等比数列定义及性质.ppt

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1、等比数列(1),一、温故知新：,1、等差数列定义：2、等差数列单调性：,anan=d(d为常数),d0单调递增d0单调递减d=0常数列,用什么方法推出的呢？,1.对于数列(1),从第2项起,每一项 与前一项的比都等于_ 2.对于数列(2),从第2项起,每一项 与前一项的比都等于_ 3.对于数列(3),从第2项起,每一项 与前一项的比都等于_,1/2,20,2,观察以上数列各有什么特点：,如果一个数列从第 _项起，每一项与它的前一项的 _等于 _一个常数，那么这个数列就叫做 这个常数叫做等 数列的 _,1.等比数列定义：,二,比,同,等比数列,公比,等差数列定义,如果一个数列从第二项起，每一项与

2、它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差公差通常用字母d表示,公比通常用字母q表示,比,(1)你能用数学式子表示等比数列的定义吗？,（2)既是等比数列又是等差数列的数列存在吗？如果存在，你能举出例子吗？,等差数列,等比数列,或 an+1-an=d(n1),an an-1=d(n2),非零的常数数列既是等差数列又是等比数列,（2）公比q能等于0吗？,等比数列,由于等比数列的每一项都有可能作分母，故a n 0 且 q 0,等差数列,由于等差数列是作差 故a n,d 没有要求,探究：（1）等比数列的各项能等于0吗？为什么？,课堂互动,(1)1，3，9，27

3、，81，,(3)5，5，5，5，5，5，,(4)1，-1，1，-1，1，,是,公比 q=3,是,公 比q=-1,(2),是,公比 q=,观察并判断下列数列是否是等比数列:,是,公比 q=1,(5)1，0，1，0，,(6)0，0，0，0，,不是等比数列,不是等比数列,()1,，,等比数列的有关概念,观察数列(1)2，4，8，16，32，64.,(2)1，3，9，27，81，243，,(3),(4),(5)5，5，5，5，5，5，,(6)1，-1，1，-1，1，,以上6个数列的公比分别为,公比 q=2 递增数列,公比 q=3 递增数列,公比 d=x,公比 q=1 非零常数列,公 比q=-1 摆动数

4、列,因为x的正负性不确定，所以该数列的增减性等尚不能确定。,公比 q=递减数列,等比数列中：,叠乘法,叠加法,等比数列通项公式推导:,等差数列通项公式推导:设公差为 d 的等差数列 a n，则有:,a n a 1=(n1)d(n2）,等差数列 a n 的首项为 a 1，公差为 d 的通项公式为 _,a n=a 1+(n1)d，n N+,设公比为 q的等比数列 a n，则有:,q,q,q,首项为 a 1，公比为 q 的等比数列的通项公式：,a n=a 1 q n1,(a 1 0 且 q 0 n N+),(n2）,(1)2，4，8，16，,(2)2，2,4,4,(4)5,5,5,5,(3)1,a

5、n=2n,a n=,a n=,a n=5,练习:写出下列等比数列通项公式,1.求下列各等比数列的通项公式：（1）,练习,解：,解：,例2 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项。,把代入，得,因此,1.由下面等比数列通项公式,求首项与公比.(口答)(1).(2)2.设 成等比数列,其公比为2,则 的值为多少.,课 堂 练 习,3若x,2x+2,3x+3是一个等比数列的连续三项，则x的值为（）（A）4（B）1（C）1或4（D）1或4,A,1 在等比数列中a1+a2=3,a4+a5=24,求q和a1。解：由已知得：,答：q和a1分别是2和1。,等比数列的通项公式练习,例

6、题讲解:,在等比数列 中,例4在4与 之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数。,解：依题意，a1=4，,由等比数列通项公式得,所以,因此插入的3个数依次是2，1，,或2，1，,3、等比中项的定义：,探究：类比等差数列，等差数列有等差中项公式，请你给出等比中项公式。,等比数列,等差数列,如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。,如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。,等比数列所有奇数项符号相同；所有偶数项符号相同。,练习：,练习：求下列各组数的等比中项,（1）1，9（2）-1，-4（3）-12，-

7、3（4）1，1,3,2,6,1,若a，b异号则无等比中项；若a，b同号则有两个等比中项,2.已知数列的前n项和为Sn=an-1(a为不为零的实数),则此数列()A.一定是等差数列 B.一定是等比数列C.或是等差数列或是等比数列D.既不是等差数列,也不是等比数列,C,A，,1、在等比数列中，已知首项为，末项为，公比为，则项数为（）,B,3.若数列an的前n项和为,那么这个数列的通项公式是()an=23n-1 B.an=32nC.an=3n+3 D.an=23n,D,4.已知等差数列an的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2=()A.4 B.6 C.8 D.10,B,5.已知a,b,c成

8、等比数列,a,x,b和b,y,c都成等差数列,且xy0,那么 的值为()A.1 B.2 C.3 D.4,B,6.已知a1,a2,a8是各项为正数的等比数列,公比q1,则()A.a1+a8a4+a5 B.a1+a8a4+a5C.a1+a8=a4+a5 D.a1+a8和a4+a5的大小关系不能由已知条件确定.,A,7.已知数列1,a1,a2,4成等差数列,1,b1,b2,b3,4成等比数列,则的值是.,等比数列,由于等比数列的每一项都有可能作分母，故a 1 0 且 q 0,等差数列,由于等差数列是作差 故a 1 d 没有要求,判断数列是等差数列的方法,判断数列是等比数列的方法,或 an+1-an=

