高等数学微积分第十章第2节.ppt

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1、第二节 Gauss公式与散度,一、Gauss公式,二、散度,三、外微分形式简介,Gauss公式揭示了第二型曲面积分与三重积分之间一种重要的关系，这在理论上和应用上都十分重要。,一、Gauss公式,讨论第二型曲线积分时，Green公式揭示了第二型曲线积分与二重积分之间的关系。而对第二型曲面积分是否有类似的性质？这就是我们要得到重要的性质Gauss公式.,则,定理1 设 是空间的有界闭区域，其边界 由有限光滑或分片光滑的曲面所组成，取外侧，,一、Gauss公式,解：利用Guass公式求解,例1 设是由以O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)和C(0,0,1)为顶点的四面体OABC的表

2、面，取外侧，求向量场 通过的通量。,一、Gauss公式的计算,一、Gauss公式,这时 取下侧，,取上侧，,取外侧，,我们有,一、Gauss公式,又在 上,故,同理,一、Gauss公式,所以,当 不是简单区域时，可用如同Green公式那样的思想方法，用若干辅助平面把 分割成有限个简单区域，在利用积分可加性，并注意辅助平面在 内的每个部分都分属两个小区域，且它的两个侧面方向相反，沿着它的曲面积分互相抵消，从而证明定理1仍然成立。,由两类曲面积分之间的关系知,一、Gauss公式,Gauss公式的实质,表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.,注记以下情况用Gauss公式计算

3、较为方便：,较为简单且 易于计算.,使用Guass公式时应注意:,一、Gauss公式,1.P,Q,R是对什么变量求偏导数.,2.是否满足高斯公式的条件.,3.是取闭曲面的外侧.,4.若不是闭曲面，可采用补上若干块曲面后使之成为闭曲面，补上的曲面要与原曲面构成外侧或内侧.,解:因被积函数均为一次式，其偏导数为常数，曲面是封闭的，故可用Gauss公式计算.,一、Gauss公式的计算,例2 计算积分,其中是正方体,的整个表面，取外侧。,一、Gauss公式的计算,解:由 Gauss公式,这种求法是否正确，为什么？,一、Gauss公式的计算,解:由 Gauss公式,例4 求向量场 穿过由曲面 和 所围成

4、立体表面外侧的通量。,一、Gauss公式的计算,由Gauss公式,利用球坐标系，,一、Gauss公式的计算,例5 计算曲面积分 其中是旋转抛物面 介于 及之间的部分，取下侧。,解：,一、Gauss公式的计算,故所求积分为,一、Gauss公式的计算,例7 计算曲面积分,取下侧。,其中为上半球面,(0,0,a),(0,a,0),(a,0,0),解:因不是封闭的，不能直接使用Gauss公式，但可补上圆,取上侧.,它与组成一个封闭的曲面，取内侧，记它们所围的区域为,由Gauss公式,一、Gauss公式的计算,又,一、Gauss公式的计算,故,一、Gauss公式的计算,例8 计算曲面积分,其中为曲面 的

5、外侧，,对吗？，为什么？,如果为曲面 的外侧,如何求解，为什么？,1 散度的概念及其计算公式,二、散度,设 是一个不可压缩的稳定的流速场，对于场中任一点M，在点M的某领域作一张包围M的光滑封闭曲面，取外侧，记 所围的区域为，这时，表示单位时间从 经 流向外侧的流量，而,表示单位时间从单位体积流出 的平均流量，称为 在 的平均源强，越小，(2.2)就能越好地近似描述场 在点M处的源的强度，令 收缩到M,记成,所得极限,就可用来刻划 在点M处的源的强度。,(2.2),(2.3),二、散度,定义1:设 是一个向量场,若极限(2.3)存在且与无关，则称之为场 在点M处的散度,记为，即,(2.4),若，

6、则说场 在点M处有正源，,若，则说场 在点M处有负源（漏洞），,若，就说场 是一个无源场.,二、散度,(2.5),下面我们建立散度在直角坐标系下的表达式,定理2:设 则 在点M处的散度,证明：由Gauss公式和第一型积分的中值定理,二、散度,利用(2.4),Gauss公式(2.1)可写成,其中 是 中的某一点,当 时 故,(2.6),2 散度的性质,二、散度,(1)(线性)设 和 是向量场，和 是常数，则,(2)设u=u(x,y,z)为函数，为向量场，则,它有明显的物理意义，设 为不可压缩的稳定的流速场，(2.6)右端的三重积分表示单位时间 内所产生的流体的总量，而左边的曲面积分表示单位时间流

7、体通过 的边界曲面流向外侧的流量，二者应当相等。所以(2.1)和(2.6)又称为散度定理.,(3),证明：,二、散度,解:,(2)由(2.7)和(2.8)知,(1)由(2.5)知,例9 设 表示在原点的点电荷q所产生的静电场的电位移矢量，求：,由梯度的性质知,故,例8指出：当 时，由点电荷q产生的电位移量 是无源场.,利用Hamilton的算子，散度及其性质可表述为,二、散度,二、散度,证明:,由散度定理及散度的性质,故,因 f 在 调和，故,例12 设 为闭区域 的边界曲面，是 的外法向量，f在 调和，证明,二、散度,例13 设 简单光滑曲面 的是区域 的边界，是 在点(x,y,z)处的外法向量,计算Guass积分：,解:,(1)若 在 的外部，,二、散度,(2)若 在 的内部，以 为中心，为半径作球面,使 及其内部都落在 内部，取外侧，取内侧，记以 为边界的区域为.,由例9(2)知，故,二、散度,所以,又当 时，与 同向，这时,故,在 内，由(1)知.,