FEMch有限元法的力学基础.ppt

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1、第二章 平面问题基本理论,第二节 平面应力问题与平面应变问题,第三节 平衡微分方程,第四节 几何方程 刚体位移,第五节 物理方程,第六节 一点的应力状态确定,第七节 边界条件,第八节 圣维南原理,第一节 弹性力学概论,第一节 弹性力学概论,弹性力学（Theory of Elasticity）:研究载荷作用下弹性体中内力和变形的一门学科。,第一节 弹性力学概论,1.什么是弹性力学？,一.弹性力学内容,第一节 弹性力学概论,2.弹性力学与其它力学分支的对比,理论力学,材料力学,结构力学,弹性力学,研究对象,第一节 弹性力学概论,2.弹性力学与其它力学分支的对比,研究方法,材料力学:,借助于直观和实

2、验现象作一些假定，如平面截面假设 等，然后由静力学、几何关系、物理方程三方面进行分析。,弹性力学:,仅由静力平衡、几何方程、物理方程三方面分析，放弃了材力中的简化假定。,近似解法：变分法、差分法、有限单元法等。,一维数学问题，求解常微分方程。,三维数学问题，求解偏微分方程。,近似解,解析法,第一节 弹性力学概论,如：梁的弯曲问题,材料力学,当 l h 时，两者误差很小,如：混凝土深梁,弹性力学以微元体为研究对象，建立方程求解，得到弹性体变形的一般规律。所得结果更符合实际。,弹性力学,第一节 弹性力学概论,1.连续性假定,整个物体的体积都被组成物体的介质充满，不留下任何空隙。,该假定在研究物体的

3、宏观力学特性时，与工程实际吻合较好；研究物体的微观力学性质时不适用。,作用：,所有物理量都可以表示成空间坐标的连续函数。,如：,可以应用数学分析工具,二.弹性力学基本假设,第一节 弹性力学概论,2.完全弹性假定,物体在外力拆除之后，能完全恢复原形，没有任何剩余变形。,脆性材料 一直到破坏前，都可近似为线弹性的；,塑性材料 比例阶段，可视为线弹性的。,作用：,E，u 等材料常数为常量，不随应力、应变的变化 而变化 物理方程线性化,完全弹性,第一节 弹性力学概论,3.均匀性假定,假定整个物体是由同一种材料组成 的，各部分材料性质相同。,作用：,弹性常数（E、）不随位置坐标而变化；,取微元体分析的结

4、果可应用于整个物体。,4.各向同性假定,假定物体内一点的弹性性质在所有各个方向都相同。,作用：,弹性常数（E、）不随坐标方向而变化；,符合上述4个假定的物体，称为理想弹性体。,第一节 弹性力学概论,5.小变形假定,假定位移和形变是微小的，即物体受力后物体内各点位移远远小于物体的原来的尺寸，且应变和转角远小于1。,作用：,建立方程时，可略去高阶无穷小量；,可用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。,两层含义：,位移是微小的：各点位移 物体尺寸,应变是微小的：,弹性力学研究范围-理想弹性体的 小变形问题,五大假设,第一节 弹性力学概论,1.外力,1)体力:分布在物体体积内部。（重力、惯性力）,体力分量符号

5、规定：沿坐标轴正向为正，沿坐标轴负向为负。,体力平均集度-(矢量),量纲：,P,三.弹性力学基本概念,第一节 弹性力学概论,2)面力:分布在物体表面上的力。（流体压力、接触力）,面力分量符号规定：沿坐标轴正向为正，沿坐标轴负向为负。,面力平均集度-(矢量),量纲：,第一节 弹性力学概论,内力的集度:物体内某一点的应力,物体内部相邻部分之间的相互作用力。,内力平均集度,2.内力,正应力：应力沿其作用截面的法向分量。,切（剪）应力：应力沿其作用截面的切向分量。,P,第一节 弹性力学概论,一点应力状态及其表示,一点的应力状态：,通过一点的各个面上应力状况的集合,面:,面:,面:,正面：,外法线沿坐标

