lec1几何与代数绪论.ppt

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1、,几何与代数,主讲:关秀翠,东南大学数学系,2010年国家级精品课程,绪论,我想说,课程的重要性,大学与中学的区别,“几何与代数”和“高等数学”的区别,“几何与代数”的基本思想方法,“几何与代数”的主要内容,学什么？怎么学？,2,我想说,课程的重要性,工科基础,考研基础,思维训练,电子工程与信息类专业有十多门课程要用矩阵建模和解题，比如电路、数值计算方法、计算机图形学、信号与系统、数字信号处理、系统动力学、自动控制原理、机械振动等。,考研高数一中线性代数占 22.5%，高数占55%，概率统计占22.5%。,塑造学生内在素质,培养化繁为简的思考模式,培养分析问题的能力,培养发散思维,转化思想，训

2、练思维的联想性,转换思考角度，训练思维的求异性,多角度看问题,探讨变换问题条件,3,4,我想说,课程的重要性,大学与中学的区别,综合考评,期末成绩占 88%,作业成绩占4%,合理分配时间,学习方法,数学试验占4%,未来的文盲不再是目不识丁的人，而是那些没有学会怎样学习(Study,not learn)的人 _Alvin Toffler(未来学家),应试型学习转为应用型学习,小论文4%,被动学习转为主动学习,大学：学生是学习的主体，老师来引导,多动手，勤思考深入体会思想方法，提高逻辑思维能力培养自学能力，独立分析问题能力和独立解决问题的能力,要善于运用新学的知识和方法,5,6,武汉大学王林昌教授

3、在谈到大一新生如何设计自己的大学之路时说，上大学有四项任务，一是要学会做人，二是要学会做事，三是要学会学习，四是要学会处理人际关系。,7,“几何与代数”和“高等数学”的区别,高等数学的一个重要思想是把非线性的问题用线性问题来近似，那么线性问题的求解任务自然就交给了线性代数。,高等数学中有大量公式要记并使用，而线性代数无须记任何公式，注重理论推导来增强逻辑推理能力。,8,高等数学重解题技巧，几何与代数重思想轻技巧，重举一反三。,解析几何的重要性,线性代数的基本思想,“几何与代数”的基本思想方法,从笛卡尔的解析几何与古典几何作图的三大难题谈起,从两个游戏谈起,从动物连连看谈等价分类,从数独游戏谈向

4、量空间,9,解析几何的重要性,从笛卡尔的解析几何与古典几何作图的三大难题谈起,笛卡尔直角坐标系的伟大功绩：实现了两个几何与代数之间的一一对应.,10,解析几何的重要性,从笛卡尔的解析几何与古典几何作图的三大难题谈起,古典几何作图的三大难题:,有限次使用圆规和直尺(无刻度),1把任意角三等分；2作一个正方形，它的面积等于已知圆面积；3作一个正立方体，它的体积等于已知正立方体的2倍。,解析几何是如何解决这些问题的呢?它提出了如下三问：,11,笛卡尔直角坐标系的伟大功绩：实现了两个几何与代数之间的一一对应.,用解析几何求解古典几何作图的三大难题,有限次使用圆规和直尺(无刻度),1把任意角三等分；2作

5、一个正方形，它的面积等于已知圆面积；3作一个正立方体，它的体积等于已知正立方体的2倍。,解析几何是如何解决这些问题的呢?它提出了如下三问：,一问：尺规作图的功能是什么?,12,画直线,二元一次方程,画圆,特殊的二元二次方程(平方项系数相等，交叉项系数为0),用解析几何求解古典几何作图的三大难题,一问：尺规作图的功能是什么?,二问：几何作图的本质是什么?,13,求一系列直线与直线、直线与圆、圆与圆的交点,求一系列二元一次或(特殊)二元二次方程的根,用解析几何求解古典几何作图的三大难题,有限次使用圆规和直尺(无刻度),1把任意角三等分；2作一个正方形，它的面积等于已知圆面积；3作一个正立方体，它的

