调整分解和平滑方法.ppt

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1、1,第二章 经济时间序列的 季节调整、分解与平滑,本章主要介绍经济时间序列的分解和平滑方法。时间序列分解方法包括季节调整和趋势分解，指数平滑是目前比较常用的时间序列平滑方法。,2,经济指标的月度或季度时间序列包含4种变动要素：长期趋势要素T、循环要素C、季节变动要素S 和不规则要素I。长期趋势要素(T):代表经济时间序列长期的趋势特性。循环要素(C):是以数年为周期的一种周期性变动。季节要素(S):是每年重复出现的循环变动，以12个月或4个季度为周期的周期性影响，由温度、降雨、每年中的假期和政策等因素引起。季节要素和循环要素的区别在于季节变动是固定间距（如季或月）中的自我循环，而循环要素是从一

2、个周期变动到另一个周期，间距比较长且不固定的一种周期性波动。不规则要素(I):又称随机因子、残余变动或噪声，其变动无规则可循，这类因素是由偶然发生的事件引起的，如罢工、意外事故、地震、水灾、恶劣气候、战争、法令更改和预测误差等。,一、经济时间序列的分解,3,图1 我国工业总产值的时间序列 Y 图形 图2 工业总产值的趋势循环要素 TC 图形,图3 工业总产值的季节变动要素 S 图形 图4 工业总产值的不规则要素 I 图形,4,二、季节调整的概念,季节性变动的发生，不仅是由于气候的直接影响，而且社会制度及风俗习惯也会引起季节变动。经济统计中的月度和季度数据或大或小都含有季节变动因素，以月份或季度

3、作为时间观测单位的经济时间序列通常具有一年一度的周期性变化，这种周期变化是由于季节因素的影响造成的，在经济分析中称为季节性波动。经济时间序列的季节性波动是非常显著的，它往往遮盖或混淆经济发展中其他客观变化规律，以致给经济增长速度和宏观经济形势的分析造成困难和麻烦。因此，在进行经济增长分析时，必须去掉季节波动的影响，将季节要素从原序列中剔除，这就是所谓的“季节调整”(Seasonal Adjustment)。,5,2.1 移动平均方法,移动平均法(Moving Averages)的基本思路是很简单的，是算术平均的一种。它具有如下特性：1.周期（及其整数倍）与移动平均项数相等的周期性变动基本得到消

4、除;2.互相独立的不规则变动得到平滑。这两条特性可以证明。,6,简单的移动平均公式,时间序列数据 y=y1,y2,yT，T 为样本长度，在时点 t 上的2k+1项移动平均值 MAt 的一般表示为(2.1.1)式中的k为正整数，此时移动平均后的序列MA的始端和末端各欠缺k项值，需要用插值或其它方法补齐。,7,例如，常用的三项移动平均(2.1.2)两端补欠项：(2.1.3),中心化移动平均,考虑消除季节变动时，最简单的方法是对月度数据进行12个月移动平均。此时，由于项数是偶数，故常常进行所谓“移动平均的中心化”，即取连续的两个移动平均值的平均值作为该月的值。,8,(2.1.5)因为12是偶数，通过

5、求平均值可以达到中心化，即中心化移动平均值为(2.1.6)中心化移动平均的一般公式为(2.1.7),9,需要指出的是由于采用12个月中心化移动平均后，序列的两端各有6个欠项值，需要用插值或其它数值计算方法将其补齐。,加权移动平均,上面介绍的12个月中心化移动平均是二次移动平均，也可以用一次移动平均(2.1.7)式表示，这种移动平均方法就叫做加权平均，其中每一期的权数不相等，下面介绍几种常用的加权移动平均方法。,10,除了上述移动平均方法外，X-11季节调整法中还采用亨德松(Henderson)的5,9,13和23项加权移动平均。选择特殊的移动平均法是基于数列中存在的随机因子，随机因子越大，求移

6、动平均的项数应越多。,11,1.季节调整方法的发展,1954年美国商务部国势普查局(Bureau of Census，Depart-ment of Commerce)在美国全国经济研究局(NBER)战前研究的移动平均比法(The Ratio-Moving Average Method)的基础上，开发了关于季节调整的最初的电子计算机程序，开始大规模地对经济时间序列进行季节调整。此后，季节调整方法不断改进，每次改进都以X再加上序号表示。1960年，发表了X-3方法，X-3方法和以前的程序相比，特异项的代替方法和季节要素的计算方法略有不同。1961年，国势普查局又发表了X-10方法。X-10方法考虑

