高等数学上31中值定理.ppt

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1、3.1 中值定理,洛尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理,第三章 微分中值定理,引理 设函数 f(x)在a,b上有定义，并且在点x0(a,b)取到最值，f(x)在点x0 可导，则 f(x0)=0。,证:设 f(x0)值最大,则,证毕,费马,一、罗尔(Rolle)定理 P128,几何解释:,A,B,罗尔(Rolle)定理 如果函数 f(x)满足：,（1）在闭区间a,b上连续；,（2）在开区间(a,b)内可导；,（3）在区间端点的函数值相等，即 f(a)=f(b),那么在(a,b)内至少存在一点(ab),使得函数f(x)在该点的导数等于零，即：f()=0.,物理解释:,变速直线运动在折返点处,瞬

2、时速度等于零.,证明,故在 a,b 上取得最大值,M 和最小值 m.,若 M=m,则,因此,若M m,则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,不妨设,则至少存在一点,使,则由费马引理得,证毕,注:,定理条件条件不全具备,结论不一定成立.,例如,零点定理用不上!,?!,证毕,例2.证明方程,有且仅有一个小于1 的,正实根.,证:1)存在性.,则,在 0,1 连续,且,由零点定理知存在,使,即方程有小于 1 的正根 x0.,设,例2.证明方程,有且仅有一个小于1 的,正实根.,2)唯一性.,假设另有,为端点的区间满足罗尔定理条件,至少存在一点,但,矛盾,故假设不真!,证毕,证:1)存在性.,存在

3、 使,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 P129,思考:,表示直线AB的斜率.,拉格朗日中值定理 如果函数 f(x)满足：,（1）在闭区间a,b上连续；,（2）在开区间(a,b)内可导；,那么 在(a,b)内至少存在一点(ab),使得,几何解释:,证明分析:,(1)比较L-定理与R-定理不同?,作辅助函数,证1:,直线AB方程:,应用Rolle定理即可.,思路:利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数,作辅助函数,显然,在 a,b 上连续,在(a,b)内可导,且,证2:,问题转化为证,由罗尔定理知至少存在一点,即定理结论成立.,证毕,推论,证明：设区间I为(a,b)，x1,x2是(a

4、,b)内任意两点，,，(在x1,x2之间),由x1,x2的任意性知:f(x)=常数,x(a,b).证毕!,由拉格朗日中值定理,例3P134-6,证,证毕,例4P132-1,证,证毕,拉格朗日中值定理又称有限增量定理.,微分中值定理,拉格朗日中值公式的有限增量公式形式：,三、柯西(Cauchy)中值定理,几何解释:,证明分析,要证,证明,作辅助函数,且,使,即,由罗尔定理知,至少存在一点,思考:柯西定理的下述证法对吗?,两个 不一定相同,错!,上面两式相比即得结论.,特别地,例5,证,结论可变形为,四、小结,Rolle定理,Lagrange中值定理,Cauchy中值定理,罗尔定理、拉格朗日中值定

5、理及柯西中值定理之间的关系；,(1)注意定理成立的条件；,(3)利用中值定理证明等式与不等式的步骤.,(2)Rolle定理判断根；,费马(Fermat,1601？-1665),法国人律师，业余研究数学他是几何学、坐标几何、概率论、微积分、数论等学问的先驱。一生从未发表过数学论文，只在书信和笔记中，纪录了他的数学思想。,当 n 2 时，方程 xn+yn=zn 又有没有整数解呢？这是不可能的。我对这个命题有一个美妙的证明，这里空白太小，写不下(约 1637 年)。欧拉1770年提出 n=3 的证明，但其中有一点错误。高斯完成欧拉的证明.,费马(Fermat,1601？-1665),费马大定理,狄利

6、克雷 Dirichlet(1805-1859),德国人1828 年，独立地证明了 n=5。1832 年，解决了 n=14 的情况。柯西Cauchy(1789-1857)、拉梅Lam(1795-1870)1847年，两位法国数学家分别表示他们证明了费马大定理。5 月 24 日，德国数学家库麦尔指出拉梅和柯西的方法是行不通的，从而平息了二人的争论。,费马大定理,1995 年 5 月，怀尔斯长一百页的证明，在杂志数学年鉴中发表。,1997 年 6 月 27 日，怀尔斯获得价值五万美元的沃尔夫斯凯尔奖金。,xn+yn=zn,(n 2)无整数解(1637),这是真的(1995),作业P134:5、6、7、8、10、11-（2）、12、14,P134 习题12,证,由介值定理,即为方程的小于1的正实根.,矛盾,例6 设f(x)在a,b上可微，且ab0，求证：,(ab),证明 令,a,b同号，故x=0不在(a,b)内;,(x),g(x)在(a,b)内可微。,由柯西中值定理,思考,2、证明,解答,2o 对f(x)在b,a上用拉格朗日公式,即,1o 由所要证明的不等式选定一函数f(x)及定义区间:令 f(x)=lnx,xb,a.,1、B.,2、证明：,补充1,补充2,罗尔,Lagrange,Cauchy,