高等代数第11章双线性函数与辛空间.ppt

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1、1 线性函数,定义 设V是数域P上的线性空间,f是V到P的映射,如果,V,kP,f满足:(1)f(+)=f()+f()；(2)f(k)=kf(),则称f为线性函数.f(0)=0,f(-)=-f(),若=k11+k22+kss 则 f()=k1f(1)+k2f(2)+,+ksf(s),第11章 双线性函数与辛空间,1 线性函数2 对偶空间3 双线性函数*4 辛空间,例1 设a1,a2,an是P中任意数,X=(x1,x2,xn)是Pn中的向量.函数 f(X)=f(x1,x2,xn)=a1x1+a2x2+anxn是Pn上的一个线性函数.零函数0:当a1=a2=an=0时,f(X)=0.一般地,Pn上

2、的任一个线性函数都可表成 f(X)=a1x1+a2x2+anxn证明如下：,一般地,Pn上的任一个线性函数都可表成 f(X)=a1x1+a2x2+anxn证 令 1=(1,0,0),2=(0,1,0),n=(0,0,n).则Pn中任一向量X=(x1,x2,xn)可表成 X=x11+x22+,xnn 设f 是Pn上的一个线性函数,ai=f(i),i=1,2,n 则 f(X)=a1x1+a2x2+anxn,例2 设A是数域P上一个n阶矩阵,则A的迹 Tr(A)=a11+a22+ann是Pnn上的一个线性函数.例3 设V=Px,t是P中一个取定的数,定义Px上的函数Lt为:Lt(p(x)=p(t),

3、p(x)Px即Lt(p(x)为p(x)在t点的值,则Lt(p(x)是Px 上的线性函数.,定理 设V是数域P上的n维线性空间,1,2,n 是V的一组基,设a1,a2,an是P中任意n个数,则存在唯一的V上的线性函数f,使 f(i)=ai,i=1,2,n证 存在性 只须定义V上的函数f为 这是线性函数,且f(i)=ai,i=1,2,n;唯一性 任取V上的线性函数f和V中的任意向量,=x11+x22+xnn 都有 故f()由f(1),f(2),f(n)唯一确定.,2 对偶空间,一.对偶空间设V是数域P上的n维线性空间,V上全体线性函数组成的集合记作L(V,P).按自然的方法在L(V,P)上定义加法

4、与数乘如下:(f+g)()=f()+g()V(kf)()=k(f()kP,V命题 L(V,P)按上述定义作成数域P上线性空间.证 首先证 L(V,P)关于上述加法与数乘封闭,直接验证即f+g与kf仍是线性函数,如,(f+g)(+)=f(+)+g(+)=f()+f()+g()+g()=(f+g)()+(f+g)()(f+g)(k)=f(k)+g(k)=kf()+kg()=k(f+g)()数乘可类似证明.然后直接验证满足线性空间的8条性质.定义 称数域P上的线性空间L(V,P)为线性空间V的对偶空间,记作V*.,二.对偶基取V的一组基1,2,n,作V上n个线性函数f1,f2,fn,使得因为fi在基

5、1,2,n上的值已确定,所以这样的线性函数存在且唯一.对V中的任意向量,=x11+x22+xnn=都有 fi()=xi 即fi()是的第i个坐标的值.,引理 对V中的任意向量,有 而对L(V,P)中的任意向量f,有 证 是的直接结论,即又由和,V,即得.,定理 线性空间L(V,P)的维数等于V的维数,而且f1,f2,fn是L(V,P)的一组基.证 首先证明f1,f2,fn是线性无关.设 c1f1+c2f2+,+cnfn=0(c1,c2,cnP)依次用1,2,n代入即得c1=c2=cn=0.因此f1,f2,fn线性无关.又由知L(V,P)中任一向量都可由f1,f2,fn线性表示,所以f1,f2,

6、fn是L(V,P)的一组基,并且 dim L(V,P)=n=dimV.定义 由决定的L(V,P)的基 f1,f2,fn称为1,2,n的对偶基.,例 考虑实数域R上的n维线性空间V=Pnx对任意取定的n个不同的实数a1,a2,an,根据Laglange插值公式,得到n个多项式满足现设 c1p1(x)+c2p2(x)+cnpn(x)=0用ai代入即得所以p1(x),p2(x),pn(x),线性无关.,又因为V是n维的,所以p1(x),p2(x),pn(x)是V的一组基.现设LiV*是在ai点的取值函数:Li(p(x)=p(ai)p(x)V则Li是V上的线性函数,且满足所以L1,L2,Ln是p1(x