7、到了根据不规则变动和季节变动的相对大小来选择计算季节要素的移动平均项数。1965年10月发表了X-11方法，这一方法历经几次演变，已成为一种相当精细、典型的季节调整方法,2.2 经济时间序列的季节调整方法,12,X-11方法是基于移动平均法的季节调整方法。它的特征在于除了能适应各种经济指标的性质，根据各种季节调整的目的，选择计算方式外，在不作选择的情况下，也能根据事先编入的统计基准，按数据的特征自动选择计算方式。在计算过程中可根据数据中的随机因素大小，采用不同长度的移动平均，随机因素越大，移动平均长度越大。X-11方法是通过几次迭代来进行分解的，每一次对组成因子的估算都进一步精化。正因为如此，

8、X-11方法受到很高的评价，已为欧美、日本等国的官方和民间企业、国际机构(IMF)等采用，成为目前普遍使用的季节调整方法。,13,美国商务部国势普查局的X12季节调整程序是在X11方法的基础上发展而来的，包括X11季节调整方法的全部功能，并对X11方法进行了以下3方面的重要改进：(1)扩展了贸易日和节假日影响的调节功能，增加了季节、趋势循环和不规则要素分解模型的选择功能；(2)新的季节调整结果稳定性诊断功能；(3)增加X12-ARIMA模型的建模和模型选择功能。,14,X12季节调整方法的核心算法是扩展的X11季节调整程序。共包括4种季节调整的分解形式：乘法、加法、伪加法和对数加法模型。注意采

9、用乘法、伪加法和对数加法模型进行季节调整时，时间序列中不允许有零和负数。加法模型(2.2.1)乘法模型：(2.2.2)对数加法模型：(2.2.3)伪加法模型：(2.2.4),2季节调整的模型选择,15,设Yt 表示一个无奇异值的月度时间序列，通过预测和回推来扩展序列使得在序列的尾端不需要对季节调整公式进行修改。把Yt 分解为趋势循环项TCt、季节项St 和不规则要素It。现以加法模型为例，介绍X12季节调整方法的核心算法（为叙述简便而不考虑补欠项的问题）。共分为三个阶段：,3X12季节调整方法的核心算法,16,通过中心化12项移动计算平均趋势循环要素的初始估计(2.2.5)计算SI项的初始估计

10、(2.2.6)通过33移动平均计算季节因子S的初始估计(2.2.7)消除季节因子中的残余趋势(2.2.8)季节调整结果的初始估计(2.2.9),第一阶段 季节调整的初始估计,17,利用Henderson移动平均公式计算暂定的趋势循环要素(2.2.10)计算暂定的SI项(2.2.11)通过35项移动平均计算暂定的季节因子(2.2.12)计算最终的季节因子(2.2.13)季节调整的第二次估计结果(2.2.14),第二阶段 计算暂定的趋势循环要素和最终的季节因子,18,利用Henderson移动平均公式计算最终的趋势循环要素(2.2.15)计算最终的不规则要素(2.2.16),第三阶段 计算最终的趋

11、势循环要素和最终的不规则要素,19,本节主要介绍利用EViews软件对一个月度或季度时间序列进行季节调整的操作方法。在EViews工作环境中，打开一个月度或季度时间序列的工作文件，双击需进行数据处理的序列名，进入这个序列对象，在序列窗口的工具栏中单击Proc按钮将显示菜单：,2.2.4 季节调整相关操作(EViews软件),20,一、X11方法,X-11法是美国商务部标准的季节调整方法(乘法模型、加法模型)，乘法模型适用于序列可被分解为季节调整后序列（趋势循环不规则要素项）与季节项的乘积，加法模型适用于序列可被分解为季节调整后序列与季节项的和。乘法模型只适用于序列值都为正的情形。,21,如果在

12、季节调整对话框中选择X-11选项，调整后的序列及因子序列会被自动存入EViews工作文件中，在过程的结尾X-11简要的输出及错误信息也会在序列窗口中显示。关于调整后的序列的名字。EViews在原序列名后加SA，但也可以改变调整后的序列名，这将被存储在工作文件中。需要注意，季节调整的观测值的个数是有限制的。X-11只作用于含季节数据的序列，需要至少4整年的数据，最多能调整20年的月度数据及30年的季度数据。,22,图2.1 社会消费品零售总额的TCI 序列(季节调整后序列),23,图2.2 社会消费品零售总额的原序列(蓝线)和 季节调整后序列(TCI 序列,红线),24,二、Census X12

