

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1、1,第二章 矩阵与数组,MATLAB的运算事实上是以矩阵(matrix)及数组(array)方式在做运算，而这二者在MATLAB中的基本运算性质不同，矩阵采用线性代数的运算方式，而数组强调元素对元素的运算。矩阵和数组在MATLAB中的表达形式是同样的。当一个变量为矩阵或是数组时，如果是要个别键入元素，须用中括号 将元素置于其中。MATLAB以矩阵为基本的运算单位，向量和标量作为特殊的矩阵处理：向量看作只有一行或一列的矩阵；标量看作是只有一个元素的矩阵。,2,2.1 矩阵1.矩阵的创建（1）用直接输入法创建矩阵 当需要的矩阵维数比较小时，从键盘上直接输入一系列矩阵元素是最 直接、数值矩阵的创建方

2、法。直接输入法需遵循以下基本规则：整个矩阵应以“”为首尾，即整个输入矩阶必须包含在方括号中；矩阵中，行与行之间必须用分号(;)或Enter键(按Enter键)符分隔；每行中的元素用逗号(,)或空格分隔；矩阵中的元素可以是数字或表达式，但表达式中不可包含未知的变量，MATLAB用表达式的值为该位置的矩阵元素赋值。当矩阵中没有任何 元素时，该矩阵被称作“空阵”(Empty Matrix)。,3,例2-1 用直接输入法创建一个44的A矩阵。只要在MATLAB上作窗口中直接输入下列矩阵元素即可：A=2 3 4 5;3 4 5 6;4 5 6 7;7 8 9 10 键盘输入内容，元素之间用空格分开A=2

3、 3 4 5 3 4 5 6 4 5 6 7 7 8 9 10%键盘输入内容，行与行之间用Enter键分隔,4,注意：一旦创建了矩阵，它将被自动存储在MATLAB工作空间。矩阵中的元素可以用它的行和列表示，如A(3,2)表示矩阵A的第三行 第二列的元素。可以用对矩阵元素直接赋值的方法对矩阵进行修改。由于MATLAB的矩降定义在复数域上，因此矩阵元素可以是复数。通常 用书写复数的方法输入复数元素，或者用一个矩阵表示复数矩阵的实部，用另一个矩阵表示复数矩阵的虚部，最后将两个矩阵相加，即可得到所 需的复数矩阵。（2）由矩阵编辑器创建和修改矩阵 当需要建立的矩阵很大，不适合手工自接输入时，可以使用矩阵

4、编辑器(Matrix Editor)来创建和修改。其操作步骤如下。预先定义变量 调用矩阵编辑器之前，需要预先定义一个变量，数值变量和矩阵变量均可。A=5,6,7;8,9,10;2,3,4 定义并创建一个矩阵变量,5,打开工作空间窗口 打开矩阵编辑器 选中变量A，双击或利用快捷菜单，启动矩阵编辑器(Array Editor)。链接 改变矩阵元素值用户可以通过鼠称选中上图左上方文本框中的矩阵元素，输入要改变的值即可。改变矩阵的维数 左上角的两个文本框分别表示矩阵的行和列，用户可以通过输入数值来改变距的行和列。此项功能可以方便地创建和修改矩阵，既可以将原来的矩阵扩展为更大的矩阵，又可以将原来的矩阵裁

5、剪为它的左上方的子矩阵。确认所有元素符合要求后，关闭该对话框，这时，便创建了一个新矩阵。在工作窗口中重新键入矩阵名，可以发现原来的矩阵已经改变。,6,(3)由函数创建和修改矩阵 MATLAB提供了大量的函数用于创建一些特殊的矩阵及其派生矩阵。zeros生成全部元素为0的零距阵(Zeros Array)A=zeros(n)生成nn零矩阵。A=zeros(m,n)或者A=zeros(m,n)生成mn的零矩阵。A=zeros(m,n,p,)或者A=zeros(m n p)生成mnp的零矩阵。B=zeros(size(A)生成和矩阵A大小相等的全零矩阵。ones生成全部元素为1的距阵A=ones(n)

6、生成nn全1矩阵。A=ones(m,n)或者A=ones(m,n)生成mn的全1矩阵。A=ones(m,n,p,)或者A=ones(m n p)生成mnp的全1矩阵。B=ones(size(A)生成和矩阵A大小相等的全1矩阵。eye生成单位距阵A=eye(n)生成nn单位矩阵。A=eye(m,n)或者A=eye(m,n)生成mn的单位矩阵。B=eye(size(A)生成和矩阵A大小相等的单位矩阵。,7,rand生成均匀分布的随机矩阵A=rand(n)生成nn随机矩阵。A=rand(m,n)或者A=rand(m,n)生成mn的随机矩阵。A=rand(m,n,p,)或者A=rand(m n p)生