9、d(n1),an an-1=d(n2),结论：如果是项数相同的等比数列，那么也是等比数列,特别地，如果是 等比数列，c是不等于的常数，那么数列 也是等比数列,1.求证若数列 an 是等差数列,则 ban 是等比数列,2求证 若数列 an 是正项等比数列,则 logban 是等差数列.,1.已知数列an满足a1=1,an+1=2an+1(nN*).(1)求证:数列an+1是等比数列.(2)求an的通项公式.,2.已知数列an满足(1)求证:数列an 是等比数列.(2)求an的通项公式.,补充:有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个

10、数的和是12，求这四个数,等差数列,等比数列,定义,数学表达,如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。,an+1-an=d(常数),符号表示,首项a1,公差d,如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。,首项a1,公比q(q0),d与an,q与an,d0 an 递增 d0 an 递减 d0 an 为常数列,q0 an 中各项同号q0 an 中的项正负相间q1 an 为非零常数列,通项公式,an=a1+（n-1）d,an=a1qn-1,等比中项,a,A,b成等差数列,2A=ab,a,G,b成等比数列,

11、G2=ab,判定等比数列常用方法,(1)定义法:,(2)等比中项法:,(3)通项法:,等比数列(2),二.学以致用,已知等比数列的公比为q,第m项为,求.,练习,已知等比数列,证明:,练习:,在等比数列an中，a2=-2,a5=16，a8=.在等比数列an中，且an0，a2 a4+2a3a5+a4a6=36,那么a3+a5=_.在等比数列an中，若则a10=,-128,6,1、若等比数列an,a4=1,a7=8,则a6与a10的等比中项是_.,16,2、若等比数列an中,若已知a2=4,a5=,求an;若已知a3 a4a5=8,求a2a6的值.,2、在等比数列 中，求该数列前七项之积。,3、在

12、等比数列an中,求a8.,1、在等比数列an中，已知,求,练习：,二.新课讲授,例2在等比数列an中，（1）a5=2,a10=10，则a15（2）,那么,（3）若则a5a16+a9a12=30,求,例3已知在等比数列中,且q=2，求a1和n.,解（一）,解（二）利用等比性质,例5、等比数列 a n 中，a 4 a 7=512，a 3+a 8=124,公比 q 为整数，求 a 10.,法一：直接列方程组求 a 1、q。,法二：在法一中消去了 a 1，可令 t=q 5,法三：由 a 4 a 7=a 3 a 8=512,公比 q 为整数,a 10=a 3q 10 3,=4(-2)7,=512,三个正

13、数成等比数列，他们的和等于21，倒数的和等于，求这三个数。,解：设三个正数为：,得：,3、有三个数成等比数列，若它们的积等于64，和等于14，求此三个数？,4：有四个数，若其中前三个数成等比数列，它们的和等于19，后三个数成等差数列，它们的和等于12，求此四个数？,二.新课讲授,等比中项的应用,例1有四个数，前三个成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其平方和为56，求这四个数。,注意：,（1）等比数列中若三个数成等比数列，可以设为,（2）等比数列中若四个数成等比数列，不能设为,因为这种设法表示公比大于零。,例2、三数成等比数列,积为27,和为13,求这三个数。（三维）,解：设所求三数

14、为,所以三数为1，3，9或9，3，1,注意：三数成等比数列且积一定，设为a/q,a,aq。同号四数成等比数列且积一定，设为,1.四个正数,前三个数成等差数列,其和为 48,后三个数成等比数列,其最后一个数是 25,求此四数.,解:由已知可设前三个数为 a-d,a,a+d(d 为公差)且 a+d0.,后三数成等比数列,其最后一个数是 25,解得:a=16,d=4.,故所求四数分别为 12,16,20,25.,a-d+a+a+d=48,且(a+d)2=25a.,a-d=12,a+d=20.,课后练习题,已知2a=3,2b=6,2c=12,则a,b,c(),A.成等差数列不成等比数列B.成等比数列不

15、成等差数列C.成等差数列又成等比数列D.既不成等差数列又不成等比数列,结论：若数列an为等比数列，则数列logaan(a0且a1)为等差数列.,二.新课讲授,例4已知数列an是各项为正数的等比数列，且q1，设bn=log2an,且b1+b3=6,b1b3=8,(1)求an的通项公式；,(2）设bn的前n项和为Sn，当,最大时，求n的值,4.已知an是各项均为正的等比数列,求证:lgan为等差数列.,5.已知bn是等比数列,与数列an满足bn=,nN*.(1)求证:数列an是等差数列(2)若a8+a13=1/2,求b1b2b20.,3.已知等差数列an的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则

16、a2=()A.4 B.6 C.8 D.10,B,4.已知a,b,c成等比数列,a,x,b和b,y,c都成等差数列,且xy0,那么 的值为()A.1 B.2 C.3 D.4,B,补充作业：,1已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的立方和为81，求这三个数。,2有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数,练习:,1)在等差数列an中，a2=-2,a5=54，求a8=_.2)在等差数列an中，若a3+a4+a5+a6+a7=450，则a2+a8的值为_.3)在等差数列an中，a15=10,a45=90,则 a

17、60=_.4)在等差数列an中，a1+a2=3,a3+a4=1,则a5+a6=_.,110,运用性质：若n+m=p+q则am+an=ap+aq,性质：从等差数列中取出偶数项组成的新数列公差为2d.(可推广),性质：若an是公差为d的等差数列 cn是公差为d的等差数列，则数列an+cn是公差为d+d的等差数列。,180,130,P503，4,P50例3,P525,性质：等差数列中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,例3.在等比数列an中1)若a1a9=256,a4+a6=40,求公比q2)若an0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5.3)若a4a7+a5a6=20,求其前10项的和.,1.已知数列的前n项和为Sn=an-1(a为不为零的实数),则此数列()A.一定是等差数列 B.一定是等比数列C.或是等差数列或是等比数列D.既不是等差数列,也不是等比数列,C,