高等数学方明亮54广义积分.ppt

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1、2023年11月6日星期一,1,新课引入,前面讨论的定积分，,都是在有限区间上的有界函数,这类积分属于通常意义下的积分.,的积分，,但在实际问题中，,还会遇到积分区间为无限,或被积,函数在积分区间上是无界的情况，,这就需将定积分的概念推广，,推广后的积分被称为,广义积分.,常义积分,积分限有限,被积函数有界,推广,无穷限的广义积分,无界函数的广义积分,2023年11月6日星期一,2,第四节 广义积分,第五章,（Improper Integrals),二、无界函数的广义积分,一、无穷限的广义积分,三、思考与练习,2023年11月6日星期一,3,一、无穷限（Infinite Intervals）的

2、广义积分,引例 曲线,和直线,及 x 轴所围成的开口曲,边梯形的面积,可记作,其含义可理解为,2023年11月6日星期一,4,若,存在,则称此极限为 f(x)的无穷限广义积分,记作,这时称广义积分,收敛;,如果上述极限不存在,就称广义积分,发散.,类似地,若,则定义,定义1 设,2023年11月6日星期一,5,则定义,(c 为任意取定的常数),只要有一个极限不存在,就称,发散.,无穷限的广义积分也称为第一类广义积分.,并非不定型,说明:上述定义中若出现,它表明该广义积分发散.,2023年11月6日星期一,6,引入记号,则有类似牛 莱公式的计算表达式:,2023年11月6日星期一,7,证:当 p

3、=1 时有,当 p 1 时有,当 p 1 时收敛;p1,时发散.,因此,当 p 1 时,广义积分收敛,其值为,当 p1 时,广义积分发散.,例1 证明第一类 p 积分,（课本 例2）,2023年11月6日星期一,8,解:,思考:,分析:,原积分发散!,注意:对广义积分,只有在收敛的条件下才能使用,“偶倍奇零”的性质,否则会出现错误.,例2 计算广义积分,2023年11月6日星期一,9,二、无界函数（Unbounded Functions）的广义积分,引例:曲线,所围成的,与 x 轴,y 轴和直线,开口曲边梯形的面积,可记作,其含义可理解为,2023年11月6日星期一,10,而在点 a 的右邻域

4、内无界,存在,这时称广义积分,收敛;,如果上述极限不存在,就称广义积分,发散.,类似地,若,而在 b 的左邻域内无界,若极限,数 f(x)在 a,b 上的广义积分,记作,则定义,则称此极限为函,定义2 设,2023年11月6日星期一,11,若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类,而在点 c 的,无界函数的积分又称作第二类广义积分,无界点常称,邻域内无界,为瑕点(奇点).,例如,间断点,而不是广义积分.,则本质上是常义积分,则定义,说明:,2023年11月6日星期一,12,的计算表达式:,则也有类似牛 莱公式的,若 b 为瑕点,则,若 a 为瑕点,则,若 a,b 都为瑕点,则,则,可相消吗?,

5、注意:若瑕点,2023年11月6日星期一,13,提示：,例 3,求积分,x=0是瑕点,故x=2是瑕点,2023年11月6日星期一,14,证:当 q=1 时,当 q 1 时收敛;q1,时发散.,当 q1 时,所以当 q 1 时,该广义积分收敛,其值为,当 q 1 时,该广义积分发散.,例5 证明广义积分,（课本习题54 4）,2023年11月6日星期一,15,内容小结,1.广义积分,积分区间无限,被积函数无界,常义积分的极限,2.两个重要的广义积分,2023年11月6日星期一,16,相转化.,例如,(2)当一题同时含两类广义积分时,应划分积分区间,分别讨论每一区间上的广义积分.,说明:(1)有时通过换元,广义积分和常义积分可以互,2023年11月6日星期一,17,课外练习,习题54 1(2),(4),(6),(7);3(2),(4),思考练习,1.习题54 5,解：,2023年11月6日星期一,18,2.试证,并求其值.,解:,令,2023年11月6日星期一,19,