控制系统数模修改.ppt

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1、第二章 自动控制系统的数学模型,本章内容列写系统微分方程式的一般方法 非线性数学模型线性化 传递函数动态结构图和系统传递函数信号流图和梅逊公式小结,本 章 重 点,掌握控制系统方框图的构成和等效变换方法,掌握传递函数的概念及其求取方法,掌握闭环控制系统的传递函数的基本概念,梅逊公式的应用,概述,1.数学模型-描述系统变量之间关系的数学 表达式2.数学模型的主要形式:(1)外部描述法:输入-输出描述(2)内部描述法:状态变量描述 3.建模的基本方法:(1)机理建模法(解析法)(2)实验辩识法,数学模型是实验装置分析与设计控制系统的前提,已知控制系统的数学模型,可以进行控制系统的性能分析；已知被控

2、对象数学模型,可以设计常规控制系统。,工程控制中常用的数学模型有三种：,微分方程-时域描述 传递函数-复域描述 频率特性-频域描述 本节主要介绍传递函数与微分方程两种数学模型,第一节 列写系统微分方程的方法,线性系统微分方程的建立 步骤：1.确定系统的输入量(给定量和扰 动量)与输出量(被控制量,也称 为系统的响应)2.列写系统各部分的微分方程 3.消去中间变量,求出系统的微 分方程（标准化）。,例2.1 编写如图2-1所示RC电路的微分方程式 图 2-1 RC电路,解:(1)定输入输出量:u1(t)-输入量,u2(t)-输出量(2)列写微分方程 u1=iR+u2（3）消去中间变量,可得电路微

3、分方程式,左为输出，降幂排列；右为输入，降幂排列,解：1.确定输入输出量:u(t)-输入量,uc(t)-输出量2.以 作为中间变量，列写该回路的微分方程,例2-2求图示RLC回路的微分方程式,3.消去中间变量,得微分方程,例2-3求图示机械系统的微分方程 位移,牛顿力学定律,-弹性系数,图2-2,液位控制系统,Q1,Q2,+q1,+q2,H,+h,此时液位升高 趋于新的平衡,分析：,考虑到平衡状态时，H=定值，Q1=Q2,所以得消去中间变量q2(t),流体力学规律：此为非线性，线形化处理后,(2)列写微分方程式。电枢回路的微分方程式：电动机的机械运动方程式：（3）消去中间变量。得电动机的动态微

4、分方程式：,例2-4(1)编写电枢控制的直流他励电动机的微分方程式,解：(1)确定输入量和输出量。取输入量为电动机的电枢电压 ud，EG=ud 取输出量为电动机的转速 n,p17,中间变量,EG,电磁转矩,负载转矩（书中为Td),例2-4(2).试写出图2-4所示直流调速系统的微分方程式,图2-5 G-M 直流调速系统的框图,图2-4 G-M 直流调速系统原理图,解.,问题：与上题有何联系与区别,自动控制理论,放大器,(2-4),自动控制理论,直流他励发电机,由电机学原理得：,把式（2-6）代入（2-5），则得,（2-5）,（2-6）,（2-7）,式中,假设驱动发电机的转速n0恒定不变，发电

5、机没有磁滞回线和剩磁，发电机的磁化曲 线为一直线，即/ib=L。,图2-6 直流他励发电机电路图,自动控制理论,直流他励电动机 被控制量是电动机的转速n控制量：发电机的电动势EG和负载转矩TL。,由基尔霍夫定律和牛顿第二定律得,输入量是电动机的转速n，输出量是测速发电机的电压Ufn，假设测速发电机的磁场恒定不变，则Ufn与n成线性关系即有,测速发电机,自动控制理论,自动控制理论,第二节 非线性数学模型的线性化,非线性数学模型线性化的假设,变量对于平衡工作点的偏离较 非线性函数不仅连续，而且其多阶导数均存在,微偏法,在给定工作点领域将此非线性函数展开泰勒级数，并略去二阶及二阶以上的各项，用所得的

6、线性化方程代替原有的非线性方程。,设一非线性元件的输入为x、输出为y，它们间的 关系如图2-9所示，相应的数学表达式为,图 2-9 非线性特性的线性化,在平衡状态点运用台劳级数展开为,小偏差线性化法 设连续变化的非线性函数,平衡状态A为工作点,具有两个自变量的非线性函数的线性化,增量线性方程,第三节 传递函数,一、传递函数的定义 设线性定常系统由n阶线性定常微分方程描述：,在零初始条件下，取拉氏变换得：,G(s)称为系统或环节的传递函数.,定义：在零初始条件下，线性定常系统的输出量c(t)的拉氏变换C(s)与输入量r(t)的拉氏变换R(s)之比，即为传递函数。,传递函数方框表示,G(s),C(