13、方法,EViews是将美国国势调查局的X12季节调整程序直接安装到EViews子目录中，建立了一个接口程序。EViews进行季节调整时将执行以下步骤：1给出一个被调整序列的说明文件和数据文件；2利用给定的信息执行X12程序；3返回一个输出文件，将调整后的结果存在EViews工作文件中。X12的EViews接口菜单只是一个简短的描述，EViews还提供了一些菜单不能实现的接口功能，更一般的命令接口程序。,25,调用X12季节调整过程，在序列窗口选择Procs/Seasonal Adjustment/Census X12，打开一个对话框：,X12方法有5种选择框，下面分别介绍。,26,1.季节调整

14、选择（Seasonal Ajustment Option）X11方法（X11 Method）这一部分指定季节调整分解的形式：乘法；加法；伪加法（此形式必须伴随ARIMA说明）；对数加法。注意乘法、伪加法和对数加法不允许有零和负数。季节滤波(Seasonal Filter)当估计季节因子时，允许选择季节移动平均滤波（月别移动平均项数），缺省是X12自动确定。近似地可选择(X11 default)缺省选择。需要注意如果序列短于20年，X12不允许指定315的季节滤波。,27,存调整后的分量序列名（Component Series to save）X12将被调整的序列名作为缺省列在Base name

15、框中，可以改变序列名。在下面的多选钮中选择要保存的季节调整后分量序列，X12将加上相应的后缀存在工作文件中：最终的季节调整后序列（SA）；最终的季节因子（SF）；最终的趋势循环序列（TC）；最终的不规则要素分量（IR）；季节/贸易日因子（D16）；假日/贸易日因子（D18）；,趋势滤波（Trend Filter(Henderson)）当估计趋势循环分量时，允许指定亨德松移动平均的项数，可以输入大于1和小于等于101的奇数，缺省是由X12自动选择。,28,例2.1a 利用X12加法模型进行季节调整,图2.3a 社会消费品零售总额原序列,图2.3b 社会消费品零售总额的TCI 序列 图2.3c 社

16、会消费品零售总额的TC序列,29,图2.3d 社会消费品零售总额 I 序列 图2.3e 社会消费品零售总额的 S 序列,30,例2.1b 利用X12乘法模型进行季节调整,图2.4a 工业总产值原序列,图2.4b 工业总产值的TCI 序列 图2.4c 工业总产值的TC序列,31,图2.4d 工业总产值的 I 序列 图2.4e 工业总产值的 S 序列,32,X12方法是基于移动平均法的季节调整方法。它的一个主要缺点是在进行季节调整时，需要在原序列的两端补欠项，如果补欠项的方法不当，就会造成信息损失。X12-ARIMA方法是由X12方法和时间序列模型组合而成的季节调整方法。通过用ARIMA模型(au

17、toregressive integrated moving Average)延长原序列，弥补了移动平均法末端项补欠值的问题。建立ARIMA(p,d,q)模型，需要确定模型的参数，包括单整阶数d；自回归模型(AR)的延迟阶数p；动平均模型(MA)的延迟阶数q。也可以在模型中指定一些外生回归因子，建立ARIMAX模型。对于时间序列中的一些确定性的影响（如节假日和贸易日影响），应在季节调整之前去掉。,2.ARIMA选择（ARIMA Option）,33,点击ARIMA Option标签，可出现下列对话框：,X12允许在季节调整前对被调整序列建立一个合适的ARIMA模型。,34,(1)数据转换（Da

18、ta Transformation）在配备一个合适的ARMA模型之前允许转换序列：(1)缺省是不转换；(2)Auto选择是根据计算出来的AIC准则自动确定是不做转换还是进行对数转换；(3)Logistic选择将序列 y 转换为 log(y/(1-y)，y序列的值要求在0和1之间；(4)Box-Cox power选择要求提供一个参数，做下列转换：,35,(2)ARIMA说明(ARIMA Spec)允许在2种不同的方法中选择ARIMA模型。,Specify in-line 选择 要求提供ARIMA模型阶数的说明（p d q）(P D Q),36,缺省的指定是“(0 1 1)(0 1 1)”是指季节

19、的IMA模型：(2.5.2)L是滞后算子，这里季节差分是指(1Ls)yt=yt yts，季度数据时s=4；月度数据时s=12。下面是一些例子：,注意在模型中总的AR、MA、和差分的系数不超过25；AR或MA参数的最大延迟为24；在ARIMA因子中的最大差分阶数不超过3。,37,Select from file 选择 X12将从一个外部文件提供的说明集合中选择ARIMA模型。EViews将利用一个包含一系列缺省模型指定说明的文件（X12A.MDL）：(0 1 1)(0 1 1)*(0 1 2)(0 1 1)X(2 1 0)(0 1 1)X(0 2 2)(0 1 1)X(2 1 2)(0 1 1)