7、成mnp的随机矩阵。B=rand(size(A)生成和矩阵A大小相等的随机矩阵。A=rand 不带任何参数将产生一个随机数。提示：rand函数产生一个矩阵元素在0和1之间均匀分布的随机数的随机矩阵。diag 生成一个对角阵或由对角线元素组成的向量 Adiag(V)当V为n维向量时，产生一个以向量V的元素为对角线的n维数组。Adiag(V)当V为n维矩阵时，产生 一个以V矩阵的主对角线元素为元素的n 维数组。注意：在MATLAB中，不需要事先定义矩阵的维数，MATLAB自动为矩阵分配存 储空间。但如果在程序运行过程中采用零矩阵为矩阵生成的全部元素，或某一行、某一列的元素预先分配内存空间，将会大大

8、加快MATLAB程序的运算速度。,8,例22 利用diag产生对角阵及对角线向量。链接A=rand(4,4);%创建个4阶随机矩阵B=diag(A)C=diag(B)提示：MATLAB程序中的所有内容均需用英文输入，并且变量区分大小写。否 则MATLAB会给出出错信息。（4）从外部数据文件调入矩阵 在MATLAB中还可以从外部数据文件中度读入数据生成矩阵。数据文件可以是以前MATLAB生成的矩阵存储的二进制文件，也可以是包含数值数据的文本文件。文本文件中的数据在调入之前要预先排列成矩阵的形式。调入方法：load filename.dat 或filename.txt%将数据文件filename的

9、数据内容调入工 作空间例23 由外部数据文件直接读入数据生成一个矩阵。链接提示：需要调入的文件必须在MATLAB搜索路径范围内，否则找不到文件。,9,另外，使用Import Wizard功能，可从外部数据文件中直接读取数据。,使用方法如下：选择FileImport Data 命令选项，将出现如下图所示对话框，选择将要读取数据的数据文件。链接选中文件，单击打开按钮，然后打开“Import Wizard”窗口。单击“FINISH”按钮，即可输入打开的数据文件中数据。链接2.矩阵的保存和提取MATLAB用Mat文件保存二进制的数据。如果有大量的矩阵或较为重要的数据需要用矩阵的形式保存和再次使用时，就

10、需要进行矩阵的保存和提取。用save命令保存已经存在的矩阵A和B。其调用格式为：save filename A B filename是用户定义的文件名，MATLAB系统将会自动在文件名后加上后缀.MAT。,10,用load命令将保存在文件中的矩阵读到MATLAB工作空间的内存中来。共调用格式为：load filename3.矩阵元素的标识 矩阵是MATLAB的基本运算单元，向量和标量都作为特殊的矩阵处理：向量看作只有一行或一列的矩阵；标量看作只有一个元素的矩阵。（1）向量的生成MATLAB有多种方法生成向量，除了在命令窗口中直接输入之外，还有三种常用的自动创建向量的方法，即利用冒号、linsp

11、ace函数和logspace函数生成向量。利用冒号生成向量冒号具有多种功能，在用于生成向量时，使用以下格式：x=i:j 如果ij,则生成x空向量。x=i:j:k 如果j0,且ik,则生成向量x=i,i+j,i+2j,.,k;如果j0,且ik或j0且ik,则生成向量x为空向量。,11,例24 利用冒号生成向量。链接a=1:6;b=2:2:10;c=8:-1:2;c1=8:1:4;c1=Empty Matrix:1-by-0，说明c1生成的是空向量。利用linspace生成向量linspace函数生成等差向量，其功能类似于冒号算子x=i:j，调用格式如下：x=linspace(a,b)生成有100

12、个元素的行向量x，其元素值在a、b之间线性分布。x=linspace(a,b,n)生成有n个元素的行向量x，其元素值在a、b之间线性分布。利用logspace生成向量logspace生成等比向量，其用法与linspace相同。,12,x=logspace(a,b)生成有50个元素的行向量x，其元素起点x(1)，终点x(50)=。x=logspace(a,b,n)生成有n个元素的行向星x，其元素起点x(1)，终点x(50)。例25 利用linspace函数生成等差向量，利用logspace函数生成等比向量。a=linspace(1.5,6.0,5)%元素值在1.5和6.0之间的5个数b=logs