7、s),R(s),数学模型间的关系,由于传递函数具有明显的因果关系,即C(s)=G(s)R(s),则将研究系统输入输出动态关系的复杂问题过渡到研究传递函数的结构特征上。将复杂系统的建模过程分解为对局部设备的建模因此，传递函数在后续系统性能分析与设计过程中使用的最为频繁!,注意传递函数定义!,d/dt s,例 2-5 图 2-1 所示RC电路的微分方程式为,初始条件为零时，拉氏变换为,该电路的传递函数为,式中 RC电路的时间常数。,例2-6 求直流他激电动机的传递函数。,以电枢电压为输入量、转速为输出量的微分方程式：,在初始条件为零时，上式的拉氏变换为：,传递函数为：,二、传递函数的性质,传递函数

8、取决于系统或元件的结构和参数，与外施信号的大小和形式无关。传递函数只适用于线性定常系统。传递函数分母阶次大于或等于分子阶段，即nm。一个传递函数是由相应的零极点组成的。,系统传递函数的拉氏反变换为系统的脉冲响应；反之，系统脉冲响应的拉氏变换为系统的传递函 数。,一个传递函数只能表示一对输入输出间的关系，不反映系统物理结构（是一种数学的抽象）。,传递函数是在零初始条件下定义的，当初始条件 不为零时，传递函数不能反映系统的全部特点。,三、典型环节的传递函数及暂态特性,传递函数为：,比例环节：其输出量和输入量的关系，由下 面的代数方程式来表示,式中 环节的放大系数，为一常数。,图2-3 比例环节,2

9、.惯性环节(非周期环节）,当输入量为单位跃阶函数时，惯性环节的输出量为：,求拉氏反变换得：,微分方程为：,传递函数为：,常见惯性环节,3.积分环节,传递函数为：,当输入量为单位阶跃函数时，输出量为：,微分方程为：,4.微分环节,传递函数为：,1）理想微分环节,微分方程为：,当输入量为阶跃函数时，输出量为：,2）实际微分环节（带有惯性）,传递函数为：,当 时,当输入量为阶跃函数时，输出量为：,3）比例微分环节（一阶微分方程）,微分方程为：,传递函数为：,当输入量为单位阶跃函数时，输出量为：,5.振荡环节,以RLC电路为例，其电路的电压平衡方程式为:,在零初始条件下取拉氏变换得传递函数为：,这种环

10、节包括有两个储能元件，当输入量发生变化时，两种储能元件的能量相互交换。在阶跃函数作用下，其暂态响应可能作周期性的变化。,图2-4 RLC电路,将传递函数转换为：,式中：,当输入量为阶跃函数时，输出量的拉氏变换为：,输出量为：,时，输出为等幅振荡（无阻尼震荡），振荡频率,时，输出为减幅振荡（阻尼震荡），阻尼比越 大，振荡越小；,时，输出为单调上升（两个惯性环节）。,微分方程：传递函数：单位阶跃响应常见延迟环节(1)带式运输机(2)钢板测厚调节系统(3)晶闸管的控制电质Uc与整流输出电质Ud,6.延迟环节,常见延迟环节(1)带式运输机(2)钢板测厚调节系统,四、传递函数的求取,直接法：列写出系统的

11、微分方程后，取其拉氏 变换后，由定义可得传递函数。,2.复阻抗法：对电路网路，利用复阻抗概念，以 复变量代替复阻抗j即可。,3.动态结构图求解：下节讲解。,实验法：测取系统在阶跃输入下动态响应或测 取系统频率特性的方法,例：列出图示的传递函数（采用复阻抗法或微分方 程法）,L,C,i,c,解法一：微分方程法,将（2）（3）代入（1）得：,解法二：复阻抗法,第四节框图和系统的传递函数,组成：1）信号线；2）引出点（或测量点）；3）比较点（或信号综合点）表示对信号进行叠加；4）方框（或环节）表示对信号进行变换，方框中 写入元部件或系统的传递函数。,框图：数学模型的图解表示法。,作用：1）表示了信号

12、的传递关系（保留了中间变量）；2）含有信号的运算关系（简化，求得总的传函）。,一、系统动态结构图的绘制步骤：,3.按照信号的传递方向把各方框图依次联接起来，就 构成了系统结构图。,首先按照系统的结构和工作原理，分解各个环节，并写出它的传递函数。,2.绘出各环节的动态方框图，图中标明其传递函数，并以箭头和字母符号表明其输入量和输出量。,退出,写出组成系统的各个环节的微分方程,求取各环节的传递函数，画出个体方框图,从相加点入手，按信号流向依次连接成整体方框图，既系统方框图,绘制方框图的步骤,例2-8：绘制如图所示 RC 电路的方框图。,退出,解：（1）求取各环节的传递函数,退出,（2）画出个体方框