20、缺省说明用“*”表示，除最后一个外，中间的用“X”结尾。有2个选择：Select best 检验列表中的所有模型，选一个最小预测误差的模型，缺省是第一个模型。Select by out-of-sample-fit 对模型的评价用外部样本误差，缺省是用内部样本预测误差。,38,(3)回归因子选择（Regressors）允许在ARIMA模型中指定一些外生回归因子，利用多选钮可选择常数项，或季节虚拟变量，事先定义的回归因子可以捕捉贸易日和节假日的影响。,39,由每天经济活动的总和组成的月度时间序列受该月各周的影响，这种影响称为贸易日影响（或周工作日影响）。例如，对于零售业在每周的星期一至星期五的销售

21、额比该周的星期六、星期日要少得多。因此，在某月如果多出的星期天数是一周的前五天，那么该月份销售额将较低；如果多出的星期天数是一周的星期六、星期日，那么该月份销售额将较高。又如，在流量序列中平均每天的影响将产生“月长度”影响。因为在每年中二月份的长度是不相同的，所以这种影响不可能完全被季节因素承受。二月份残留的影响被称为润年影响。,3.贸易日和节假日影响（1）贸易日影响,40,Young(1965)讨论了浮动贸易日的影响，Cleveland and Grupe(1983)讨论了固定贸易日的影响。贸易日影响和季节影响一样使得比较各月的序列值变得困难，而且不利于研究序列间的相互影响。由于这个原因，当

22、贸易日影响的估计在统计上显著时，通常在季节调整之前先把贸易日的影响从序列中剔除。在调整的内容中，形成了又一个分解要素：贸易日要素 D。在X12季节调整中，假设贸易日影响要素包含在不规则要素中，即不规则要素的形式是 ID，假设已从原序列 Y 中分解出 ID。然后用回归分析求出星期一，星期二，星期日的相应权重，从而可以将 ID 分解为真正的不规则要素 I 和贸易日要素 D。,41,美国的圣诞节、复活节及感恩节等节假日对经济时间序列也会产生影响。例如，圣诞节的影响可以增加当周或前一周商品的零售额，或者是降低特定工厂在圣诞节前几天的产量。在X12方法中，贸易日和节假日影响可以从不规则要素中同时估计得到

23、。在X12方法中，可以对不规则要素建立ARIMAX模型，包括贸易日和节假日影响的回归变量，而且还可以指明奇异值的影响，并在估计其他回归影响的同时消除它们。注意EViews中的节假日调整只针对美国，不能应用于其他国家。,（2）节假日影响的调整,42,可以在进行季节调整和利用ARIMA模型得到用于季节调整的向前/向后预测值之前，先去掉确定性的影响（例如节假日和贸易日影响）。首先要选择:（Ajustment Option）是否进行这项调整？，确定在那一个步骤里调整：在ARIMA步骤，还是X-11步骤？,贸易日和节假日影响操作,43,Trading Day Effects消除贸易日影响有2种选择，依赖

24、于序列是流量序列还是存量序列（诸如存货）。对于流量序列还有2种选择，是对周工作日影响进行调整还是对仅对周日-周末影响进行调整。存量序列仅对月度序列进行调整，需给出被观测序列的月天数。Holiday effects 仅对流量序列做节假日调整。对每一个节日，必须提供一个数，是到这个节日之前影响的持续天数。Easter 复活节 Labor 美国、加拿大的劳工节，九月第一个星期一 Thanksgiving 感恩节（在美国为11月第4个星期4；加拿大为10月第2个星期1）Christmas 圣诞节 注意这些节日只针对美国，不能应用于其他国家。,44,外部影响调整包括附加的外部冲击(addtive out

25、lier，AO)和水平变换(level shift，LS)。附加的外部冲击(AO)调整是指对序列中存在的奇异点数据进行调整，水平变换(LS)是指对水平上发生突然变化的序列的处理。,4.外部影响(Outlier Effects),图2.5 经济时间序列水平变换示意图,45,通过对ARIMAX模型中的回归方程添加外部冲击和水平变换回归变量，可以处理奇异点数据和在水平上发生突然变化的序列。在对序列进行预调整的同时得到外部影响调整是X12-ARIMA模型的特殊能力。在奇异点t0的外部冲击变量：(2.2.26)在水平位移点t0的水平变换变量：(2.2.27),46,外部影响操作 外部影响调整也是分别在A

