高等数学第十二章微分方程第六节可降阶.ppt

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1、,第十二章 微分方程,第六节,上页 下页 返回 结束,可降阶高阶微分方程,一、,令,因此,即,同理可得,依次通过 n 次积分,可得含 n 个任意常数的通解.,型,上页 下页 返回 结束,例1.,解,上页 下页 返回 结束,例2.质量为 m 的质点受力F 的作用沿 Ox 轴作直线,运动,在开始时刻,随着时间的增大,此力 F 均匀地减,直到 t=T 时 F(T)=0.,如果开始时质点在原点,解 据题意有,t=0 时,设力 F 仅是时间 t 的函数:F=F(t).,小,求质点的运动规律.,初速度为0,且,对方程两边积分,得,上页 下页 返回 结束,利用初始条件,于是,两边再积分得,再利用,故所求质点

2、运动规律为,上页 下页 返回 结束,型,设,原方程化为一阶方程,设其通解为,则得,再一次积分,得原方程的通解,二、,上页 下页 返回 结束,例3.求解,解,代入方程得,分离变量,积分得,利用,于是有,两端再积分得,利用,因此所求特解为,上页 下页 返回 结束,例4.,绳索仅受,重力作用而下垂,解 取坐标系如图.,考察最低点 A 到,(:密度,s:弧长),弧段重力大小,按静力平衡条件,有,故有,设有一均匀,柔软的绳索,两端固定,问该绳索的平衡状态是怎样的曲线?,任意点M(x,y)弧段的受力情况:,两式相除得,上页 下页 返回 结束,则得定解问题:,原方程化为,两端积分得,则有,两端积分得,故所求

3、绳索的形状为,悬 链 线,上页 下页 返回 结束,三、,型,令,故方程化为,设其通解为,即得,分离变量后积分,得原方程的通解,上页 下页 返回 结束,例5.求解,代入方程得,两端积分得,(一阶线性齐次方程),故所求通解为,解,上页 下页 返回 结束,M:地球质量m:物体质量,例6.,静止开始落向地面,求它落到地面时的速度和所需时间,(不计空气阻力).,解 如图所示选取坐标系.,则有定解问题:,代入方程得,积分得,一个离地面很高的物体,受地球引力的作用由,上页 下页 返回 结束,两端积分得,因此有,注意“”号,上页 下页 返回 结束,由于 y=R 时,由原方程可得,因此,落到地面(y=R)时的速

4、度和所需时间分别为,上页 下页 返回 结束,注 若此例改为如图所示的坐标系,解方程可得,问:此时开方根号前应取什么符号?说明道理.,则定解问题为,上页 下页 返回 结束,例7.解初值问题,解 令,代入方程得,积分得,利用初始条件,根据,积分得,故所求特解为,得,上页 下页 返回 结束,为曲边的曲边梯形面积,上述两直线与 x 轴围成的三角形面,例8.,二阶可导,且,上任一点 P(x,y)作该曲线的,切线及 x 轴的垂线,区间 0,x 上以,解,于是,在点 P(x,y)处的切线倾角为,满足的方程.,积记为,(99 考研),上页 下页 返回 结束,再利用 y(0)=1 得,利用,得,两边对 x 求导

5、,得,定解条件为,方程化为,利用定解条件得,得,故所求曲线方程为,上页 下页 返回 结束,内容小结,可降阶微分方程的解法,降阶法,逐次积分,令,令,上页 下页 返回 结束,思考与练习,1.方程,如何代换求解?,答:令,或,一般说,用前者方便些.,均可.,有时用后者方便.,例如,2.解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题?,答:(1)一般情况,边解边定常数计算简便.,(2)遇到开平方时,要根据题意确定正负号.,例6,例7,上页 下页 返回 结束,P292 1(5),(7),(10);2(3),(6);3;4,作 业,上页 下页 返回 结束,发，速度大小为 2v,方向指向A.,提示:设 t 时刻 B 位于(x,y),如图所示,则有,去分母后两边对 x 求导,得,又由于,设走私船 A 从点(0,1)出发,以大小为,备用题,常数v 的速度沿 y 轴正向运动,缉私船 B 从(1,0)出,试建立缉私船 B 的运,动轨迹应满足的微分方程及初始条件.,上页 下页 返回 结束,代入 式得所求微分方程:,其初始条件为,上页 下页 返回 结束,