13、图,退出,（3）从相加点入手，按信号流向依次连接成完整方框图。,退出,方框图是从实际系统抽象出来的数学模型，或是从传递函数的基础上得出来的，不代 表实际的物理结构，不明显表示系统的主 能源。,方框图的特点是：,能更直观、更形象地表示系统中各环节的 功能、相互关系以及信号的流向和每个 环节对系统性能的影响。,退出,研究方便。对于一个复杂的系统可以画出它 的方框图，通过方框图简化，不难求得系统 的输入、输出关系，在此基础上，无论是研 究整个系统的性能，还是评价每一个环节的 作用都是很方便的。,方框图的流向是单向不可逆的。,方框图不是唯一的。由于研究角度不一样，传递函数列写出来就不一样，方框图也就

14、不一样。,例题2-9（教材P32）：设有一RC两级滤波网络如图。其输入信号为，输出信号为，试建立结构图并求两级串联后传递函数。,退出,退出,解（1）考虑负载效应,退出,解：（2）不计负载效应 第一级滤波器的输入信号是，输出信号是，其传递函数为,第二级滤波器的输入信号是 输出信号为，其传递函数为,根据传递函数的相乘性，有,退出,比较（1）、（2）两式可知，考虑负载效应时，传递函数 的分母中多了一项。它表示了两个简单 RC 电路的相互影响。因此，在求串联环节的等效传递函数时应考虑环节间的负载效应，否则容易得出错误的结果。所以提出两点注意：,1）多个环节相串联在求其总传递函数时要考虑负载效应；2）后

15、一级的输入阻抗为无限大（或很大）时，可以不考虑它对前级的影响。,无源网络的方框结构图,+,二、结构图的等效变换,任何复杂的系统结构图，各方框之间的基本连接方式只有串联、并联和反馈连接三种。方框结构图的简化是通过移动引出点、比较点，交换比较点，进行方框运算后，将串联、并联和反馈连接的方框合并。,等效变换的原则：变换前后的变量之间关系保持不变,1.典型连接的等效传递函数,（1）串联等效,（2）并联,（3）反馈,反馈连接说明,2）前向通道传递函数,反馈引入点断开时，系统反馈量 B(s)与误差信号 E(s)的比值，称为闭环系统的开环传递函数。即,1）开环传递函数,误差信号 E(s)到输出端输出 C(s

16、)所有传递函数的乘积，记为G(s)。,3）反馈通道传递函数：,输出 C(s)到 反馈信号 B(s)之间的所有传递函数之乘积，记 为 H(s)。,若H(s)=1，称单位反馈。,分母中“+”为正反馈，“-”为负反馈。,结构图三种基本形式,串 联,并 联,负反馈,(4)综合点的移动,综合点后移,F(s),？,综合点后移证明推导（移动前）,综合点后移证明推导（移动后）,移动前,移动后,综合点后移证明推导（移动前后）,综合点后移证明推导（移动后）,综合点后移等效关系图,综合点前移,移动前,移动后,综合点前移证明推导（移动前后）,综合点的移动（前移）,综合点前移证明推导（移动后）,综合点的移动（前移）,综

17、合点前移等效关系图,综合点之间的移动,综合点之间的移动,结论：,结论：多个相邻的综合点可以随意交换位置。,(5)引出点的移动,引出点后移,？,R(s),问题：要保持原来的信号传递关系不变，？等于什么。,引出点后移等效变换图,引出点前移,问题：要保持原来的信号传递关系不变，？等于什么。,引出点前移等效变换图,引出点之间的移动,引出点之间的移动,相邻引出点交换位置，不改变信号的性质。,退出,相加点移动前后，分出支路信号保持不变。结论：相加点前移时，必须在移动的相加支路中，串入具有相同传递函数倒数的函数方框；相加点后移时，必须在移动的相加支路中，串入具有相同传递函数的函数方框。,分支点移动前后，分支

18、路信号是保持不变的。结论：分支点前移时，必须在分出支路串入具有相同传递函数的函数方框；分支点后移时，必须在分出支路串入具有相同传递函数倒数的函数方框。,结构图等效变换方法,引出点移动,G1,G2,G3,G4,H3,H2,H1,a,b,请你写出结果,行吗？,R(s),C(s),R(s),C(s),综合点移动,错！,G2,无用功,向同类移动,G1,三、控制系统的传递函数,控制系统的典型结构形式及其数学模型,“典型结构形式”意旨系统结构、方框和信号均具有明确的物理意义。其对应的数学模型将是全方位进行系统性能分析的前提。,给定输入下的闭环传递函数 C(s)/R(s)扰动输入下的闭环传递函数 C(s)/

