高等数学同济五版第一章第三节.ppt

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1、1/30,第三节 函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,二、自变量趋向有限值时函数的极限,三、函数极限的性质,四、小结 思考题,2/30,【数列极限】,整标函数,【函数的极限】,有,两大类情形,3/30,单击任意点开始观察,一、自变量x时,f(x)的极限,1.【引例】,单击任意点开始观察,单击任意点开始观察,单击任意点开始观察,单击任意点开始观察,单击任意点开始观察,单击任意点开始观察,观察完毕,4/30,通过上面演示实验的观察:,【问题2】,如何用数学语言刻划函数“无限接近”.,是在 x 的过程中实现的,即x时,f(x)0.,2.【直观定义】在x时，函数值f(x)无限接近于一个确定的

2、常数A,称A为f(x)当x时的极限.,5/30,3.【精确定义】,如果对于任意给定的正数(不论它多么小)，总存在着正数X，使得当|x|X 时，恒有|f(x)-A|成立，则称 x 趋于无穷大时函数 f(x)以A为极限。记为：,【“-X”定义】分析定义,x+及x-情形,【定理】,6/30,4.【几何意义】,Flash动画演示,7/30,【例1】,【证】,5.【水平渐近线】,8/30,二、自变量xx0有限值时,函数 f(x)的极限,1.【引例】,9/30,它是在 的过程中实现的,【问题】,如何用数学语言刻划函数“无限接近”.,2.【直观定义】（自己总结）,10/30,3.【分析定义】,“-”定义,设

3、f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果对于任意给定的e 0,总存在 d 0,使得当0|x-x0|d,恒有|f(x)-A|e成立，则称x x0时函数f(x)以常数 A为极限，记为,【注意】,意味着,（但不是函数关系，因不唯一）,11/30,4.【几何意义】,Flash动画演示,12/30,【例2】,【证】,【例3】,【证】,13/30,【例4】,【证】,函数在点x=1处没有定义.但不影响考察该点极限的存在性,14/30,【例5】,【证】,15/30,5.【单侧极限】,【例如】,16/30,【左极限】,【右极限】,【注意】,17/30,左右极限存在但不相等,【例6】,【证】,【极限存在定理】

4、,18/30,三、函数极限的性质,1.【唯一性】,【注】以下仅以 形式为代表给出函数极 限的一些定理，其它形式类推之。,【证明】（略）（自证）,19/30,【定理2】,【证】,有,则定理2得证,2.【局部有界性】,20/30,3.【局部保号性】,【证】,有,【证完】,容易推得下面更强的结论：,【定理3】,21/30,【定理3*】,【推论】,【证明】,利用定理3反证之（略）.,22/30,4.【子列收敛性】(函数极限与数列极限的关系),【定义】,【定理4】,23/30,【分析】,【证】,24/30,【例如】,【证完】,综合上述画线部分即得,25/30,函数极限与数列极限的关系（海因定理）,函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.,【说明】,常用海因定理来判断函数在某变化过程中的极限不存在,【推广】,26/30,【例7】（补）,【证】,二者不相等,27/30,四、小结,【数列、函数极限的统一定义】,(见下表),28/30,29/30,【思考题】,30/30,【思考题解答】,左极限存在,右极限存在,不存在.,