6、轴正向,负面：,外法线沿坐标轴负向,正面上的应力：,负面上的应力：,沿坐标轴正向为正，负向为负,沿坐标轴负向为正，正向为负,应力符号的意义：,第1个下标 x 表示所在面的法线方向；,第2个下标 y 表示的方向.,正负号规定：,第一节 弹性力学概论,用矩阵表示：,假设弹性体处于静力平衡状态,以 a,b 为轴，列力矩平衡方程：,同理：,切应力互等定理：,行表示面,列表示轴向,第一节 弹性力学概论,一点的独立 应力分量有6个:,结论：物体内任一点，知道了以上六个应力分量，就可以 确定该点的应力状态,切应力互等定理,量纲：,第一节 弹性力学概论,3.形变,物体形状的改变,一点的应变状态：,通过 任一点

7、作三个沿正坐标方向的微分线段，,并以这些微分线段的应变表示该点的应变状态,正应变,线段单位长度的改变,切应变,两线段间直角的改变,符号规定:,正应变：伸长为正，缩短为负,切应变：直角变小为正，变大为负,其中,一点的独立应变分量：,第一节 弹性力学概论,4.位移,物体内一点位置的变化,位移分量：,方向：沿坐标轴正向为正，负向为负,本节小结：,已知物理量：,未知物理量：,边界条件,能否减少未知量的个数？,？,第二节 平面应力问题与平面应变问题,第二节 平面应力问题与平面应变问题,本节小结：,已知物理量：,未知物理量：,边界条件,能否减少未知量的个数？,？,第二节 平面应力问题与平面应变问题,1.平

8、面应力问题,(1)几何特征：,等厚度平面薄板。,一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。,(2)受力特征,t 不变,约束作用于板边且沿 z 向不变化。,如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等,几何特征与受力特征为外在特征，是充分而非必要条件,注意：,第二节 平面应力问题与平面应变问题,(3)应力特征,由于板面上不受力，有,由切应力互等定理，有,平面应力问题只有三个独立应力分量：,形状、外力、约束沿z 向不变，应力分量与 z 坐标无关,结论：,注意：1）应力特征为内在特征，是充要条件；2）平面应力问题的实质：只 有平面应力分量，且仅为x,y函数的弹性力学问题。,仅为（x,y）函数,第二节 平面

9、应力问题与平面应变问题,x,2.平面应变问题,(1)几何特征,常截面的长柱体,(2)受力特征,约束 沿长度 z 方向不变化,沿长度方向等截面,如：水坝，充气圆筒，隧道,几何特征与受力特征为外在特征，是充分而非必要条件,注意：,第二节 平面应力问题与平面应变问题,无限长,(3)形变特征,设 z方向为无限长，则应力，应变，位移等沿 z 方向都不变化，与z 坐标无关,仅为 x，y 的函数。,平面应力问题只有三个独立应力分量：,结论：,注意：1）形变特征为内在特征，是充要条件 2）平面应变问题的实质：只有平面应变分量且仅为x,y 的函数的弹性力学问题。,第二节 平面应力问题与平面应变问题,3.平面问题

10、的求解,问题：,已知：外力（体力、面力）、边界条件，,求：,仅为 x y 的函数,需建立三个方面的关系：,（1）静力学关系：,（2）几何学关系：,（3）物理学关系：,形变与应力间的关系。,应力与体力、面力间的关系；,形变与位移间的关系；,建立边界条件：,平衡微分方程,几何方程,物理方程,（1）应力边界条件；,（2）位移边界条件；,求解：,数学问题：偏微分方程的边值问题解析法：逆法，半逆法，三角级数 法，复变函数法，特殊函数法 近似法：差分法，变分法，有限元法,第二节 平面应力问题与平面应变问题,如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？,平面应力问题,平面应变问题,非