26、RIMA步骤和X11步骤中进行。然而，必须在X11步骤中作了贸易日/节日调整，才能在X11步骤中做外部调整，而且只能做附加的外部调整；,47,在ARIMA步骤中有4种外部调整：附加的外部调整；水平变换；暂时的水平变化；弯道影响。,48,5.诊断（Diagnostics）,49,这项选择提供了各种诊断：季节因素的稳定性分析（Stability Analysis of Seasonals）Sliding spans 移动间距 检验被调整序列在固定大小的移动样本上的变化；Historical revisions 历史修正检验被调整序列增加一个新观测值，即增加一个样本时的变化。其他诊断（Other D

27、iagnostics）还可以选择显示各种诊断输出。,50,三、移动平均方法,X-11法与移动平均法的最大不同是：X-11法中季节因子年与年有可能不同，而在移动平均法中，季节因子被假设为是一样的。,51,TRAMO(Time Series Regression with ARIMA Noise,Missing Observation,and Outliers)用来估计和预测具有缺失观测值、非平稳ARIMA误差及外部影响的回归模型。它能够对原序列进行插值，识别和修正几种不同类型的异常值，并对工作日变化及复活节等特殊回归因素及假定为ARIMA过程的误差项的参数进行估计。SEATS(Signal Ex

28、traction in ARIMA Time Series)是基于ARIMA模型来对时间序列中不可观测成分进行估计。这两个程序往往联合起来使用，先用TRAMO对数据进行预处理，然后用SEATS将时间序列分解为趋势要素、循环要素、季节要素及不规则要素4个部分。这两个程序是由Victor Gomez 和Agustin Maravall 开发的。,四、tramo/Seats方法,52,tramo/Seats方法操作,当选择了Pross/Seasonal Adjustment/Tramo Seats 时，EViews执行外部程序，将数据输给外部程序，然后将结果返回EViews。,53,2.3 趋势分解

29、,本章第2节介绍的季节调整方法可以对经济时间序列进行分解，但在季节调整方法中，趋势和循环要素视为一体不能分开。本节专门讨论如何将趋势和循环要素进行分解的方法。测定长期趋势有多种方法，比较常用的方法有回归分析方法、移动平均法、阶段平均法(phase average，PA方法)、HP滤波方法和频谱滤波方法（frequency(band-pass)filer，BP滤波）。本节主要介绍HP滤波方法和BP滤波方法。,54,2.3.1 Hodrick-Prescott（HP）滤波,在宏观经济学中，人们非常关心序列组成成分中的长期趋势，Hodrick-Prescott滤波是被广泛使用的一种方法。该方法在Ho

30、drick and Prescott(1980)分析战后美国经济周期的论文中首次使用。我们简要介绍这种方法的原理。设Yt是包含趋势成分和波动成分的经济时间序列，YtT是其中含有的趋势成分，YtC是其中含有的波动成分。则(2.3.1)计算HP滤波就是从Yt中将YtT 分离出来。,55,一般地，时间序列Yt中的不可观测部分趋势YtT常被定义为下面最小化问题的解：(2.3.2)其中：c(L)是延迟算子多项式(2.3.3)将式(2.3.3)代入式(2.3.2)，则HP滤波的问题就是使下面损失函数最小，即(2.3.4),56,最小化问题用c(L)YtT2 来调整趋势的变化，并随着 的增大而增大。这里存在

31、一个权衡问题，要在趋势要素对实际序列的跟踪程度和趋势光滑度之间作一个选择。=0 时，满足最小化问题的趋势等于序列Yt；增加时，估计趋势中的变化总数相对于序列中的变化减少，即 越大，估计趋势越光滑；趋于无穷大时，估计趋势将接近线性函数。一般经验地，的取值如下：,57,HP滤波的运用比较灵活，它不象阶段平均法那样依赖于经济周期峰和谷的确定。它把经济周期看成宏观经济波动对某些缓慢变动路径的偏离，这种路径在期间内单调地增长，所以称之为趋势。HP滤波增大了经济周期的频率，使周期波动减弱。,58,使用Hodrick-Prescott滤波来平滑序列，选择Procs/Hodrick Prescott Filt