13、pace(0,2,4)%元素值在 和 之间的4个数链接（2）矩阵下标的引用 在MATLAB中，矩阵元素的引用可以用两个下标来表示，如在矩阵A中，第i行第j列的元素用A(i,j)表示；也可以用一个下标来表示。用单个下标表示元素并不只限于向量。对于矩阵，由于MATLAB的运算基本上都是对列操作的，矩阵可以认为是按列优先排列的一个长的列向量，从而可用单下标引用。例如2x2的矩阵A，A(1)表示第一列的第一个元素，A(2)表示第一列的第二个元素，A(3)表示第二列的第一个元素，A(4)表示第二列的第二个元素。,13,当矩阵的下标超出矩阵的实际元素的下标时，将给出错误信息。但当某个值被赋给矩阵的一个新的

14、元素时，MATLAB会自动增加矩阵的维数大小。例如：链接44的矩阵A，执行命令A(4，5)18后，矩阵A将变成45的矩阵。A=1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12;13 14 15 16A(4,5)=18;（3）删除矩阵的行和列 在MATLAB里，可通过把矩阵的列或行赋值为空矩阵来删除某行或某列。例如：某列x(:,2)=将删除矩阵x的第二列。在MATLAB中，,可以用双下标赋值,不能用双下标来删除矩阵的某个元索。例如：当矩阵A不为标量时，运行命令x(1,2)将给出错误信息。但可用单下标来删除矩阵的某个或某些元素，并将剩下的元素按列编成个长行向量。,14,例如；链接A=1 2 3

15、;4 5 6;A(1,2)=A(1:2:5)=%删除下标为l、3、5的三个元素A(3)=（4）矩阵的标识 子矩阵中的元素或子矩阵可以用标量、向量和冒号的标识来引用和赋值。常用以下两种方法：子矩阵的序号向量标识方式A(u,v)u,v可以是任意排列的向量，其中任何一个可以是冒号，它表示全部行(在u的位置)或全部列(在v的位置)。例26 用序号标识方式提取矩阵A的子矩阵。A=magic(4);%产生4维的魔方矩阵A1=A(1:2,1,2,4);%提取矩阵A的第一行和第二行的第l,2,4列元素A2=A(4,1,:);%提取矩阵A的第四行和第一行的全部元素A(1,3,2,4)=zeros(2);%使矩阵

16、第一行和第三行的第2,4列元素为0链接,15,“0-1”向量标识方式A(L)“0-1”向量标识方式的原理是：通过与A同样大小的逻辑值向量L中“逻辑值1”所在的位置来标识出矩阵A中符合条件元素的相应位置。例27 用“0-1”标识法标识并提取矩阵A中符合条件的元素。A=zeros(4,4)%预先生成一个4*4的零矩阵，以便为矩阵A预留内存空 间A(:)=-8:7%为矩阵A运用“全元素法赋值”，在-8和7之间等差分布L=abs(A)4;%列出矩阵A中所有绝对值大于4的元素位置，产生与A向 维数的“0-l”逻辑矩阵LX=A(L);%将A中被矩阵L标识的所有元素赋给向量X链接,16,4.矩阵变换函数在M

17、ATLAB中可以通过己知矩阵的旋转、截取等变换来得到用户所需的新矩阵，MATLAB提供的矩阵变换命令和函数如下表所示。矩阵旋转函数：Bfliplr(A)%将矩阵A左右翻转得到矩阵BBflipud(A)%将矩阵A上下翻转得到矩阵BBflipdim(A,dim)%将矩阵A按给定维数翻转得到矩阵B，dim=1时，按行翻 转；dim=0时，按列翻转。Brot90(A,k)%将矩阵A逆时针旋转90度得到矩阵B，k为倍数，当k=1 时，可省略。矩阵提取函数：B=tril(A)%取矩阵A主对角线及以下元素得到矩阵B，其余元素取0。B=tril(A,k)%取矩阵A第k条对角线及以下元素得到矩阵B，其余元素 取

18、0。B=triu(A)%取矩阵A主对角线及以上元素得到矩阵B，其余元素取0。B=triu(A,k)%取矩阵A第k条对角线及以上元素得到矩阵B，其余元素 取0。,17,5.矩阵的加、减、乘、除和乘方运算矩阵的加、减、乘、除利乘方运算是最基本的矩阵运算，矩阵运算按照线性代数中基本的运算法则进行。加 A+B减 A-B乘 A*B(.*是矩阵对应元素之间的乘积)除 AB转置 Anotes：对于复矩阵Z，Z表示Z的复共轭转置，对于非共轭转置用Z.或conj(Z)实现。例27 已知z=1+i 3-2i，求：z，z.，conj(z)链接6.矩阵函数,18,（1）线性方程组最初开发MATLAB是为了简化矩阵和线

