高等数学D第5章不定积分.ppt

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1、(1),求连续函数 f(x)在闭区间a,b上的最大(小)值的方法:,将闭区间a,b内所有驻点和导数不存在的,区间端点的,其中最大(小)者就是 f(x)的最大(小)值.,最值必在端,(2),点处达到.,点处的函数值和,函数值 f(a),f(b)比较,当 f(x)在闭区间a,b上单调时,4.6.函数的最值及应用,(3),(4),若连续函数 f(x)在区间I内只有一个极值点,为极大(小)值,区间 I上的最大(小)值.,对实际问题常常可事先断定最大(小)值必在,区间内部取得,如果连续函数在区间内又仅有,一个可能的极值点,那末这点处的函数值就是最,大(小)值.,实际问题求最值应注意,(1)建立目标函数;

2、,(2)求最值;,若目标函数只有唯一驻点,则该点的函数,值即为所求的最大(小)值.,例,某房地产公司有50套公寓要出租,当租金定为每月720元时,公寓会全部租出去.当租金每月增加40元时,就有一套公寓租不出去,而租出去的房子每月需花费80元的整修维护费.试问房租定为多少可获得最大收入?,解,设房租为每月 元，,租出去的房子有,每月总收入为,套,?,（唯一驻点）,故每月每套租金为1400元时收入最高.,最大收入为,6,第五章 不定积分,5.1 不定积分的背景和定义,5.2 不定积分的几何意义,5.3 基本积分公式 不定积分的性质,5.5 分部积分法,5.4 换元积分法,5.6 有理函数和三角函数

3、的不定积分,5.7 积分表的使用,5.8 不定积分的实际应用,7,质点作直线运动，运动方程是,求质点的运动速度.,求导问题,现考虑其相反的问题：,求质点的运动方程,.,5.1 不定积分的背景和定义,已知作直线运动的质点在任意时刻的速度,例,即为求不定积分的问题.,8,解,例,设曲线方程上任一点的切线斜率都等于切点,处横坐标的两倍,求曲线的方程.,设曲线方程为,满足此条件的函数有无穷多个,如,等都是.,一般,所求曲线方程为,C为任意常数.,例,定义5.1 原函数,如果在区间I上,则称,原函数.,一个,知,是,原函数.,也是,的原函数,其中,为任意常数.,二者关系：,原函数不唯一！,10,求导,连

4、续函数存在原函数,如果函数,存在原函数.,结论：,初等函数在其有定义的区间上存在原函数.,在区间I上连续,则在区间I上,定理5.1,的原函数,(C为任意常数).,因,一个函数如果有原函数,就有无穷多个.,在区间I上的任一原函数都,其中C为某一常数.,则,的形式,可表为,定理5.2,任意两个原函数只差一个常数.,12,故,证,的另一个原函数,则,又,只要找到f(x)的一个原函数,就知道,它的全部原函数.,要证,常数,因为,导数恒为零的函数必为常数,某个常数,13,积分变量,积分常数,被积函数,被积表达式,定义5.2 不定积分,不定积分.,全部原函数的一般表达式,称为函数f(x)的,总和(summ

5、a),记为,积分号,14,.,不定积分是原函数的一种普遍形式，,进行求导和求微分的运算.,对不定积分求微分，结果是被积式.,例,作为函数，,对不定积分求导，结果是被积函数.,由定义，,可把,微分运算与求不定积分的运算是,互逆的.,一般地有,例如,16,例 求,解,解,例,?,17,5.2 不定积分的几何意义,积分曲线,称为,的积分曲线.,的图形,向平行于y 轴的方向任意,上下移动,得出的无穷多条曲线,称为,的图形是,平面的一条曲线,是将曲线,族.,18,由于不论常数C 取何值,同一x处其导数等于f(x),各切线相互平行.,有积分曲线族,即,19,解,故所求曲线方程为,求通过点 且其切线斜率为2

6、x曲线.,例,的积分曲线族为,有,20,实例,启示,能否根据求导公式得出积分公式,结论,要判断一个不定积分公式是否正确,只要将右端的函数求导,看是否等于被积函数.,求导公式,?,积分公式.,?,5.3 基本积分公式 不定积分的性质,积分运算和微分运算是互逆的，,21,1.基本积分公式,(k是常数),说明：,22,23,24,证,等式成立.,（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）,(1),思考:k=0,等式是否成立?,(2),2、不定积分的性质,25,例 求积分,解,出一些简单函数的不定积分,称为,利用不定积分的性质和基本积分公式,可求,由公式,直接积分法.,例 求积分,解,27,例 求积分,

7、解,28,例 求积分,解,称为分项积分法.,利用线性性质计算积分,上例是将被积函数作恒等变形,29,解,例,30,例 求积分,解,以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形,才能使用基本积分公式.,31,解,所求曲线方程为,已知一曲线 y=f(x)在点(x,f(x)处的切线,例,斜率为,且此曲线与y轴的交点为,(0,5),求此曲线的方程.,32,练习,33,练习,34,解决方法,将积分变量换成,令,?,1、第一换元积分法,5.4 换元积分法,定理,第一类换元公式,（凑微分法）,证,可导,则有换元公式,设,具有原函数,注“凑微分”的主要思想是:将所给出的积分凑成积分表里已有的形式,合理选择 是凑微分

8、的关键.,36,第一换元积分法,若遇到积分,不易计算时,通过变换,化为不定积分,来计算,积分后再将,代入.,37,例 求,法一,法二,解,38,法三,同一个积分用不同的方法计算,可能得到表面上不一致的结果,但是实际上都表示同一族函数.,39,例 求,解,40,练习,对第一换元积分法熟练后,可以不再写出 中间变量.,41,例,解,解,练习,42,小结,常见的凑微分类型有,43,小结,44,练习,45,例 求,解,46,例 求,解,47,例,解,48,且有很大的灵活性,加一项减一项、,可通过三角恒等变换、,一个因子等方法，,第一换元积分法是不定积分的基础，,代数运算、,上，下同除以,使积分变得易求

9、.,大体可分成两类,1.某些有理函数和其他函数,2.某些三角函数,49,例 求,解,1.某些有理函数和其他函数,50,例,解,原式=,51,例 求,解,52,例,解,原式=,某些三角函数,53,例 求,解,（使用了三角函数恒等变形）,分步凑,法一,54,类似可推出,法二,55,例 求,原式,解,定理,第一类换元公式,（凑微分法）,可导,则有换元公式,设,具有原函数,一、第一换元积分法,二、第二换元积分法,有根式,解决方法,消去根式,困难,即,则,回代,对积分,作变换,有公式,第二类换元公式,二、第二换元积分法,例 求,解,令,回代,三角代换.,例 求,解,令,回代,解决思路,分部积分公式,?,?,?,特点,被积函数是两个不同函数的乘积,具有连续导数.,两边积分,5.5、分部积分公式,例 求,解,显然,法一,选择不当,积分更难进行.,例 求,法二,例 求,解,（再次使用分部积分法）,例 求,解,注意循环形式,66,例.设,有连续的导数，试求,由,解：,所以,另一种解法是凑微分：,67,68,69,70,71,72,73,74,75,两边同时对x求导，,得,分部积分,解,思考题,第五章 不定积分小结,1.性质,2.熟记基本积分公式,3.换元积分法,4.分部积分法,第一类换元公式,（凑微分法）,第二类换元公式,（根式代换，三角代换，倒代换）,78,第五章结束,