高等数学方明亮版数学课件101常数项级数的概念与性质.ppt

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1、2023年11月6日星期一,1,高等数学多媒体课件,牛顿（Newton）,莱布尼兹（Leibniz）,2023年11月6日星期一,2,第十章 无穷级数,（Infinite Series）,第一节 常数项级数的概念与性质第二节 常数项级数的审敛法第三节 幂级数第四节 函数展开成幂级数第五节 函数的幂级数展开式的应用 第六节 傅立叶级数,主 要 内 容,2023年11月6日星期一,3,第一节 常数项级数的概念和性质,第十章,（Conception and property of constant term series）,一、常数项级数的基本概念,二、收敛级数的基本性质,三、小结与思考练习,202

2、3年11月6日星期一,4,一、常数项级数的基本概念,定义,给定一个数列,将各项依,即,称上式为无穷级数，,其中第 n 项,叫做级数的一般项,级数的前 n 项和,次相加,简记为,称为级数的部分和.,则称无穷级数,2023年11月6日星期一,5,收敛,并称 S 为级数的和,记作,当级数收敛时,称差值,为级数的余项.,则称无穷级数发散.,显然,2023年11月6日星期一,6,2023年11月6日星期一,7,例3 讨论等比级数,(又称几何级数),(q 称为公比)的敛散性.,解:1)若,从而,因此级数收敛,从而,则部分和,因此级数发散.,其和为,2023年11月6日星期一,8,2)若,因此级数发散;,因

3、此,n 为奇数,n 为偶数,从而,综合 1)、2)可知,时,等比级数收敛;,时,等比级数发散.,则,级数成为,不存在,因此级数发散.,2023年11月6日星期一,9,二、收敛级数的基本性质,性质1 若级数,收敛于 S,则各项,乘以常数 c 所得级数,也收敛,证:令,则,这说明,收敛,其和为 c S.,说明:级数各项乘以非零常数后其敛散性不变.,即,其和为 c S.,2023年11月6日星期一,10,性质2 设有两个收敛级数,则级数,也收敛,其和为,证:令,则,这说明级数,也收敛,其和为,2023年11月6日星期一,11,2023年11月6日星期一,12,性质3,在级数前面加上或去掉有限项,不会

4、影响级数,的敛散性.,证:将级数,的前 k 项去掉,的部分和为,数敛散性相同.,当级数收敛时,其和的关系为,类似可证前面加上有限项的情况.,极限状况相同,故新旧两级,所得新级数,2023年11月6日星期一,13,性质4,收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数,的和.,证:设收敛级数,若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列,为原级数部分和,序列,的一个子序列,推论:若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.,注意:收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,但,发散.,因此必有,例如，,用反证法可证,例如,2023年11月6日星期一,14,证:,可见:若级数的一般项不趋于0,则级数必发散.,例如,其

5、一般项为,不趋于0,因此这个级数发散.,2023年11月6日星期一,15,注意:,并非级数收敛的充分条件.,例如,调和级数,虽然,但此级数发散.,事实上,假设调和级数收敛于 S,则,但,矛盾!,所以假设不真.,课本给出了另外两种证法！,2023年11月6日星期一,16,例6 判断级数的敛散性:,解:考虑加括号后的级数,发散,从而原级数发散.,2023年11月6日星期一,17,内容小结,常数项级数的基本概念:常数项级数、收敛、发散、等比级数、调和级数,3.级数收敛的判别方法,2.收敛级数的5个性质,课外练习,习题101 3（偶数题）；4,2023年11月6日星期一,18,思考与练习,答:（1）若

6、二级数都发散,不一定发散.,例如,（2）若两级数中一个收敛一个发散,则必发散.,(用反证法可证),2023年11月6日星期一,19,解:(1),所以级数(1)发散;,技巧:,利用“拆项相消”求和,2、判别下列级数的敛散性:,2023年11月6日星期一,20,(2),所以级数(2)收敛,其和为 1.,技巧:,利用“拆项相消”求和,2023年11月6日星期一,21,3、判断下列级数的敛散性,若收敛求其和:,解:(1)令,则,故,从而,这说明级数(1)发散.,2023年11月6日星期一,22,因,进行拆项相消,这说明原级数收敛,其和为,(2),2023年11月6日星期一,23,这说明原级数收敛,其和为 3.,(3),