高等数学第十二章微分方程第八节二阶常系数齐次线性.ppt

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1、,第十二章 微分方程,第八节,上页 下页 返回 结束,常系数齐次线性微分方程,常系数齐次线性微分方程的解,掌握通解与特征根的关系,特征方程的根,二阶常系数齐次线性微分方程的标准形式:,因子r;,上页 下页 返回 结束,如何求解?,分析:,和它的导数相差常数,可能是微分方程的解!,将,代入微分方程,得,因此,函数,是微分方程的解,常数 r 满足,1.当,时,特征方程有两个相异实根,微分方程有两个线性无关的特解:,微分方程的通解为,上页 下页 返回 结束,称,为微分方程,的特征方程,特征方程的根称为微分方程的特征根.,三种情形:,2.当,时,特征方程有两个相等实根,微分方程有一个特解,设另一特解为

2、,(u(x)待定),代入微分方程得:,是特征方程的重根,取 u=x,则得,因此原方程的通解为,上页 下页 返回 结束,3.当,时,特征方程有一对共轭复根,这时原方程有两个复数解:,利用解的叠加原理,可得原方程的线性无关特解:,因此原方程的通解为,上页 下页 返回 结束,小结:求解微分方程,特征方程:,实根,以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.,上页 下页 返回 结束,的步骤:,第一步 写出,第二步 求出,第三步 依据下表写出微分方程的通解:,若特征方程含 k 重复根,若特征方程含 k 重实根 r,则其通解中必含对应项,则其通解中必含,对应项,特征方程:,推广:,上页 下页 返回 结束,对

3、n 阶常系数齐次线性微分方程,例1.,的通解.,解 特征方程,特征根:,因此原方程的通解为,例2.求解初值问题,解 特征方程,有重根,因此原方程的通解为,利用初始条件得,于是所求初值问题的解为,上页 下页 返回 结束,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例3,上页 下页 返回 结束,例4.求以,为通解的微分方程.,解 由通解式可知特征方程的根为,故特征方程为,因此微分方程为,例5.,的通解.,解 特征方程,特征根:,因此原方程通解为,例6.,解 特征方程:,特征根:,原方程通解:,(不难看出,原方程有特解,上页 下页 返回 结束,内容小结,特征根:,(1)当,时,通解为,(2)当,时,通解为,(3)当,时,通解为,可推广到高阶常系数线性齐次方程.,上页 下页 返回 结束,思考与练习,求方程,的通解.,答案:,通解为,通解为,通解为,作 业 P 289 43（1，3，5，6）；44（2，4）,上页 下页 返回 结束,附加例题1.,为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解.,解 根据给定的特解知特征方程有根:,因此特征方程为,即,故所求方程为,其通解为,上页 下页 返回 结束,求以,附加例题2.,求微分方程 的通解.,令,则,特征根,通解,解,原方程的通解为,上页 下页 返回 结束,