高等数学1复习课件.ppt

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1、高等数学,第一章,函数与极限,主要内容,（一）函数极限的概念,（二）函数极限的运算,（三）函数连续的概念,左右极限,两个重要极限,求极限的常用方法,无穷小的性质,极限存在的充要条件,判定极限存在的准则,无穷小的比较,极限的性质,数列极限,函 数 极 限,等价无穷小及其性质,唯一性,两者的关系,无穷大,含 用,极限运算类型,1.常规型:,2.特殊型:,分段点处极限:,型:,倒数求无穷小,A0型:,有界变量与无穷小量之积,和式极限:,先求和式再求极限,分解因式消零因子,用最高次或“最大”项除分子分母,含(反)三角函数用,洛必达法则,洛必达法则,定积分的定义,洛必达法则,函数连续,概念,点连续,区间

2、连续,在区间上每一点都连续的函数,初等函数连续性,基本初等函数在定义域内是连续的.,一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,闭区间上连续函数性质,最大值和最小值定理,有界性定理,零点定理,介值定理,例1,含 的 型:,解,拼、配、凑,典型例题,洛必达法则,解,例2,解法讨论,解:,含 的 型:,例3,解:,解法讨论,常用等价无穷小,例4,解,例5,讨论:,零点定理,例6,证明,讨论:,由零点定理知,综上,主要内容,（一）导数与微分的概念,（二）导数与微分的运算,第二章 导数与微分,导数的概念,导数的定义,几何意义,可导与连续的关系,函数可导一定连续，但连续不一定可导.,高阶导数的定义,记作,二

3、阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.,导数的运算,求导法则,和、差、积、商的求导法则,反函数的导数,复合函数的求导法则,初等函数的求导,分解成基本初等函数(复合),或常数与基本初等函数的和、差、积、商.,基本初等函数或常数的导数,特殊求导方法,隐函数求导,隐函数求导法则:,用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,对数求导法,方法:,先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.,参数方程所确定的函数的导数,方法:,微分,可微的条件,微分的求法,求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.,微分的几何意义,微分形式的不变性,近似计算的基本公式,函数增量的近似值,函数的近似值,例1,解,典型例题

4、,例2,解,两边取对数,例3,解,解,主要内容,重要理论-微分中值定理,导数在求极限中的应用-洛比达法则,应用导数研究讨论函数性质及作图形,第三章 微分中值定理与导数的应用,Rolle定理,Lagrange中值定理,Cauchy中值定理,重要理论-微分中值定理,导数在求极限中的应用-洛比达法则,最大值,最小值,极大值,极小值,拐点,凹的,凸的,单增,单减,应用导数研究讨论函数性质及作图形,函数的性质,单调性,单调性的判别法,单调区间的求法,函数极值,函数极值的定义,函数极值的求法,函数最值,最值存在判别法,函数最值的求法,曲线凹凸性,曲线凹凸的定义,曲线凹凸的判定,曲线的拐点及其求法,典型例题

5、,重要理论微分中值定理,导数在求极限中的应用-洛比达法则,应用导数研究讨论函数性质及作图形,恒等式.不等式的证明,方程解的判定或证明,讨论函数性质及作图形,不等式的证明,技巧造辅助函数,例1 证明多项式 在 上不可能有两个零点.,分析:,反证法,由罗尔定理,矛盾,设有两个零点,例2 设,证明多项式 在 内至少有一个零点,分析:,造辅助函数技巧,设想,造辅助函数,适合于中值定理,例3 设 在 上连续,在 内可导,且,证明存在一点,使.,分析:,设想,造辅助函数,适合于中值定理,造辅助函数技巧,例4 证明不等式,分析:,单调递增性,造辅助函数技巧,单调递增性,例5,解,奇函数,作图,主要内容,第四

6、章 不定积分,不定积分的概念,不定积分计算方法及类型,基本要求：正确进行不定积分的计算,不定积分的概念与性质,不定积分的概念,原函数,或,原函数存在定理,连续函数一定有原函数.,不定积分的定义,基本积分表,积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.,不定积分的性质,（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）,不定积分计算方法及类型,直接积分法,被积函数进行恒等变形，使用基本积分表计算不定积分的方法,换元积分法,第一类换元法,第二类换元法,分部积分法,分部积分公式,特殊类型函数的积分法,有理函数的积分,将有理函数化为部分分式之和的积分.,三角函数有理式的积分,简单无理函数的积分

7、,解决方法,作代换去掉根号.,多项式；,万能置换公式,三角代换、倒代换、根式代换,（凑微分法）,令,典型例题,例1,解,单一化思想,例2,解,单一化思想,万能置换公式,例3,解,单一化思想,例4,解,例5,解,主要内容,第五章 定积分及其应用,定积分的概念 性质,定积分计算方法及类型,基本要求：正确进行定积分的计算,定积分,定积分的概念,定积分的定义,定积分的几何意义,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,特殊和式的极限,定积分的性质,性质1,性质2,性质3,性质4,性质5,推论,（1）,（2）,性质6,（估计值的大致范围）,性质7,（中值定理）,积分中值公式,定积分,定积分计算,积分上限函数

8、,定义,性质(导数),微积分基本公式,(牛顿莱布尼茨公式),定积分的换元法,分部积分法,分部积分公式,积分上限函数,典型例题,设,积分上限函数,解:,求 在 上的表达式，并讨论在 内的连续性。,在 内连续性。,例1,例2,作辅助函数,分析：,计算下列极限,例3,其中 连续,分析：,罗比塔法则,例3 计算下列极限,其中 连续,分析：,中值公式:两大作用：(1)曲边梯形的面积等于矩形的面积(2)定积分式变为一般的函数关系式,例4计算下列极限,1 分析：,中值公式:两大作用：(1)曲边梯形的面积等于矩形的面积(2)定积分式变为一般的函数关系式,2 分析：,定积分的应用,平面图形的面积,直角坐标系,极坐标系,体积,旋转体的体积,平行截面面积为已知的立体的体积,例1,求由抛物线 与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值,分析：,例1,求由抛物线 与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值,分析：,过焦点的弦,面积的最小值,求下列各曲线所围成图形的公共部分面积,例2,求下列各曲线所围成图形的公共部分面积,例3,例4,求园盘 绕 旋转所成的体积,分析：,.,例5,用积分法证明球缺的体积,分析：,