高等数学02章极限.ppt
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1、第一节 极限的概念,一、数列的极限二、函数的极限三、极限的性质四、无穷小量与无穷大量,一般地,按照确定的次序排列起来的无穷多个,一、数列的极限,三、极限的性质,四、无穷小量与无穷大量,第二节 极限的运算,一、极限的运算法则二、两个重要极限 三、无穷小的比较,一、极限的运算法则,(3),(1),(2),例1 求,解 原式,例2 求,解 原式,例3 求,解 原式,例4 求,解 原式,其中,的极限,有下面结论:,一般地,对于有理函数(即两个多项式函数的商),例5 下列做法是否正确?,(1),解 错.正确的为,(2),解 错.正确的为,1.,此极限也可记为:,(式中代表同一个变量),例 求,解,(令,
2、当,时,),例8 求,解,例7 求,解,2,这里的,是一个无理数,,此极限也可记为,(式中代表同一变量),例9 求,解,1、问题的提出,考察下列极限,例如,,当,时,都是无穷小,而,,,,,没极限,这一事实反映了同一过程中如,时各个,的快慢程度.,小趋于,无穷,为比,为等价无穷小,记作,高阶的无穷小,记作,与,与,定义 设,(1)若,则称,(2)若,,,为常数,则称,(3)若,则称,与,是自变量的同一变化过程中的两个,无穷小,则在所论过程中:,;,为同阶无穷小;,2、无穷小的比较,是比,例如:,当,时,高阶的无穷小,当,时,与,是同阶无穷小,),),(,(,阶无穷小,是关于,当,时,的,(,)
3、,当,时,与,是等价无穷小,(令,则,当,时,于是,),常见的等价无穷小:,当,时,存在,则,3、无穷小的等价代换,定理 设在自变量的同一变化过程中,,,且,无穷小的等价代换只能代换乘积因子,注意:,在乘积的极限运算中,等价的无穷小因子可以相,互代换.,,,例10 求,解,例11 求,解,第三节 函数的连续性,一、函数的连续性概念 二、初等函数的连续性 三、闭区间上连续函数的性质,处有增量,称为函数,处连续,,1函数的连续性概念,定义1 设函数,时,相应地函数有增量,.如果当自变量增量,也趋于零,即,在点,在,的某邻域内有定义,当自,变量,在点,趋于零时,函数增量,则称函数,的连续点,处的函数
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