非线性方程的求根方法.ppt

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1、非线性方程的求根方法,Newton迭代格式Newton迭代法的收敛性Newton迭代法的变形数值实验练习题,牛顿法是方程求根问题的一个极其基本的、十分重要的算法。基本思想：是将非线性方程f(x)=0逐步线性化而形成迭代公式。具体作法：,已知方程 f(x)=0的根 xk，将 f(x)在xk处作一阶泰勒展开,所以f(x)=0可近似表示为,线性方程,记其根为xk+1，则xk+1是方程f(x)=0的一个新的近似根,这就是著名的牛顿迭代公式，相应的迭代函数是,几何意义：牛顿法是在x*的附近以xk做为第k次迭代值，以y=f(x)在点(xk,f(xk)的切线与x轴的交点xk+1作为f(x)=0方程的根x*的

2、第k+1次迭代近似值，如此反复下去，逐步逼近方程f(x)=0的根x*。所以牛顿法又称切线法,(k=0,1,2,),xk+1比xk更接近于x*,几何意义:以切线代替曲线,求根 x*的近似值,牛顿迭代法的一个应用求正数平方根,设C 0,x2 C=0,令 f(x)=x2 C,则,牛顿迭代法求解 x2 C=0 的计算格式,化简,得,例1 平方根迭代(k=0,1,)的收敛性证明及收敛阶估计.,解 对k0,当 xk 0时,(k=0,1,),(k 0),数列 xk 单减有下界,故必有极限.设为x*,对递推式,取极限,有,由此可知,平方根迭代 是 平方收敛.,Newton迭代法的局部收敛性,牛顿法可以看成关于

3、方程,的迭代公式,如果x*为方程f(x)=0 的一个单根，则有,f(x*)=0,f(x*)0,而,由定理2.5知牛顿迭代公式具有局部收敛性。,由定理2.6知 Newton迭代法至少平方收敛。因此用Newton法求单根的收敛速度是较快的。,则,所以只要 就有,由定理2.6知 Newton迭代法平方收敛。,由于牛顿迭代法是局部收敛的，故初值x0应充分靠近根x*才能保证收敛，这在一般情况下不容易做到。实用中可先用二分法做求根预处理，二分若干次后得到较靠近根x*的近似根x0，再用此根作为牛顿迭代法的初值来求根，可以达到取长补短的作用。,缺陷,1.被零除错误,2.程序死循环,方程:f(x)=x3 3x+

4、2=0在重根x*=1附近,f(x)近似为零,对 f(x)=arctan x存在 x0,Newton迭代法陷入死循环,Newton迭代法陷入死循环的另一个例子,取 x0=0,(k=0,1,),f0,f0,f”0,f0,f”0,f0,f”0,牛顿法的计算步骤：1）给出初始近似值x0，及精度,2）计算：按迭代公式计算出x1,3）若，则转向4);否则 转向2),4）输出满足精度的根x1，结束,例2.5 用牛顿法解方程 x=ex在 x0=0.5 附近的根。,(k=0,1,),取x00.5作为迭代初值。迭代结果如下表,经过3次迭代后得x 3 0.56714，比较例2.3和例2.5可发现牛顿迭代法的收敛速度

5、是相当快的。,例2.6 用牛顿法求,(k=0,1,),取初值x 0 10，经4次迭代便得所要求的近似值,定理(全局收敛性):若函数f(x)在a，b 上满足条件（1）f(a)f(b)0。,则方程 f(x)=0 在a，b 上有唯一根 x*，且由初值x0按牛顿迭代公式求得的序列 xk 二阶收敛于x*。,Newton迭代法的变形弦截法,牛顿法的突出优点是收敛速度快，但它有个明显的缺点，就是每迭代一次都要计算导数f(xk),当f(x)比较复杂时，计算f(xk)可能十分麻烦。为了避免牛顿法中的导数计算，我们用差商 替换牛顿公式中的导数f(xk),则得到迭代公式,弦截公式,xk+1,x0,x*,xk,pk,

6、p0,设x*是方程 f(x)=0 的根,x0和x1是x*附近的两个点.,Newton迭代法的变形弦截法,曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0)和点(x1,f(x1)处的割线与x轴交点,x1,x0,x*,(k=1,2,),例2.8确定悬链线方程,已知 y(50)=y(0)+10,求解方程:,a=126.6324,f=inline(u.*cosh(50/u)-u-10);a0=120;a=150;k=1;y0=f(a0);y=f(a);while abs(a0-a)0.0001 t=a-y*(a-a0)/(y-y0);a0=a;y0=y;a=t;y=f(a);k=k+1;end,AnsK=6,a

7、=126.6324,f=inline(u.*cosh(50/u)-u-10);f1=inline(cosh(50/u)-50*sinh(50/u)/u-1);a0=150;y0=f(a0);k=1;er=1;while er0.0001 t=a0-f(a0)/f1(a0);er=abs(t-a0);a0=t;k=k+1;end,AnsK=6,t=126.6324,割线法:,切线法:,牛顿迭代法的收敛域问题:用牛顿迭代法求解复数方程 z3 1=0，该方程在复平面上三个根分别是,z1=1,选择中心位于坐标原点，边长为2的正方形内的任意点作初始值，进行迭代，把收敛到三个根的初值分为三类，并分别标上不同颜色（例如红、黄、蓝）。对充分多的初始点进行实验，绘出牛顿迭代法对该方程的收敛域彩色图。,