高数D19连续函数的运算.ppt

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1、一、连续函数的运算法则,二、初等函数的连续性,第九节 连续函数的运算与,初等函数的连续性,第一章,定理2.连续单调递增函数的反函数也连续单调递增.,在其定义域内连续,一、连续函数的运算法则,定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,(利用极限的四则运算法则证明),商(分母不为 0)运算,结果仍是一个在该点连续的函数.,例如,例如,在,上连续单调递增，,其反函数,(递减),(证明略),在1,1上也连续单调,(递减),递增.,定理3.,设函数,是由函数,与函数,复合而成,而函数,连续,则,证,故,因此定理成立.,【意义】,可知,极限符号 可以与对应法则 f 交换次序;,例,解：,定理4.,

2、设函数,是由函数,与函数,复合而成,若函数,连续,而函数,连续,则复合而成,也连续.,证:,故复合函数,例如,是由连续函数链,因此,在,上连续.,复合而成,例1.,设,均在,上连续,证明函数,也在,上连续.,证:,根据连续函数运算法则,可知,也在,上,连续.,二、初等函数的连续性,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在定义区间内连续,例如,的连续区间为,(端点为单侧连续),的连续区间为,的定义域为,因此它无连续点,而,例2.求,解:,原式,例3.求,解:令,则,原式,例4.求,解:,原式,例5.,求,解,且,是其定义区间内的点,处连续,于是,幂指函数,因为,故幂指函数可化为复合函数.,易见:,若,则,即,注意公式成立的条件,例6.,求,称为幂指函数.,解,例7.设,解:,讨论复合函数,的连续性.,故此时连续;,而,故,x=1为第一类间断点.,在点 x=1 不连续,内容小结,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数的四则运算结果仍连续,连续函数的反函数连续,连续函数的复合函数连续,初等函数在定义区间内连续,说明:分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性.,思考与练习,续?,反例,处处间断,处处连续.,反之是否成立?,作业P70 3(4),(6);4(4),(5);6,提示:,“反之”不成立.,