高等数学同济版第一节微分中值定理.ppt

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1、第三章,中值定理,应用,研究函数性质及曲线性态,利用导数解决实际问题,罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,泰勒公式(第三节),微分中值定理,与导数的应用,一、罗尔(Rolle)定理,第一节,二、拉格朗日中值定理,三、柯西(Cauchy)中值定理,中值定理,第三章,费马(fermat)引理,一、罗尔(Rolle：1652-1719)定理,且,存在,定义：导数为0的点称为驻点（或稳定点、临界点）,费马(1601 1665),罗尔（Rolle）定理,满足:,(1)在区间 a,b 上连续,(2)在区间(a,b)内可导,(3)f(a)=f(b),使,注意:,1)定理条件条件不全具备,结论不一定

2、成立.,使,2)定理条件只是充分的.,本定理可推广为,在(a,b)内可导,且,在(a,b)内至少存在一点,例1.证明方程,有且仅有一个小于1 的,正实根.,证:1)存在性（介值定理）,2)唯一性（反证法+罗尔定理）,二、拉格朗日（Lagrange）中值定理,(1)在区间 a,b 上连续,满足:,(2)在区间(a,b)内可导,至少存在一点,使,拉格朗日中值定理的有限增量公式:,令,则,拉格朗日(1736 1813),推论:,例2.证明等式,例3.证明不等式,三、柯西(Cauchy)中值定理,及,(1)在闭区间 a,b 上连续,(2)在开区间(a,b)内可导,(3)在开区间(a,b)内,至少存在一

3、点,使,满足:,柯西(1789 1857),柯西定理的几何意义:,注意:,弦的斜率,切线斜率,例4.设,至少存在一点,使,证明,例5.试证至少存在一点,使,证1：辅助函数+Cauchy 证2：辅助函数+Rolle,内容小结,1.微分中值定理的条件、结论及关系,罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,2.微分中值定理的应用,(1)证明恒等式,(2)证明不等式,(3)证明有关中值问题的结论,关键:利用逆向思维设辅助函数,费马引理,思考与练习,1.填空题,函数,在区间 1,2 上满足拉格朗日定理,条件,则中值,2.设,且在,内可导,证明至少存,在一点,使,3.若,可导,试证在其两个零点间一定有,的零点.,作业,P134 7,8,10,14,15,备用题,求证存在,使,1.设,可导，且,在,连续，,设,证明对任意,有,2.,