7、),p2(x),pn(x)的对偶基.,三.不同基的对偶基之间的关系定理 设1,2,n及1,2,n,是线性空间V的两组基,它们的对偶基分别为f1,f2,fn和g1,g2,gn,如果由基1,2,n到1,2,n的过渡矩阵为A,则由f1,f2,fn到g1,g2,gn的的过渡矩阵就是(AT)-1.证,四.对偶空间的对偶空间设V是数域P上的线性空间,V*是其对偶空间.取定V中的一个向量x,定义V*的一个函数x如下,fV*,x:V*=L(V,P)P f x(f)=f(x)由 x(f+g)=(f+g)x=f(x)+g(x)=x(f)+x(g)x(kf)=(kf)x=kf(x)=kxx(f)所以,x是V*上的线

8、性函数,因此x是V*的对偶空间(V*)*=V*中的一个元素,就记作x*.,定理 如下V 到 V*的映射是一个同构映射 x x*.证 由 F:V V*x x*首先证 F(x1+x2)=F(x1)+F(x2)x1,x2V F(kx)=kF(x)xV,kPfV*,F(x1+x2)(f)=(x1+x2)*(f)=f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)=x1*(f)+x2*(f)=(x1*+x2*)(f)=(F(x1)+F(x2)(f)F(kx)(f)=(kx)*(f)=f(kx)=kf(x)=kx*(f)=(kx*)(f)=(kF(x)(f),其次证明F是双射:如果x*是V*上的零函数,即fV*,都

9、有 f(x)=0则由引理之,x=0,F是单射;又因为V与V*维数相同,所以F是双射,F是同构映射.注 说明V 和 V*是互为线性函数空间的,故称为对偶空间.,3 双线性函数,一.双线性函数的概念定义 设V是数域P上的线性空间,f(,)是V上一个二元函数,即对V中任意两个向量,根据f 都唯一对应P中一个数f(,)满足:(1)f(,k1+k2)=k1f(,1)+k2f(,2);(2)f(k11+k22,)=k1f(1,)+k2f(2,)则称f(,)是V上一个双线性函数.,例1 欧氏空间V的内积是V上的双线性函数.例2 设f1(,),f2(,)都是线性空间V上的线性函数,则 f(,)=f(,),V

10、是V上一个双线性函数.例3 设Pn是数域P上n维列向量构成的线性空间,X,YPn,又设A是P上一个n阶矩阵,令 f(X,Y)=XTAY 则f(X,Y)是Pn上一个双线性函数.若XT=(x1,xn),YT=(y1,yn),A=aijnn,则注和是双线性函数f(,)的一般形式如下:,度量矩阵定义设f(,)是数域P上n维线性空间V上的一个双线性函数,1,2,n是V的一组基,则矩阵为f(,)在基1,2,n下的度量矩阵.,取V的一组基1,2,n,设则,令aij=f(i,j)i,j=1,2,n则 f(,)=XTAYA即为f(,)在基1,2,n下的度量矩阵.反之,任给数域P上一个n阶方阵如上A=aij,则对

11、V中任意向量,定理 同一个双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的.,非退化性,定义 设f(,)是数域P上线性空间V上的一个双线性函数,如果从 f(,)=0 V可推出=0,则称f是非退化的.定理 双线性函数f(,)是非退化的充分必要条件是其度量矩阵是非退化矩阵.注 对度量矩阵作合同变换可使度量矩阵简化.但对一般矩阵则比较复杂.,定义 设f(,)是数域P上线性空间V上的一个双线性函数,如果对V中任意两个向量,都有 f(,)=f(,),则称f(,)为对称双线性函数.如果对V中任意两个向量,都有 f(,)=-f(,),则称f(,)为反对称双线性函数.,定理 双线性函数是对称的,当且仅当它在任一组基下的

12、度量矩阵是对称矩阵;双线性函数是反对称的,当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是反对称矩阵.,对称双线性函数,定理5 设V是数域P上n维线性空间,f(,)是V上的对称双线性函数,则存在V的一组基1,2,n,使f(,)在这组基下的度量矩阵是对角矩阵.说明(1)这是由于欧氏空间的内积不仅是对称双线性函数,而且它在任一组基下的度量矩阵是正定矩阵;另一方面,对称矩阵在合同变换下一定能化为对角形.(2)本定理也可用类似于Schimidt正交化的方法进行证明.,推论 设V是复数域上n维线性空间,f(,)是V上的对称双线性函数,则存在V的一组基1,2,n,对V中任意向量和,=x11+x22+xnn,=y11+y