11、平面问题,课堂讨论：,主要内容复习：,两类平面问题：,平面应力问题,平面应变问题,几何特征,受力特征,应力特征,几何特征;,受力特征;,应变特征。,外力、应力、形变、位移。,基本假定：,（1）连续性假设；,（2）完全弹性假设；,（3）均匀性假设；,（4）各向同性假设；,（5）小变形假设。,（注意：各分量正负号规定）,（掌握这些假设的作用）,基本概念：,第二节 平面应力问题与平面应变问题,讨论：,1。平面应力问题中，是否为0？2。平面应变问题中，是否为0？,第三节 平衡微分方程,二元函数泰勒展开式：,函数 在 某领域连续且 n+1 阶可导，则：,第三节 平衡微分方程,取微元体PABC（P点附近）

12、,Z 方向取单位长度。,设P点应力已知：,单元内体力：,AC面：,BC面：,注：1)应用了连续性假设 2）用了小变形假定，以变形前的 尺寸代替变形后尺寸。,知识点回顾,第三节 平衡微分方程,由微元体PABC平衡，得,整理得：,切应力互等定理,第三节 平衡微分方程,两边同除以dx dy，并整理得：,两边同除以dx dy，并整理得：,第三节 平衡微分方程,平面问题的平衡微分方程：,说明：,（1）两个平衡微分方程，三个未知量：,超静定问题，需找补充方程才能求解。,（2）对于平面应变问题，x、y方向的平衡方程相同，z方向自成平衡，上述方程两类平面问题均适用；,（3）平衡方程中不含E、，方程与材料性质无

13、关；,（4）平衡方程对整个弹性体内都满足，包括边界。,第三节 平衡微分方程,比较：,理论力学考虑整体平衡，只能用来确定物体是运动还 是静止状态；,材料力学考虑的是有限部分的平衡（V）；,弹性力学考虑的是微分体的平衡（dV），每个微分平衡 必然保证有限部分平衡和整体平衡，弹性力学对平衡的 考虑是严格的、精确的。,第四节 几何方程 刚体位移,第四节 几何方程 刚体位移,建立平面问题中应变与位移的关系,1.几何方程,一点的变形,线段间的相对转动；,考察P点邻域内线段的变形：,变形前,P,A,B,u(x,y),v(x,y),注：这里略去了二阶以上高阶无穷小量。,第四节 几何方程 刚体位移,PA的正应变

14、：,PB的正应变：,P点的剪应变：,P点两直角线段夹角的变化,第四节 几何方程 刚体位移,整理得：,几何方程,说明：,反之，已知，u、v 能否确定,（3）,?,第四节 几何方程 刚体位移,令：,刚体位移,假设物体内没有形变，是否也没有位移？,2.刚体位移,第四节 几何方程 刚体位移,讨论：,刚体位移表达式,（2）,r,说明：,P点沿切向绕O点转动,绕O点转过的角速度（刚性转动）,（1）,仅有平移。,第四节 几何方程 刚体位移,结论：,当物体位移确定时，形变确定；,弹性体位移：,2.当物体形变确定时，位移不完全确定，这时:,第五节 物理方程,在理想弹性体条件下：物理方程即为广义胡克定律。,E-拉

15、压弹性模量；G-剪切弹性模量，切变模量-泊松比。,第五节 物理方程,应力的应变表示,由于平面应力问题中,应变的应力表示,平面应力问题物理方程,第五节 物理方程,1.平面应力问题物理方程,由于平面应变问题中,平面应变问题的物理方程,思考：,(2)平面应变问题 物理方程的另一形式?,第五节 物理方程,2.平面应变问题物理方程：,平面应变问题的物理方程,平面应力问题的物理方程,第五节 物理方程,3.两类平面问题物理方程的转换：,应用了理想弹性体的四个假设或者说物理方程适用于理想弹性体,第二节 平面应力问题与平面应变问题,课堂作业：,1。平面应力问题中，是否为0，为什么？2。平面应变问题中，是否为0，