32、er出现下面的HP滤波对话框：,首先对平滑后的序列给一个名字，EViews将默认一个名字，也可填入一个新的名字。然后给定平滑参数的值，年度数据取100，季度和月度数据分别取1600和14400。不允许填入非整数的数据。点击OK后，EViews与原序列一起显示处理后的序列。注意只有包括在当前工作文件样本区间内的数据才被处理，平滑后序列区间外的数据都为NA。,59,图2.6 蓝线表示社会消费品零售总额TC序列、红线表示趋势T序列、绿线表示循环C序列,例2.3 利用HP滤波方法求经济时间序列的趋势项T,先做季节调整得到趋势-循环要素序列，记为TC，然后利用HP滤波方法求中国社会消费品零售总额月度时间

33、序列(1990:12007:6),60,图2.7 蓝线表示社会消费品零售总额、红线表示趋势T序列,61,首先对季度GDP做季节调整，然后对得到的趋势-循环序列GDP.TC序列利用HP滤波方法求中国GDP季度时间序列的趋势项(1997:12007:6)。,图2.8 蓝线表示GDP序列、红线表示趋势T序列、绿线表示循环 C 序列,62,图2.9 蓝线表示GDP序列、红线表示趋势T序列,63,例2.4 利用HP滤波方法求潜在产出和产出缺口,设Yt为我国的季度GDP指标(1997年1季度2007年4季度)，利用季节调整方法将GDP中的季节因素和不规则因素去掉，得到GDP_TC序列。本例的潜在产出Y*，

34、即趋势利用HP滤波计算出来的YtT来代替，GDP的循环要素Yt序列由式(2.3.6)计算：(2.3.6),图2.6 蓝线表示 GDP_TC、红线表示趋势序列GDP_T,图2.7 GDP的循环要素 序列,64,图2.7显示的GDP的循环要素YtC序列实际上就是围绕趋势线上下的波动，称为GDP缺口序列。它是一个绝对量的产出缺口。也可以用相对量表示产出缺口，本例用Gapt来表示相对产出缺口，可由下式计算得到：(2.3.7),图2.8 通货膨胀率(蓝线)产出缺口Gap(红线),65,2.3.2 频谱滤波（BP滤波）方法,20世纪以来，利用统计方法特别是时间序列分析方法研究经济时间序列和经济周期的变动特

35、征得到越来越广泛的应用。自时间序列分析产生以来，一直存在两种观察、分析和解释时间序列的方法。第一种是直接分析数据随时间变化的结构特征，即所谓时域（time domain）分析法，使用的工具是自相关（或自协方差）函数和差分方程；另一种方法是把时间序列看成不同谐波的叠加，研究时间序列在频率域（frequency domain）里的结构特征，由于这种分析主要是用功率谱的概念进行讨论，所以通常称为谱分析。,66,谱分析的基本思想是：把时间序列看作是互不相关的周期（频率）分量的叠加，通过研究和比较各分量的周期变化，以充分揭示时间序列的频域结构，掌握其主要波动特征。因此，在研究时间序列的周期波动方面，它具

36、有时域方法所无法企及的优势。,67,1.经济时间序列的功率谱,设时间序列数据 X=(x1,x2,xT)，T 为样本长度。谱分析（spectral analysis）的实质是把时间序列 X 的变动分解成不同的周期波动之和。考虑时间序列 X 由对应于不同频率的多个周期变动的和构成，假定存在n个频率1,2,n，则这里，uj，vj 是随机变量。（对所有的i，j）（对所有的 i j）,68,可以计算得到 X 的方差：在这里很有趣的是，X 的方差可以由n个方差j2 的和来表示。j2是对应于频率j 的循环变动 uj cosj t+vj sinj t 的方差，表示了对随机过程全变动的贡献，下图是对应于频率的方

37、差图。,69,频率 和周期 p 有如下关系：频率 周期=p=2(2.3.8)时间序列 X 的变动可以分解成各种不同频率波动的叠加和，根据哪种频率的波动具有更大的贡献率来解释 X 的周期波动的成分，这就是谱分析（频率分析）名称的缘由。这就是说当具有各种周期的无数个波包含于景气变动中时，看看哪个周期(频率)的波强烈地表现现实景气变动。谱分析中的核心概念是功率谱密度函数（简称功率谱），它集中反映了时间序列中不同频率分量对功率或方差的贡献程度。,70,（1）白噪音的功率谱 在随机过程ut是白噪音的情形，白噪音的功率谱 f()可由下式表示(2.3.9)其中：2是ut的方差。如图所示，白噪音的功率谱是水平