13、22+ynn f(,)=x1y1+x2y2+xryr(0rn)推论 设V是实数域上n维线性空间,f(,)是V上的对称双线性函数,则存在V的一组基1,2,n,对V中任意向量和,=x11+x22+xnn,=y11+y22+ynn f(,)=x1y1+xpyp xp+1yp+1+xryr(0prn),定义 设V是数域P上线性空间,f(,)是V上的双线性函数,当=时,称V上的函数f(,)为与 f(,)对应的二次齐次函数.注(1)对称双线性函数与 二次齐次函数是一一对应的(注意对称的条件);(2)二次齐次函数的坐标表达式就是二次型,它与对称矩阵一一对应,而这个对称矩阵就是唯一的与该二次齐次函数对应的对称

14、双线性函数的度量矩阵.,反对称双线性函数,定理6 设V是数域P上n维线性空间,f(,)是V上的反对称双线性函数,则存在V的一组基1,-1,r,-r,1,s,使,由定理5,V上的对称双线性函数f(,)是非退化的,则有V的一组基1,-1,r,-r,使(前一不等式由非退化条件保证),称这样的基为V的对于f(,)的正交基由定理6,V上的反对称双线性函数f(,)如果是非退化的,则有V的一组基1,-1,r,-r,使由于非退化的条件,定理6中的1,s不可能出现.因此,具有非退化反对称双线性函数的线性空间一定是偶数维的.,定义 设V是数域P上的线性空间,在V上定义了一个非退化双线性函数,则V称为一个双线性度量

15、空间.当f是非退化对称双线性函数时,V称为P上的正交空间.当V是n维实线性空间,f是非退化对称双线性函数时,V称为P上的准欧氏空间.当f是非退化反对称双线性函数时,V称为辛空间.有着非退化双线性函数f的双线性度量空间常记作(V,f).,*4 辛空间,1、辛正交基辛空间(V,f)中一定能找到一组基1,2,n,-1,-2,-n,满足 f(i,-i)=1,(1in)f(i,j)=0,(-ni,jn,i+j 0)称这样的基为辛正交基.,2、任一2n阶是非退化反对称矩阵K可把一个数域P上2n维空间V化成一个辛空间,且使K为V的某组基e1,e2,en,e-1,e-2,e-n下的度量矩阵.又此辛空间在某组辛

16、正交基1,2,n,-1,-2,-n下的度量矩阵为故K合同于J.即任一2n阶非退化反对称矩阵皆合同于J.,3、设有两个辛空间(V1,f1)和(V2,f2),K是V1和V2作为线性空间的同构,如果满足:f1(u,v)=f2(Ku,Kv)则称K是(V1,f1)和(V2,f2)的辛同构.(V1,f1)到(V2,f2)的作为线性空间的同构是辛同构当且仅当它把(V1,f1)的一组辛正交基变成(V2,f2)的辛正交基.两个辛空间是同构的当且仅当它们有相同的维数.辛空间(V,f)到其自身的辛同构称为(V,f)的辛变换.,辛变换的乘积还是辛变换.辛变换的逆变换还是辛变换.设(V,f)是辛空间,u,vV,满足f(

17、u,v)=0,则称u,v为辛正交的.设W是V的子空间,令 W=uV f(u,w)=0,wW.W显然是V的子空间,称为W的辛正交补空间.定理7 设(V,f)是辛空间,W是V的子空间,则 dimW=dimV-dimW,定义9 设(V,f)是辛空间,W是V的子空间.若WW,则称W为(V,f)的迷向子空间;若W=W,即W是极大的(按包含关系)迷向子空间,也称之为Lagrange子空间;若WW=0,则称W为(V,f)的辛子空间.例设1,2,n,-1,-2,-n是(V,f)的辛正交基,则:L(1,2,k)是迷向子空间;L(1,2,n)是极大迷向子空间,即Lagrange子空间;L(1,2,s,-1,-2,-s)是辛子空间.,辛空间的性质(1)(W)=W.(2)UW WU.(3)若U是辛子空间,则V=U U.(4)若U是迷向子空间,则(5)若U是Lagrange子空间,则,