19、性代数计算，这些计算出现于多种应用场合。其中最常见的线性代数问题是线性方程组的求解。线性方程组的求解问题可表述为：给定两个矩阵A和B，求解满足方程AXB或XAB的矩阵X。在线性方程的求解中，正斜杠/和反斜杠是两个不同的算符。方程AX=B的解用xAB表示，称为左除，方程XAB的解用XB/A表示，称为右除。平时常用的形式为前者。MATLAB常用的基本矩阵运算函数如下：det(A)求方阵A的行列式值dot(A,B)求矩阵A和B的点积eig(A)求矩阵A的特征值和特征向量norm(A,1)求矩阵1_范数norm(A)或norm(A,2)求矩阵A的2_范数norm(A,inf)求矩阵A的无穷大_范数no

20、rm(A,fro)求矩阵A的F_范数Rank(A)求矩阵A的秩,19,（2）稀疏矩阵 矩阵中只包含少量的非零元素，这样的矩阵被称为稀疏矩阵。如果矩阵很大，并且零元素又占了很大的比例，则无论对存储零元素所需的计算机存贮空间还是对零元素进行代数运算所需的计算量，都是很大的浪费。为了避免浪费，通常只存非零元素以及表示这些元素行和列位置的两个下标数组。为了避免对零矩阵的代数运算，开发了特殊的算法来求解典型的矩阵问题，如求解线性方程组等，使针对零的运算很少。例28函数sparse创建稀疏矩阵As=sparse(1:10,1:10,ones(1,10)其中sparse(i,j,s)创建了一个稀疏矩阵，其中

21、第k个非零元素是s(k)，s(k)位于i(k)行j(k)列，并要求i，j，s具有相同的长度。再看：As=sparse(eye(10)链接,20,.稀疏矩阵的转换：链接A=full(As)稀疏矩阵和满阵的存储方式 链接B=eye(200);Bs=sparse(B);（3）矩阵的逆和伪逆如果矩阵A为方阵且非奇异，方程AX=I和XA=I的解称为矩阵A的逆，用 表示。函数inv可求矩阵的逆。如果忽略舍入误差，命令X=inv(A)*B和命令XAB应该得到相同的结果。但计算时，应尽量使用后者，因为斜杠和反斜杠运算符的数值计算更准确，占用内存更小，算得更快。当矩阵A为长方阵时，方程AX=I和XA=I至少有一

22、个无解。这时矩阵的伪逆（广义逆）pinv(A)能在某种程度上代表矩阵的逆。例29 链接C=8,6;2,5;1,7;X=pinv(C)Q=X*CP=C*X,21,（4）矩阵的Cholesky和LU、QR分解 MATLAB解线性方程基于以下三种分解：对称、正定系数矩阵的Cholesky分解；系数矩阵为普通方阵的Gauss消去法；长方阵的正交分解。上述三种分解分别由chol、lu和qr函数完成 Cholesky分解Cholesky分解把矩阵分解为上三角矩阵和其转置的乘积，即A=R*R。其中R为上三角阵。例210 链接A=pascal(5)R=chol(A)验证R*R LU分解 LU分解时将一个方阵表

23、示成两个基本三角阵的乘积，其中一个为上三角矩阵，另一个为下三角矩阵。,22,例211 链接A=1 2 3;4 5 6;7 8 0L,U=lu(A)注意：矩阵的LU分解使得MATLAB解系数矩阵为方阵的方程时，把方程AX=B变为X=U(LB)，这样计算速度将会大大提高。事实上，在MATLAB里，矩阵的求逆和求行列式都是通过LU分解来实现的：det(A)=det(L)*det(U),inv(A)=inv(U)*inv(L)。QR分解 矩阵Q为实矩阵，且满足QQ=I,则把矩阵Q称为正交矩阵。QR分解能把任意长方阵分解为正交矩阵和上三角矩阵的初等变换形式的乘积。例212 链接A=1 2 3;4 5 6

24、;7 8 9;10 11 12Q,R=qr(A)验证Q*R当矩阵为长方阵时，R矩阵的末行元素全为0.当矩阵的纵横方向上的元素个数相差较大时，R矩阵中的零元素将被压缩掉，Q中的相应的列也被压缩掉。对于大型矩阵，可以节省磁盘空间和内存。,23,（5）矩阵的幂和指数函数 如果矩阵A是方阵，p为整数，则Ap表示A自乘p次。如果矩阵A是方阵且非奇异，p为整数，则A(-p)表示 自乘p次。注意:在MATLAB里，表达式A(2/3)是合法的，其计算结果和特征值的分布有关。函数sqrt(A)计算出比A(1/2)更精确的结果。2.2数组数组和矩阵的区别 从外观形状和数据结构上看，二维数组和数学中的矩阵没有区别。