38、的。因此，可知白噪音的功率谱的所有频率是具有同一权重的随机过程。图的横轴为频率，频率下面是对应的周期。在这里，2是指以2期为周期的周期变动，4是指以4期为一周期的周期变动。在这个功率谱图中，0，的频率对应的周期从 到2期，（由于谱密度函数的对称性，图中只给出0，间的谱图）。,71,（2）一般随机过程的功率谱 图2.10(a)一般的功率谱的例子如图2.10所示。图2.10a是低频率处显示高功率谱的随机过程，因为长周期变动的比重高，所以表明是以长期波动为主要特征的随机过程。而当=0时的功率谱有无限大的周期，即表示时间序列是以趋势要素为主要特征。经济数据多数具有显著的上升趋势，所以Granger（1

39、996）指出：“经济变量的典型的谱形状是如图2.10a中所示的那样趋势性强的功率谱。”,72,相反地，图2.10b是高频率处显示高功率谱的随机过程，说明主要包含短周期的波动，是比白噪音还不规则的随机过程。进一步地，图2.10c是功率谱集中在某个特定的频数附近的情形，意味着这个随机过程变动的大部分是由这个频数所确定的周期波动。(b)(c),73,2.频率响应函数 考虑随机过程 xt 的线性变换(2.3.10)其中：wj 是确定的权重序列，比如是 xt 的移动平均权重。上面的变换可以用延迟算子表示为(2.3.11)其中：,74,由这种变换构成的延迟多项式被称为线性滤波(linear filter)

40、，或只称为滤波。这样的变换还可以被说成对xt作用了滤波。由谱分析的知识可知，yt 的功率谱可以表示为(2.3.12)其中：fy()和fx()分别是yt和xt的功率谱，关于e-i=cos-isin的指数函数W(e-i)被定义为：(2.3.13)其中：i 是满足i2=-1的虚数。W(e-i)等同于W(L)中的 Lj 用 e-ij 置换的结果。,75,w()=W(e-i)称为滤波的频率响应函数(frequency response function)。W(e-i)是复数，它的绝对值|W(e-i)|是实数，称为滤波的增益(gain)。因此，变换后的功率谱给定为实数。进一步，增益的平方|W(e-i)|2

41、称为滤波的功率传递函数(power transfer function)，或只称为传递函数。要想得到理想的滤波，需要无限阶移动平均。实际应用中，我们必须要用有限项移动平均近似理想的滤波，设截断点为n，这时的频率响应函数为(2.3.14),76,形如式(2.3.10)的线性变换被称为线性滤波，是因为通过适当设计权重序列，可以使传递函数 W(e-i)2 在某些频率区间内等于0或近似等于0。这样根据式(2.3.12)就可以将输入中所有在这个频率带中的分量“过滤”掉，留下其他成分。根据被保留下来的频率位于低频处、高频处或某个中间带上，分别称为低通滤波（low-pass filters，LP）、高通滤波

42、（high-pass filters，HP）和带通滤波（band-pass filters，BP）。,77,例2.5 差分滤波的效果,现在设时间序列xt有功率谱fx()。考虑取差分系列yt(2.3.15)用延迟多项式来表示(2.3.16)因此，差分滤波的频率响应函数是(2.3.17),78,传递函数由下式给定(2.3.18)因此，yt 的功率谱由下式给定(2.3.19),图2.11 差分滤波的图形,79,像图2.11(a)所示的那样，差分滤波的传递函数在=0 处取0，然后先缓缓上升，很快就急速上升。如果原来的时间序列 xt 的功率谱如图2.11(b)，趋势很强，作为差分结果的 yt 的功率谱就

43、如图2.11(c)的形状。这样的差分处理，趋势要素（=0的功率）完全被消除，具有大幅度减少长期变动的效果。,图2.11 差分滤波的图形,80,4带通滤波 可以使得在频率带L1|L2 的范围内，频率响应函数为1，而其他区间为0。显然带通滤波的权重便是两个低通滤波权重的差，即(2.3.30)从频率的角度定义了这些类型的滤波，这经常和周期相联系。频率为的循环的周期是 p=2/，切断频率为c、截断点为n的近似的低通滤波可以记为LPn(p)，意味着周期大于等于p(=2/c)的那些成份将保留。带通滤波可以类似地分别定义为(2.3.32),81,截断点n的选择是决定理想滤波BPn(p，q)近似优劣的根本因素

44、，如果n取得过小，将会产生谱泄漏（leakage）和摆动(gibbs)现象。前者是说，滤波在剔除不想保留的成分的同时，也将想要保留下来的一部分成分剔除掉了；后者是指频率响应函数在大于1和小于1两种状态之间摆动。随着n的增加，这些现象明显改善。但是，n不能选择太大，因为那样两端将缺失过多数据。设=2，则频率响应函数的频率 的取值范围是0,，对应标准化后频率 的取值范围为0，0.5。因此，在周期p为18，q为60的带通滤波的理想的频率响应函数在1/60，1/18的频率区间的取值应为1。,82,图2.12 实线表示BP(p,q)滤波频率响应函数 虚线表示n 取不同值得到的带通滤波的频率响应函数,83

