高等数学连续函数的运算.ppt

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1、,一、连续函数的运算法则,第十一节,二、初等函数的连续性,连续函数的运算与,初等函数的连续性,第一章,在其定义域内连续,一、连续函数的运算法则,定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,(利用极限的四则运算法则证明),商(分母不为 0)运算,结果仍是一个在该点连续的函数.,例1.,设函数 f(x)和 g(x)在点 连续，则他们的和（差）,、积 及商（当 时）都在点,连续。,在,上连续,其反函数,在,上也连续单调递增.,例3.,单调递增,定理2.连续单调递增函数的反函数也连续单调递增.,例2.,在,上连续单调,其反函数,(递减),(证明略),在1,1上,(递减),也连续单调递增.,递增，

2、,定理3.连续函数的复合函数是连续的.,设函数,于是,故复合函数,且,即,注：,由于,连续函数符号f 和极限号 可以交换次序。,所以,即,例如,是由连续函数链,因此,在,上连续.,复合而成,例4.求,解:,原式,例5.求,解:令,则,原式,说明:由此可见当,时,有,二、初等函数的连续性,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在定义区间内连续,例如,的连续区间为,(端点为单侧连续),的连续区间为,的定义域为,因此它无连续点,而,例6.求极限,解：,例7.求极限,解：,例8.求,解:,原式,说明:若,则有,型,关于1型极限的求法,例9.求,解：

3、,幂指函数,一般的,对于形如 的,函数(通常称为幂指函数),如果,那么,注:lim表示在同一自变量变化过程中的极限.,内容小结,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数的四则运算结果仍连续,连续函数的反函数连续,连续函数的复合函数连续,初等函数在定义区间内连续,说明:分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性.,作业 P52 1(1)(2)(6);3,第十节,1.设函数,在 x=0 连续,则 a=,b=.,提示:,思考与练习,有无穷间断点,及可去间断点,解:,为无穷间断点,所以,为可去间断点,极限存在,2.设函数,试确定常数 a 及 b.,3.求极限,令,4.求极限：,解:,6.求,解:原式=,