《对坐标的曲面积分》PPT课件.ppt

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1、对坐标的曲面积分,一、对坐标的曲面积分的概念与性质,二、对坐标的曲面积分的计算方法,三、两类曲面积分之间的联系,一、对坐标的曲面积分的概念与性质,1.引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为,求单位时间流过有向曲面 的流量.,说明:,(1)稳定流动.,(2)不可压缩流体.,(3)有向曲面.,观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的),曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,曲面分左侧和右侧,莫比乌斯带(单侧曲面的典型),曲面法向量的指向决定曲面的侧.,决定了侧的曲面称为有向曲面,其方向用法向量指向,表示:,方向余弦,0 为前侧 0 为后侧,封闭曲面,0 为右侧 0 为左侧,0 为上侧 0 为下侧,外侧内

2、侧,侧的规定,在曲面的上侧cosg 0，,在曲面的下侧cosg 0,g(,例如:由方程zz(x,y)表示的曲面,分为上侧与下侧，,设 为有向曲面,其面元,在 xoy 面上的投影记为,的面积为,则规定,类似可规定,解决方法:微积分思想,大化小,常代变,近似和,取极限.,(1)若 是面积为S 的有向平面,法向量:,流速为常向量:,则流量,(2)若 是一般的有向曲面,法向量:,则流量,V(x,y,z),设 为光滑的有向曲面,在 上定义了一个,意分割和在局部面元上任意取点,分,记作,P,Q,R 叫做被积函数;,叫做积分曲面.,或第二类曲面积分.,下列极限都存在,向量场,若对 的任,2.定义.,称为Q

3、在有向曲面上对 z,x 的曲面积分;,称为R 在有向曲面上对 x,y 的曲面积分.,称为P 在有向曲面上对 y,z 的曲面积分;,说明:,(1)流过有向曲面 的流体的流量为,(2)三个对坐标的曲面积分之和的简记形式：,如果S是分片光滑的有向曲面，则规定:函数在S上对坐标的曲面积分等于函数在各片光滑曲面上对坐标的曲面积分之和,(3)在分片光滑的曲面上对坐标的曲面积分：,(4)存在条件:,(2)用 表示 的反向曲面,则,3.性质,(1)若,之间无公共内点,则,二、对坐标的曲面积分的计算方法,定理:设光滑曲面,是 上的连续函数,则,其中如果取曲面的上侧,则二重积分号前带正号;如果取曲面的下侧,则二重

4、积分号前带负号,证:,说明:,若,则有,(前正后负),若,则有,(右正左负),顺口溜:一投二代三定向,计算曲面积分,把有向曲面,分成以下六部分：,的上侧；,的下侧；,的前侧；,的后侧；,的右侧；,例34.1.,解：,的左侧.,除,外，其余四片曲面,在yoz面上的投影为0，,因此：,类似地可得：,于是所求曲面积分为：,解:,例34.2,计算,其中是球面,外侧,在,的部分,.,取下侧;,取上侧;,三、两类曲面积分之间的联系,(对坐标的曲面积分),(对面积的曲面积分),事实上,曲面的方向用法向量的方向余弦刻画,注:,向量形式,记 有向曲面 的单位法向量为,令,位于原点电量为 q 的点电荷产生的电场为

5、,解:,例34.3.,设,是其外法线与 z 轴正向,夹成的锐角,计算,解:,例34.4.,计算曲面积分,其中,解:利用两类曲面积分的联系,有,原式=,旋转抛物面,介于平面 z=0,及 z=2 之间部分的下侧.,例34.5.,原式=,设S 是球面,的外侧,计算,解:利用轮换对称性,有,例34.6.,内容小结,定义:,1.两类曲面积分及其联系,性质:,联系:,思考:,的方向有关,上述联系公式是否矛盾?,两类曲线积分的定义一个与 的方向无关,一个与,2.常用计算公式及方法,面积分,第一类(对面积),第二类(对坐标),二重积分,(1)统一积分变量,代入曲面方程(方程不同时分片积分),(2)积分元素投影

6、,第一类：面积投影,第二类：有向投影,(4)确定积分域,把曲面积分域投影到相关坐标面,注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.,转化,当,时，,（上侧取“+”,下侧取“”),类似可考虑在 yoz 面及 zox 面上的二重积分转化公式.,求,取外侧.,解:,注意号,其中,备用题,例34.7.,利用轮换对称性,莫比乌斯,全名：奥古斯特费迪南德莫比乌斯（August FerdiUs MobiUs，17901868年）是德国数学家、天文学家。1790年11月17日生于德国瑙姆堡附近的舒尔普福塔。1808年入莱比锡大学学习法律，后转攻数学、物理和天文。1814年获博士学位，1816年任副教授，1829年

7、当选为柏林科学院通讯院士，1844年任莱比锡大学天文与高等力学教授。1868年9月26日卒于莱比锡。,莫比乌斯的科学贡献涉及天文和数学两大领域。在数学方面,首先是他对19世纪射影几何学的影响。莫比乌斯发展了射影几何学的代数方法。,他在重心计算（1827年）一书中，创立了代数射影几何的基本概念-齐次坐标。在同一著作中他还揭示了对偶原理与配极之间的关系，并对交比概念给出了完善的处理。他较早对拓扑学作深入的探讨并给出恰当的提法。此外，莫比乌斯对球面三角等其它数学分支也有重要贡献。,公元1858年，莫比乌斯发现：把一个扭转180后再两头粘接起来的纸条，具有魔术般的性质。,因为，普通纸带具有两个面（即双

8、侧曲面），一个正面，一个反面，两个面可以涂成不同的颜色；而这样的纸带只有一个面（即单侧曲面），一只小虫可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘！,我们把这种由莫比乌斯发现的神奇的单面纸带，称为“莫比乌斯带”。,“莫比乌斯带”在生活和生产中已经有了一些用途。例如，用皮带传送的动力机械的皮带就可以做成“莫比乌斯带”状，这样皮带就不会只磨损一面了。如果把录音机的磁带做成“莫比乌斯带”状，就不存在正反两面的问题了，磁带就只有一个面了。,莫比乌斯带是一种拓扑图形,什么是拓扑呢？拓扑所研究的是几何图形的一些性质，它们在图形被弯曲、拉大、缩小或任意的变形下保持不变，只要在变形过程中不使原来不同的点重合为同一个点，又不产生新点。换句话说，这种变换的条件是：在原来图形的点与变换了图形的点之间存在着一一对应的关系，并且邻近的点还是邻近的点。这样的变换叫做拓扑变换。拓扑有一个形象说法橡皮几何学。因为如果图形都是用橡皮做成的，就能把许多图形进行拓扑变换。例如一个橡皮圈能变形成一个圆圈或一个方圈。但是一个橡皮圈不能由拓扑变换成为一个阿拉伯数字8。因为不把圈上的两个点重合在一起，圈就不会变成8,“莫比乌斯带”正好满足了上述要求。,