高等数学同济五版第一章第五节.ppt
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1、1/26,第五节 极限运算法则,二、极限四则运算法则,四、小结 思考题,一、无穷小的性质,三、复合函数的极限,2/26,一、无穷小的运算性质,【定理1】有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,【证】,考虑两个无穷小之和,且仅证 的情形,1)和的性质,3/26,【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.,n个,【例如】,非无穷小,4/26,【证】,【定理2】有界函数 与无穷小 的乘积是无穷小.,【分析】,(仅证 时),(注:M为定值),2)乘积的性质,设,又设,即,当,时,有,取,则当,时,就有,【证完】,故,即,是,时的无穷小.,5/26,【推论1】有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.,【推论2】
2、常数与无穷小的乘积是无穷小.,【推论3】有限个无穷小的乘积也是无穷小.,都是无穷小,【例1】,【解】,由定理 2 可知:,【说明】y=0 是,的渐近线.,6/26,二、极限的运算法则,【定理3】,【证】,由无穷小运算法则,得,以下符号lim表示自变量的同一变化过程,推广到有限项,【声明】,1.函数极限运算法则,7/26,由第三节定理3*得,8/26,【推论1】,常数因子可以提到极限记号外面.,【推论2】,有界,,函数和,差,积,商的极限等于极限的和,差,积,商.,9/26,【定理4】,设数列,【注意】,定理3及其两个推论成立的前提条件是:,“f(x)与g(x)的极限存在”,若,则,2.数列极限
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