19、D(s)给定输入下的误差传递函数 E(s)/R(s)扰动输入下的误差传递函数 E(s)/D(s)系统开环传递函数 B(S)/E(S)=G1(s)G2(s)H(s)系统特征方程 1+G1(s)G2(s)H(s)=0,1.只有给定作用时的闭环传递函数 和输出量CR(s)为：,2.只有扰动作用时的闭环传递函数 和输出量为,3.当两个输入量同时作用于系统时，则输出量 C(s)为：,例1:x2=a12 x1,x1,x2,方框图,信号流图,例2:x2=a12x1+a32x3 x3=a13x1+a23x2+a33x3 x4=a24x2+a34x3,x1 输入节点x4 输出节点x2,x3 中间节点（混合节点）

20、,信号流图是一种用图线表示线性系统方程组的方法。,第五节 信号流图和梅逊公式的应用,信号流图是一种用图线表示线性系统方程组的方法。一、信号流图中的术语（1）节点：用以表示变量或信号的点称为节点，用符号“”表 示。（2）支路：联系两个节点并标有信号流向的定向线段称为支路。（3）源点：只有输出支路的节点称为源点或称为输入节点。（4）阱点：只有输入支路的节点称为阱点或称为输出节点（5）混合节点：既有输入支点也有输出支点的节点称为混合节 点。（6）通路：从某一节点开始沿支路箭头方向经过各相连支路到 另一节点（或同一节点）构成的路径称为通路。开通路：与任一节点相交不多于一次的通路称为开通路。,退出,输入

21、节点（源点）,输出节点（阱点）,输入节点（源点）,闭通路：如果通路的终点就是通路的起点，并且与 任何其他节点相交不多于一次的称为闭通 路或称为回环（7）回环增益：回环中各支路传输的乘积称为回环 增益（或传输）（8）前向通路：是指从源头开始并终止于阱点且与 其他节点相交不多于一次的通路，该通路的各传输乘积称为前向通路 增益（9）不接触回环：如果一信号流图有多个回环，各 回环之间没有任何公共节点，就 称为不接触回环，反之称为接触 回环,e,1,a,b,c,d,f,g,h,C(s),R(s),信号流图,二、信号流图的绘制例说明绘制信号流图的过程。一系统的方程组为：,首先按照节点的次序绘出各节点，然后

22、根据各方程式绘制各支路。当所有方程式的信号流图绘制完毕后，即得系统的信号流图，如图2-12（a）。该系统相应的结构图如图2-12（b）所示,图2-12 系统信号流图和结构图,三、梅逊增益公式,从源点到阱点的传递函数（或总增益）从源点到阱点的前向通路总数从源点到阱点的第k条前向通路总增益,流图特征式,所有单独回路之和两、两不接触回路增益的乘积之和三、三不接触回路增益的乘积之和为在中除去与第k条前向通路相接触的回路后的特征式，称为第k条前向通路特征式的余因子。,e,1,a,b,c,d,f,g,h,C(s),R(s),C(s),R(s),=,1,+,+,信号流图,梅逊公式例R-C,P1=1,1=1+

23、G2H2,P11=?,E(s)=,(G2H3),R(s),N(s),(1+G2H2),(-G3G2H3),+,+,P2=-G3G2H3,2=1,P22=?,梅逊公式求E(s),P1=G2H3,1=1,小 结,数学模型的基本概念。数学模型是描述系统暂态过程的数学表达式，是对系统进行理论分析研究的主要依据。通过解析法对实际系统建立数学模型。在本章中，根据系统各环节的工作原理，建立其微分方程式，反映其动态本质。,非线性元件的线性化。针对非线性元件的非线性微分方程分析的难度，本章介绍采用小偏差线性化方法对非线性系统的线性化描述。传递函数。通过拉氏变换求解微分方程是一种简捷的微分方程求解方法。本章介绍了如何将线性微分方程转换为复数s域的数学模型传递函数以及典型环节的传递函数。,动态结构图。动态结构图是传递函数的图解化，能够直观形象地表示出系统中信号的传递变换特性，有助于求解系统的各种传递函数，分析研究系统。信号流图。信号流图是一种用图线表示系统中信号流向的数学模型，完全包括了描述系统的所有信息及相互关系。通过运用梅逊公式能够简便、快捷地求出系统的传递函数。,