16、为什么？,试从物理意义或物理方程解释下列两个问题：,课后作业：,P31:2-1,2-2,2-3,2-4,2-7,第六节 一点的应力状态确定,由微元体平衡：,整理得：,求：斜面AB上的应力,当AB趋近于P点（极限状态），,斜面外法线 n 的方向余弦：,1.斜面上的应力：,平面问题的独立应力分量：,已知：,第六节 一点的应力状态确定,一点的应力状态,?,整理得：,同理：,斜面上应力在 X,Y轴上应力分量：,斜面上正应力，切应力：,将（1）式代入（2）式：,经过一点任一斜面上应力分量与已知应力分量的关系,第六节 一点的应力状态确定,（1）一点的主应力：,若某一斜面上，则该斜面上的正应力 称为该点一个

17、主应力,第六节 一点的应力状态确定,2.一点的主应力与应力主向：,平面应力状态应力第一不变量,应力主面-主应力所在的面；,应力主向-应力主面的法线方向。,第六节 一点的应力状态确定,（2）一点的应力主向：,第六节 一点的应力状态确定,第六节 一点的应力状态确定,（3）最大、最小正应力、切应力,由：,令：则,时：,时：,结论:,正应力最大、最小值即为主应力：1、2,由：,第六节 一点的应力状态确定,第七节 边界条件,1.弹性力学平面问题的基本方程,（1）平衡方程：,（2）几何方程：,8个,第七节 边界条件,2.边界条件及其分类,边界分类:,（1）位移边界条件,平面问题的位移边界条件,（位移已知的

18、边界）,（给定面力的边界）,令：位移分量的边界值为,给定了的已知约束位移分量为,第七节 边界条件,（2）应力边界条件,上式中取：,得到：,l、m 为边界外法线关于 x、y 轴的方向余弦。,平面问题的应力边界条件,第七节 边界条件,例:写出图中各面上应力边界条件表达式,(正x面)：,(负y面)：,(正y面)：,第七节 边界条件,（3）混合边界条件,位移边界条件,应力边界条件,位移边界条件,应力边界条件,第七节 边界条件,第八节 圣维南原理,问题的提出：边界条件难以满足！,1.静力等效概念,两个力系，若它们的主矢量、主矩相等，则两个力系为静力等效力系。,这种等效只是从平衡的观点而言的，对刚体来而言

19、完全正确，但对变形体而言一般是不等效的。,第八节 圣维南原理,2.圣维南原理,(Saint-Venant Principle),表述一：,若把物体的一小部分边界上的外力用一个静力等效力系所替代，那么只导致近处局部应力的改变，而在距离作用点远处，其影响可忽略不计,第八节 圣维南原理,表述一：,表述二：,如果物体一小部分边界上作用一平衡力系，则此平衡力系在物体内部产生的应力分布，仅局限于该力系作用的局部区域，在远处产生的应力可忽略不计,第八节 圣维南原理,表述二：,3.圣维南原理的应用,(1)严格边界条件,(2)应用圣维南原理：使应力的主矢和主矩分别等于对应的面力主矢与主矩.,.(a),.(b),

20、第八节 圣维南原理,注意：(a)式精确，（b）式近似；(a)式为两个函数方程，（b）式为三个代数方程；(a)难以满足，（b）式容易满足；（b）式小边界可用，大边界不可用。,(1),第八节 圣维南原理,例2,图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。,左侧面：,右侧面：,上端面：,为小边界，可由圣维南原理求解。,y方向力等效：,对O点的力矩等效：,x方向力等效：,注意：,应按正向假设！,第八节 圣维南原理,上端面：,（方法2）,取图示微元体，,可见，与前面结果相同。,由微元体的平衡求得，,第八节 圣维南原理,图示薄板，在y方向受均匀拉力作用，证明在板中间突出部分的尖点A处无应力存在。,课堂作业：,课后作业：,P.31 习题：2-8，2-9,