高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导.ppt

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1、,二元方程确定一元隐函数,方程组情形,第八章 多元函数微分法,第五节,上页 下页 返回 结束,隐函数的求导公式,三元方程确定二元隐函数,本节主题:,1.方程在什么条件下能确定隐函数?,例如,方程,当 C 0 时,能确定隐函数;,当 C 0 时,不能确定隐函数;,2.在方程能确定隐函数时,解决隐函数的求导数,问题.,上页 下页 返回 结束,由方程所确定的函数称为隐函数.,在一定条件下，,二元方程F(x,y)=0确定一元隐函数；,三元方程F(x,y,z)=0 确定二元隐函数；,.,一、二元方程确定一元隐函数,定理1.设函数,则(1)方程,一个单值连续可导函数 y=f(x),隐函数求导公式,定理证明

2、从略，仅就求导公式推导如下：,1)有连续的偏导数;,的某邻域内可唯一确定,在,的某邻域内满足,2),3),满足条件,(2),上页 下页 返回 结束,两边对 x 求导,在,的某邻域内,则,上页 下页 返回 结束,若F(x,y)的二阶偏导数也都连续,求隐函数的二阶导数:,则可,上页 下页 返回 结束,例1.验证方程,在点(0,0)的,某邻域内可确定一个单值连续可导的隐函数,解 令,连续,由定理1知,1),确定一个单值可导的隐函数,则,2),3),在(0,0)的某邻域内,所给方程能唯一,且,并计算,上页 下页 返回 结束,上页 下页 返回 结束,两边对 x 求导,两边再对 x 求导,令 x=0,注意

3、此时,第二种算法,利用隐函数求导法则,上页 下页 返回 结束,定理2.,若三元函数,的某邻域内有连续偏导数,则(1)方程,在,(2),唯一确定一个单值连续且有连续偏导数的函数 z=f(x,y),定理证明从略,仅就求导公式推导如下:,满足,1)在点,满足,2),3),的某邻域内可,上页 下页 返回 结束,二、三元方程确定二元隐函数,两边对 x 求偏导,同理可得,则,上页 下页 返回 结束,例2.设,解一 利用隐函数求导法则,再对 x 求导,上页 下页 返回 结束,解二 利用隐函数求导公式,设,则,两边对 x 求偏导,上页 下页 返回 结束,例3.,设F(x,y)有连续偏导数,解一 利用隐函数求导

4、公式.,所确定的隐函数,则,已知方程,故,上页 下页 返回 结束,对方程,解二 微分法.,上页 下页 返回 结束,两边求微分:,整理得,解得,三、方程组情形,隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.,由函数F、G 的偏导数组成的行列式,称为F、G 的雅可比(Jacobi)行列式.,以两个方程确定两个隐函数的情况为例：,上页 下页 返回 结束,定理3.,的某一邻域内具有连续偏,设函数,则方程组,3),的单值连续函数,且有偏导数公式:,1)在点,2),的某一邻域内可唯一确定一组满足条件,满足:,导数；,上页 下页 返回 结束,课本P34-P35,参见二元线性方程组的求解公式,上页 下页 返回 结束

5、,例4.设,解,现在,求,以下计算,(1)式两端分别对 x 求导，得,上页 下页 返回 结束,式中 u=u(x,y),v=v(x,y)由方程,(1),所确定.,因此,因此,(1)式两边对 y 求导,得,上页 下页 返回 结束,所以,内容小结,1.隐函数存在定理,2.隐函数求导方法,方法1.套公式;,方法2.利用复合函数求导法则直接计算;,方法3.利用微分形式不变性.,思考与练习,设,求,上页 下页 返回 结束,解一,上页 下页 返回 结束,确定隐函数,解二 利用全微分形式不变性.,作业 P52 30,31，33,35,36,由d x 的系数可得,上页 下页 返回 结束,等式,两端微分，得,类似

6、可求得,备用题,分别由下列两方程确定:,又函数,有连续的一阶偏导数,设,解 两个隐函数方程两边对 x 求导,得,2001考研,解得,因此,上页 下页 返回 结束,解,二元线性方程组的求解公式,上页 下页 返回 结束,雅可比(1804 1851),德国数学家.,他在数学方面最主要,的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独,地奠定了椭圆函数论的基础.,他对行列,式理论也作了奠基性的工作.,在偏微分,方程的研究中引进了“雅可比行列式”,并应用在微积分,中.,他的工作还包括代数学,变分法,复变函数和微分方,程,在分析力学,动力学及数学物理方面也有贡献.,他,在柯尼斯堡大学任教18年,形成了以他为首的学派.,上页 下页 返回 结束,