6、体积等于已知正立方体的2倍。,一问：尺规的作图功能?,二问：几何作图的本质?,三问：几何作图有解的充要条件是什么?,代数：三类方程组的解有什么特点?,三类方程组的根一定可以由原方程的系数，经过加、减、乘、除及开平方这5种运算表示出来。,都不可能！,14,空间解析几何的基本思想用代数方法研究几何问题,几何与代数的关系：,数量关系,在三维空间中:,空间形式 点,线,面，二次曲面,基本方法 坐标法;向量法,坐标,方程（组）,三维n维,15,解析几何的重要性,线性代数的基本思想,“几何与代数”的基本思想方法,从笛卡尔的解析几何与古典几何作图的三大难题谈起,从两个游戏谈起,从动物连连看谈等价分类,从数独

7、游戏谈向量空间,16,从动物连连看谈等价分类,17,从数独游戏到杜勒魔方,18,Drer魔方：4阶，每一行之和为34，每一列之和为34，对角线（或次对角线）之和是34，每个小方块中的数字之和是34，四个角上的数字加起来也是34.,版画创造时间：1514年,多么奇妙的魔方！,Drer魔方,该魔方出现在德国著名的艺术家 Albrecht Drer于1514年创造的版画Melancolia。,从杜勒魔方到向量空间,19,4阶Drer魔方：行和=列和=对角线（或次对角线）之和=每个小方块之和=四个角之和.,铜币铸造时间：1514年,多么奇妙的魔方！,你想构造Drer魔方吗？Drer魔方有多少个？如何构

8、造所有的Drer魔方？,和为58.,Drer魔方,20,从杜勒魔方到向量空间,4阶Drer魔方：行和=列和=对角线（或次对角线）之和=每个小方块之和=四个角之和.,你想构造Drer魔方吗？Drer魔方有多少个？如何构造所有的Drer魔方？,A=,B=,设A,B是任意两个Drer 魔方，,对任意实数k，kA 是Drer魔方吗？,A+B 是Drer魔方吗？,Drer魔方,21,从杜勒魔方到向量空间,你想构造Drer魔方吗？Drer魔方有多少个？如何构造所有的Drer魔方？,设A,B是任意两个Drer 魔方，,对任意实数k，kA 是Drer魔方吗？,A+B 是Drer魔方吗？,允许构成魔方的数取任意

9、实数,任意两个Drer魔方的任意的线性组合仍是Drer魔方。,记 D=A=(aij)R44|A为Drer魔方,则D构成一个向量空间，称为Drer魔方空间.,无穷多个,求出魔方空间的一组基,基的任意线性组合都构成一个Drer魔方.,Drer魔方空间,22,从杜勒魔方到向量空间,我想说,课程的重要性,大学与中学的区别,“几何与代数”和“高等数学”的区别,“几何与代数”的基本思想方法,“几何与代数”的主要内容,学什么？怎么学？,23,线性代数的主要内容,一、主要任务,解线性方程组,线性方程组,方程间的关系,向量间的关系,矩阵的性质和运算,行列式的运算,返回,二、主要问题,应用线性方程组,求方阵的特征

10、值特征向量,方阵的相似对角化问题,实对称矩阵的正定性,三、重点难点,向量组的线性无关性,矩阵的秩,核心工具初等变换,24,线性方程组：,(2)2(1)可得：,1/3(2)可得：,(1)(2)可得：,高斯消元法：,(2)+k(1)(k0),k(2)(k0),(1)(2),初等变换,线性代数的核心工具,返回,25,线性方程组：,高斯消元法：,初等变换,26,学什么？怎么学？,27,研究式的教与学,几代知识点较零散，力求弄清知识点的产生和前后联系，增强整体感,加强几代对我们的思维训练和能力训练,掌握三基基本概念(定义、符号)、基本理论(定理、公式)、基本方法(计算、证明)做好预习复习体会思路，学会总

11、结多看多练多想深入体会思想方法，提高逻辑思维能力按时完成作业 A B C每周二课前交作业，每周四晚有答疑，在J8-4楼专用教室,趣味思考题、小论文,我想说,课程的重要性,大学与中学的区别,“几何与代数”和“高等数学”的区别,“几何与代数”的基本思想方法,“几何与代数”的主要内容,学什么？怎么学？,28,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.1 二阶、三阶行列式,一.二元线性方程组与二阶行列式,(a11a22a12a21)x1=b1a22a12b2(a11a22a12a21)x2=a11b2b1a21,当 a11a22a12a21 0 时,1.1 二阶、三阶行列式,29,经济政策模型,则当D 0