25、但是矩阵作为一种变换或映射算子的体现，它和数组有着概念上的区别。通常，在非正式情况下，矩阵和数组的说法可以互相替换。确切地说，矩阵是数组的一种特例，即矩阵是二维的数值型数组，表示一种线性变换的关系。定义在矩阵概念上的数学运算便构成线性代数。矩阵的运算遵循线性代数所规定的矩阵运算法则。从运算的角度看，矩阵运算和数组运算有着显著的不同。在MATLAB中，矩阵运算和数组运算属于两种不同的运算：距阵运算是从矩阵的整体出发，按照线性代数的运算规则进行，有着明确而严格的数学规则；而数组运算是从数组的单个元素出发，针对每个元素进行的运算，它是MATLAB软件所定义的规则，,24,另外，在MATLAB中针对矩

26、阵和数组运算的算术运算符也有所不同数组类型：数值型，字符型，结构型，细胞型。1.简单数组的创建、寻访及赋值数组是指由一组实数或复数排成的长方阵列（Array）。它可以是一维的“行”或“列”，可以是二维的“矩形”，也可以是三维的“若干同维矩形的堆叠”，甚至更高的任意维。（1）简单数组的创建MATLAB以一种直观处理方式处理数组。在创建数组时，以左中括号开始，以空格（或逗号）为间隔输入元素值，最后以中括号结尾。直接输入法：x=22*pi sqrt(2)2-3j 创建包含指定元素的行向量x 冒号法：x=first:increment:last 创建从first开始，加increment计数，到las

27、t的行 向量 x；当increment省略时，增量为1。线性采样法x=linspace(first,last,n)创建从first开始，到last结束，有n个元素的行向 量x,25,对数线性采样法x=logspace(first,last,n)创建从10first开始，到10last结束，有n个 元素的对数分隔行向量x。例213 链接创建一维数组。（2）简单数组的子数组寻访和赋值 所谓寻访就是要找出数组中的某个或数个元素。数组元素用下标访问，如X（n）是X的第n个元素。同时访问一块元素，用冒号来表示。例214 链接子数组的寻访。例215 链接子数组的赋值。2.二维数组的创建、寻访及赋值,26,

28、从数据结构上看，矩阵和二维数组没什么区别，当二维数组带有线性变换含义时，该二维数组就是矩阵。（1）二维数组的创建 直接输入法 利用M文件创建和保存数组 例216 链接用M文件创建数组。（2）二维数组的标识略。（3）二维数组的子数组寻访和赋值数组和矩阵是MATLAB的基础，在MATLAB中提供了很多方式对它们进行操作。矩阵一旦形成，MATLAB通过确认有关下标，提供强有力的方式，对矩阵进行插入子块、提取子块和重排子块的操作。,27,数组寻访和赋值小结：A(r,c)由索引向量r定义的行和由索引向量c定义的列所构成的A中的子 数组。A(r,:)由索引向量r定义的行和全部的列所构成的A中的子数组。A(

29、:,c)由全部的行和由索引向量c定义的列所构成的A中的子数组。A(:)A中所有列元素由左到右、首尾相接组成的一长列数组。A(i)单下标寻访，向量i定义的A中元素。A(x)逻辑数组x定义的A中的子数组，x只含0和1，其大小与A相同。例217 链接二维数值的赋值。数组操作函数 链接 链接3.数组的运算（1）标量数组运算标量对数组的加、减、乘、除运算是标量对数组的每个元素施加运算。,28,（2）数组数组运算当两个数组具有相同维数时，加、减、乘、除运算是按元素对元素方式进行的。点乘符号.*是数组间施加元素对元素的乘法运算。点除符号./是数组间施加元素对元素的除法运算。数组除法同时使用了正斜杠/和反斜杠两种定义，在两种情况下，斜杠下的数组都被斜杠上的数组所除。不带点的”*”及”/”分别表示矩阵乘法和矩阵除法。数组的幂：.为元素对元素的幂，为矩阵求幂。元素对元素数组运算小结 链接4.子数组查找在MATLAB中，函数find来完成这项任务，它返回使表达式为真的下标。链接例218子数组的查找。链接,29,5.数组大小MATLAB提供了函数size和length查找矩阵或数组的大小。链接例219 链接 数组的大小。,