高数同济19连续函数的运算与初等函数的连续性.ppt

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1、一、连续函数的和、积及商的连续性,二、反函数与复合函数的连续性,三、初等函数的连续性,1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性,上页,下页,铃,结束,返回,首页,Company Logo,一、连续函数的和、积及商的连续性,定理1,例1 因为sin x和cos x都在区间(-+)内连续 所以tan x和cot x在它们的定义域内是连续的 三角函数 sin x、cos x、sec x、csc x、tan x、cot x 在其有定义的区间内都是连续的,首页,Company Logo,二、反函数与复合函数的连续性,定理2,如果函数f(x)在区间Ix上单调增加(或减少)且连续 那么它的反函数xf 1(y

2、)在区间Iyy|yf(x)xIx上也是单调增加(或减少)且连续的,所以它的反函数y=arcsin x 在区间-1 1上也是连续的,下页,例2,同样 y=arccos x 在区间-1 1上是连续的 y=arctan x 在区间(-+)内是连续的 y=arccot x 在区间(-+)内是连续的,Company Logo,反三角函数arcsin x、arccos x、arctan x、arccot x在它们的定义域内都是连续的,下页,二、反函数与复合函数的连续性,定理2,如果函数f(x)在区间Ix上单调增加(或减少)且连续 那么它的反函数xf 1(y)在区间Iyy|yf(x)xIx上也是单调增加(或

3、减少)且连续的,所以它的反函数y=arcsin x 在区间-1 1上也是连续的,例2,即：单调连续的函数有单调连续的反函数.,Company Logo,定理3,下页,设函数yfg(x)由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成,意义,1.极限符号可以与函数符号互换;,例如,Company Logo,注:,(1)把定理中的xx0换成x 可得类似的定理,提示:,例3,解,下页,定理3,设函数yfg(x)由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成,Company Logo,设函数yfg(x)由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成 U(x0)Df o g 若函数 ug(x)在点 x0 连续 函数 yf(

4、u)在点u0g(x0)连续 则复合函数yfg(x)在点x0也连续,下页,定理4,注意定理4是定理3的特殊情况.,定理3,设函数yfg(x)由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成,Company Logo,设函数yfg(x)由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成 U(x0)Df o g 若函数 ug(x)在点 x0 连续 函数 yf(u)在点u0g(x0)连续 则复合函数yfg(x)在点x0也连续,下页,定理4,例如,Company Logo,sin u 当-u+时是连续的,例4,解,内是连续的,Company Logo,三、初等函数的连续性,结论 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的 一

5、切初等函数在其定义区间内都是连续的,下页,1.三角函数 2.反三角函数 在其定义域内是连续的.,(均在其定义域内连续),定义区间是指包含在定义域内的区间.,Company Logo,例6,例5,解,解,下页,利用连续性求极限举例,特别地,Company Logo,例 证明,证,特别地,Company Logo,例7 求,令a x-1=t,解,则x=log a(1+t)x0时t0 于是,利用连续性求极限举例,另解:,特别地,=ln a,Company Logo,思考:求,解:,原式,说明:若,则有,Company Logo,练习,Company Logo,练习,Company Logo,小结,连续函数的和差积商的连续性.,复合函数的连续性.,初等函数的连续性.,定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法.,两个定理;两点意义.,反函数的连续性.,Company Logo,续?,反例,处处间断,处处连续.,反之是否成立?,作业P68 3(5),(6),(7);4(4),(5),(6);5,提示:,“反之”不成立.,思考题,Company Logo,思考题1,Company Logo,思考题1解答,是它的可去间断点,