12、时,x1=,b1a22a12b2,a11a22a12a21,方程组有唯一确定的解,x2=,a11a22a12a21,a11b2b1a21,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.1 二阶、三阶行列式,=a11b2b1a21,二阶行列式的对角线法则,Cramer法则,例,30,=a11a22a12a21,n元线性方程组与n阶行列式,31,问题1：2元线性方程组的Cramer法则能否推广到n元？,问题2：n阶行列式的定义和计算？,教学内容和基本要求,第一章 行列式和线性方程组的求解,32,1.1 二阶、三阶行列式,一.排列的逆序数,二.n阶行列式的定义,三.行列式的转置,第一章 行列式和线性方程组的

13、求解,1.2 n阶行列式,33,三阶行列式的对角线法则,a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3,=a1b2c3,每项都是三个元素的乘积.,每项的三个元素位于不同的行列.,问题:能用对角线法则计算四阶行列式吗?,a1 a2 a3 a4b1 b2 b3 b4c1 c2 c3 c4d1 d2 d3 d4,对角线法则可得八项的代数和；,每项是四个位于不同行列的元素乘积,产生矛盾,否,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.1 二阶、三阶行列式,a1b3c2,34,可得 4！=24 项的代数和.,+a2b3c1,+a3b1c2,a3b2c1,a2b1c3,二.三阶行列式的特点,每一项都是三个位于

14、不同行和列的元素的乘积.,=a11 a22 a33+a12 a23 a31+a13 a21 a32 a11 a23 a32 a12 a21 a33 a13 a22 a31.,将行标按1,2,3排好，列标恰好对应于1,2,3的6种排列.,代数和的符号与列标排列的逆序数有关.,(1)1,对换2次,对换1次,(1)2,问题:如何利用二三阶行列式的其他特点计算四阶以上行列式?,对换的次数称为逆序数.,(1)0,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.1 二阶、三阶行列式,35,a11 a12 a13 a21 a22 a23a31 a32 a33,排列j1 j2 j3的逆序数,对所有不同的三级排列 j1

15、j2 j3求和,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.1 二阶、三阶行列式,=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,36,问题：如何定义排列的逆序数.,1.逆序数,逆序：违反从小到大的正常顺序,一个排列的逆序数:所有数的逆序数的总和.,奇(偶)排列：逆序数为奇(偶)数的排列.,逆序数k：设i1 i2 ik in是1n的一个排列,则ik在此排列中的逆序数k为排在数ik之前(后)比ik大(小)的数的个数.,三.排列的逆序数与奇偶性,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.2 n阶行列式,对换(变成12n)的次数称为逆序

16、数.,37,计算方法不同逆序数可能不同，但其奇偶数相同.,例1.求下列排列的逆序数(1)32514,(2)n(n1)(n2)321,(3)(2n)(2n2)4213(2n3)(2n1).,逆序数k：排在数ik之前(后)比ik大(小)的数的个数.,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.2 n阶行列式,38,1.1-2 方阵的行列式,一.二元线性方程组与二阶行列式,三.排列的逆序数与奇偶性,四.n阶行列式的定义,二.三阶行列式的特点,第一章 行列式和线性方程组的求解,对角线法则,39,逆序数：排在数ik之前(后)比ik大(小)的数的个数.,对换(变成12n)的次数称为逆序数.,作业及预习提示,(A)填空题选择题：作为课下练习,一.(A)1(1-4),(B)1,2,3,(B)留作业,每周二交作业,(C)课下提高题：有时间的话尽量做,预习：1.3节,40,趣味思考题一：数数的本质是什么？,趣味思考题二,试证明在二维平面上，2阶行列式 的绝对值是以=(a11,a21),=(a12,a22)为邻边的平行四边形的面积。,提示：在二维平面上，,=(a11,a21),=(a12,a22),(1)试计算=(a12,a22)=(a11,a21)时的平行四边形面积；,(3)试说明 与D的关系；,(2)试说明 与D的关系；,41,