等腰三角形的性质资料.ppt

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1、第一章 三角形的证明,1.1 等腰三角形,第1课时 等腰三角形的性质,1,知识点,全等三角形的性质和判定,问 题,全等三角形的定义是什么？,知1导,1.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等.2.全等三角形的判定方法（1）三边分别相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）.（2）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“角 边角”或“ASA”）.（3）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形 全等（简写成“角角边”或“AAS”）.（4）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边 角边”或“SAS”）,知1讲,知1讲,利用全等三角形的判定方法，当DB时，

2、两个三角形符合“边角边”，ADFCBE,导引：,B,例1（2015贵州省贵阳）如图，点E，F在AC上，ADBC，DFBE，要使ADFCBE，还需要添加的一个条件是（）AAC BDBCADBC DDFBE,知1练,1(2016金华)如图，已知ABCBAD，添加下列条件还不能判定ABCBAD的是()AACBD BCABDBACCD DBCAD,知1练,2(2016南京)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，ABOADO.下列结论：ACBD；CBCD；ABCADC；DADC.其中所有正确结论的序号是_,2,知识点,等腰三角形的边、角性质,知2导,1等腰三角形的相关概念回顾：,知2导,2议

3、一议(1)还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？(2)请你选择等腰三角形的一条性质进行证明，并与 同伴交流.,归 纳,知2导,定理 等腰三角形的两底角相等.这一定理可以简述为：等边对等角.,知2讲,例2 已知：如图1-1，在ABC中，ABAC.求证：BC.分析：我们曾经利用折叠的方法说明 了这两个底角相等(如图1-2).实际 上，折痕将等腰三角形分成了两 个全等三角形.这启发我们，可以 作一条辅助线，把原三角形分成 两个全等的三角形，从而证明这 两个底角相等.,图1-2,知2讲,证明：如图1-3,取BC的中点D，连接 AD.ABAC，BDCD，ADAD，ABDACD(SSS).BC(全等三角形

4、的对应角相等）.,知2讲,1性质：等腰三角形的两底角相等(简写成“等边对等 角”)要点精析：(1)适用条件：必须在同一个三角形中(2)应用格式：在ABC中，因为ABAC，所以B C.(3)作用：它是证明角相等常用的方法，它的应用可省 去三角形全等的证明，因而更简便,知2讲,例3(1)在ABC中，ABAC，若A50，求B；(2)若等腰三角形的一个角为70，求顶角的度数；(3)若等腰三角形的一个角为90，求顶角的度数导引：给出的条件中，若底角、顶角已确定，可直接运用三 角形的内角和定理与等腰三角形的两底角相等的性质 求解；若给出的条件中底角、顶角不确定，则要分两 种情况求解解：(1)ABAC，BC

5、.ABC180，502B180，解得B65.,知2讲,(2)由题意可知，70的角可以为顶角或底角，当底角 为70时，顶角为18070240.因此顶角 为40或70.(3)若顶角为90，底角为 若底角为 90，则三个内角的和大于180，不符合三角形 内角和定理因此顶角为90.,总 结,知2讲,1在等腰三角形中求角时，要看给出的角是否确定为顶角或底角若已确定，则直接利用三角形的内角和定理求解；若没有指出所给的角是顶角还是底角，要分两种情况讨论，并看是否符合三角形内角和定理2若等腰三角形中给出的一内角是直角或钝角，则此角必为顶角,知2讲,例4 如图，在ABC中，ABAC，D是AB上一点，E是AC延长

6、线上一点，且BDCE，DE交BC于点F.求证：DFEF.导引：要证DFEF，可转化为证它们所在的三角形全等，而根据现有条件易知DF，EF所在的三角形不全等，因此可以考虑作辅助线，进行图形之间的转换，使条件集中,知2讲,证明：如图，过点E作EMAB交BC的延长线于点M，则MB.ABAC，BACB.又ACBECM，BECM.ECMM.CEME.又BDCE，MEBD.又BFDMFE，BDFMEF(AAS)DFEF.,(2016滨州)如图，在ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且ACCDBDBE，A50，则CDE的度数为()A50 B51 C51.5 D52.5,知2练,知2练,(2016枣庄)

7、如图，在ABC中，ABAC，A30，E为BC的延长线上一点，ABC与ACE的平分线交于点D，则D的度数为()A15 B17.5 C20 D22.5,知3导,3,知识点,等腰三角形的“三线合一”,想一想在图1-3中，线段AD还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论?,1推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底 边上的高线互相重合(简写成“三线合一”)要点精析：(1)含义：这是等腰三角形所特有的性质，它实际是一组 定理，应用过程中，在三角形是等腰三角形前提下，“顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线”只 要知道其中“一线”，就可以说明是其他“两线”(2)作用：是证明线段相等、角相等、

8、垂直等关系的重要 方法，应用广泛,知3讲,(3)对称性：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(或 底边上的高线、底边上的中线)所在的直线是它的对 称轴(4)应用格式：如图，在ABC中，ABAC，ADBC，AD平分BAC(或BDCD)；ABAC，BDDC，ADBC(或AD平分BAC)；ABAC，AD平分BAC，BDDC(或ADBC),知3讲,（来自点拨）,知3讲,如图，在ABC中，ABAC，AD是BC边上的中线，ABC的平分线BG交AC于点G，交AD于点E，EFAB，垂足为F.(1)若BAD25，求C的度数；(2)求证：EFED.ABAC，AD是BC边上的中线，BADCAD.BAC2BAD50.A

9、BAC，CABC(180BAC)(18050)65.,例5,(1)解：,知3讲,(2)求证：EFED.证明：ABAC，AD是BC边上的中线，EDBC.又BG平分ABC，EFAB，EFED.,总 结,知3讲,(1)利用等腰三角形的“三线合一”证明角相等、线段相等和垂直关系是一种既重要又简便的方法；因为题目的证明或计算所求结果大多都是单一的，所以“三线合一”的应用也是单一的，一般得出一个结论，因此应用要灵活(2)在等腰三角形中，作“三线”中“一线”，利用“三线合一”是等腰三角形中常用的方法,知3讲,如图，已知ABAE，BCDE，BE，AMCD，垂足为M.求证：CMMD.,如图，连接AC，AD.在A

10、BC和AED中，ABCAED(SAS)ACAD.又AMCD，CMMD.,导引：,证明：,例6,由已知AMCD和结论CMMD，联想到等腰三角形的“三线合一”，由此连接AC，AD构造等腰三角形,总 结,知3讲,对于单一等腰三角形作“三线合一”的基本图形，作底边上的高、中线还是顶角平分线，可根据解题需要作辅助线；对于叠合等腰三角形作“三线合一”的基本图形，则需巧作辅助线，下面就如下几种图形说明巧作辅助线的方法：1.如图(1)的情形，需作底边上的高；,1知识方面：（1）等腰三角形的性质：等边对等角.（2）等腰三角形性质的推论：三线合一，即等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.2思想方法：转化思想的应用，等腰三角形的性质是证明角相等、边相等的重要方法.,