高数同济16极限存在准则两个重要极限.ppt

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1、一、准则I及第一个重要极限,二、准则II及第二个重要极限,1.6 极限存在准则 两个重要极限,上页,下页,铃,结束,返回,首页,2,由条件(2)e 0 N 0 当nN 时 有,一、准则I及第一个重要极限,如果数列xn、yn及zn满足下列条件(1)ynxnzn(n=1 2 3),准则 I,|yn-a|e 及|zn-a|e 即有 a-eyna+e a-ezna+e 由条件(1)有 a-eynxnzna+e 即|xn-a|e,简要证明,下页,3,一、准则I及第一个重要极限,准则I,如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件(1)g(x)f(x)h(x)(2)lim g(x)A lim h(x)

2、A 那么lim f(x)存在 且lim f(x)A,证明与准则 I类似,下页,如果数列xn、yn及zn满足下列条件(1)ynxnzn(n=1 2 3),准则 I,4,第一个重要极限,因此 sin x x tan x,简要证明,参看附图 设圆心角AOB=x,下页,两边除以sin x,得,5,注:,这是因为 令u=a(x)则u0 于是,下页,(2),第一个重要极限,6,例2,解,解,例3,下页,7,例4,解,下页,8,思考:,1.公式计算,2.几何理解,下页,9,二、准则II及第二个重要极限,注:,如果xnxn+1 nN 就称数列xn是单调增加的 如果xnxn+1 nN 就称数列xn是单调减少的

3、单调增加和单调减少数列统称为单调数列,下页,准则II 单调有界数列必有极限,讨论:收敛的数列是否一定有界？有界的数列是否一定收敛？,10,二、准则II及第二个重要极限,准则II 单调有界数列必有极限,准则II的几何解释,以单调增加数列为例,下页,数列的点只可能向右一个方向移动 或者无限向右移动 或者无限趋近于某一定点A 而对有界数列只可能无限趋近于某一定点A,11,例5,证,(舍去),12,根据准则II 数列xn必有极限,此极限用e来表示.,第二个重要极限,e是个无理数 它的值是e=2,下页,二、准则II及第二个重要极限,准则II 单调有界数列必有极限,若可以证明,(2)xn3,(1)xnxn

4、+1 nN,证明略,13,(1)xnxn+1 nN,大,大,正,比较可知,大,下页,14,根据准则 2 可知数列,有极限.,又,(2)xn 3,即 xn 3,下页,15,下页,二、准则II及第二个重要极限,准则II 单调有界数列必有极限,我们还可以证明,这就是第二个重要极限,第二个重要极限,e是个无理数 它的值是e=2,16,证:当,时,设,则,下页,17,当,则,从而有,故,时,令,下页,18,第二个重要极限,二、准则II及第二个重要极限,准则II 单调有界数列必有极限,注:,下页,19,解,例6,令t=-x,下页,则x 时 t 于是,20,例7.求,解:原式=,结束,21,内容小结,1.两个重要准则及其应用,(1)夹逼准则,(2)单调有界数列必有极限,2.两个重要极限,或,22,思考：,23,故极限存在，,备用题,1.设,且,求,解：,设,则由递推公式有,数列单调递减有下界，,故,利用极限存在准则,24,作业：P56-1：（4）（5）（6），P56-2：（3）（4），4：（2）（3）(5),25,最常见的四种e的定义如下：1.定义e 为下列极限值：2.定义e为下列无穷级数之和：其中n!表n的阶乘。3.定义e为唯一的数x 0使得 4.定义e为唯一的数使得,26,