45、,BP滤波的操作 在EViews中，可以使用 Band-Pass 滤波对经济时间序列进行趋势循环分解。在序列对象的菜单中选择 Proc/Frequency Filter，显示图2.13所示的对话框。图2.13 频率滤波对话框,84,为了使用Band-Pass滤波，首先要选择一种滤波类型。共有3种类型：（1）BK固定长度对称滤波（Fixed length symmetric(Baxter-King，BK)）；（2）CF固定长度对称滤波（Fixed length symmetric(Christiano-Fitzgerald，CF)）；（3）全样本长度非对称滤波（Full sample asymm

46、etric(Christiano-Fitzgerald)）。EViews默认的是BK固定长度对称滤波。如果使用固定长度对称滤波，还必须指定先行/滞后（Lead/lag）项数n。,85,用户必须选择循环周期（Cycle periods）的区间以计算Band-Pass滤波的频率响应函数的权重序列。这个区间由一对数据（PL，PU）描述，PL、PU 由Band-Pass滤波要保留的循环波动成分所对应的周期来确定。月度数据填月数；季度数据填季度的个数。EViews将根据数据类型填入了默认数值。例如，例2.6认为中国社会消费品零售总额的增长周期大约在1年半（18个月）到5年（60个月），如果保留在这个区间

47、内的循环要素，则区间的下界是18，上界是60。因此，设定PL=18，PU=60（相当于例2.6中的 p和q）。,86,在Band-Pass滤波的输出结果中，左侧的图描述了原序列、趋势序列和循环序列。对于BK和CF固定长度对称滤波而言，Eviews 画出频率响应函数w()，频率 的区间是0，0.5，右面的图描述了频率响应函数。但是，对于时变的CF滤波，并没有画出频率响应函数，因为滤波的频率响应函数随数据和观测值个数变化。,87,用户需要输入希望保存的结果（循环成分、趋势成分）对象的名字。循环序列（Cycle series）是包含循环要素的序列对象；趋势序列(Non-cyclical series

48、)是实际值和循环序列的差。用户还能得到在滤波中所用的Band-Pass滤波频率响应函数的权序列，它将存储在矩阵对象中。,88,例2.6 利用BP滤波对经济时间序列进行趋势、循环分解 中国社会消费品零售总额月度时间序列（SL）的取值范围从1980年1月至2007年12月。取对数后的序列记为lnsl。由于带通（BP）滤波的两端各欠n项，为了近期的分解结果没有缺失值，本例利用ARIMA模型将序列lnsl外推到2009年6月。然后对lnsl进行季节调整去掉季节和不规则要素，得到只包含趋势循环要素的序列lnsl_TC。根据增长率周期波动分析，我国社会消费品零售总额的增长率大约存在1.5年5年之间的波动。

49、取p=18(p=1/18)，q=60(q=1/60)，利用式(2.3.29)带通滤波方法希望得到只保留1.5年5年周期成分的滤波序列。而取n=18的BPn(p，q)滤波中2年3.5年周期成分的权重最大，可以近似地作为中国社会消费品零售总额对数的循环要素序列lnsl_C，同时利用时间序列分解的加法模型从lnsl_TC中减去lnsl_C，可得到趋势要素序列lnsl_T。,89,图2.14 红线表示BP(p,q)滤波频率响应函数 蓝线表示带通滤波的频率响应函数,90,图2.15 蓝线表示lnSL的原序列 红线表示趋势要素序列lnSL_T,由于BP滤波两端各损失18个月的数据，所以循环要素序列lnsl

50、_C（图2.14）和趋势要素序列lnsl_T（图2.15）的数据序列长度为1982年1月2007年12月。,91,图2.16 循环要素序列lnSL_C,92,分别对lnsl_C和lnsl_T序列取指数，可得到社会消费品零售总额序列SL的循环要素SL_C和趋势要素SL_T（乘法模型）。,93,图2.17 红线表示HP滤波得到的趋势要素序列 蓝线表示BP滤波得到的趋势要素序列,94,图2.18 红线表示HP滤波得到的循环要素序列 蓝线表示BP滤波得到的循环要素序列,95,2.3.2 指数平滑,指数平滑是可调整预测的简单方法。当只有少数观测值时这种方法是有效的。与使用固定系数的回归预测模型不同，指数