电磁场与电磁波3新.ppt

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1、第3章 静态电磁场及其边值问题的解,本章内容 3.1 静电场分析 3.2 导电媒质中的恒定电场分析 3.3 恒定磁场分析 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理 3.5 镜像法 3.6 分离变量法,静态电磁场：场量不随时间变化，包括：静电场、恒定电场和恒定磁场,时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场 静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立,3.1 静电场分析,学习内容 静电场的基本方程和边界条件 电位函数 导体系统的电容与部分电容 静电场的能量 静电力,2.边界条件,微分形式：,本构关系：,1.基本方程,积分形式：,或,若分界面上不存在面电荷，即S0，则,或,3.1.1

2、静电场的基本方程和边界条件,在静电平衡的情况下，导体内部的电场为0，则导体表面的边界条件为,或,场矢量的折射关系,导体表面的边界条件,由,即静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，标量函数 称为静电场的标量电位或简称电位。,1.电位函数的定义,电位函数,2.电位的表达式,对于连续的体分布电荷，由,面电荷的电位：,故得,点电荷的电位：,线电荷的电位：,3.电位差,上式两边从点P到点Q沿任意路径进行积分，得,关于电位差的说明,P、Q 两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至Q 点 所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处；电位差也称为电压，可用U 表示；电位差有确定值，只与首尾两点位

3、置有关，与积分路径无关。,静电位不惟一，可以相差一个常数，即,选参考点,令参考点电位为零,电位确定值(电位差),两点间电位差有定值,选择电位参考点的原则 应使电位表达式有意义；应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无 限远作电位参考点；同一个问题只能有一个参考点。,4.电位参考点,为使空间各点电位具有确定值，可以选定空间某一点作为参考点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确定值，所以该点的电位也就具有确定值，即,求电偶极子的电位.,解 在球坐标系中,用二项式展开，由于，得,代入上式，得,表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。,将 和 代入上式，解得E线方程为,由球

4、坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度,电场线微分方程：,等位线方程：,解 选定均匀电场空间中的一点o为坐标原点，而任意点P 的位置矢量为，则,若选择点o为电位参考点，即，则,在球坐标系中，取极轴与 的方向一致，即，则有,例 求均匀电场的电位分布。,在圆柱面坐标系中，取 与x轴方向一致，即，而，故,解 采用圆柱面坐标系，令线电荷与 z 轴相重合，中点位于坐标原点。由于轴对称性，电位与 无关。在带电线上位于 处的线元，它到点 的距离，则,例3.1.3 求长度为2L、电荷线密度为 的均匀带电线的电位。,在上式中若令，则可得到无限长直线电荷的电位。当 时，上式可写为,当 时，上式变为无穷大

5、，这是因为电荷不是分布在有限区域内，而将电位参考点选在无穷远点之故。这时可在上式中加上一个任意常数，则有,并选择有限远处为电位参考点。例如，选择=a 的点为电位参考点，则有,在均匀介质中，有,5.电位的微分方程,在无源区域，,6.静电位的边界条件,设P1和P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分别为1和2。当两点间距离l0时,若介质分界面上无自由电荷，即,导体表面上电位的边界条件：,由 和,常数，,例3.1.4 两块无限大接地导体平板分别置于x=0和 x=a 处，在两板之间的 x=b 处有一面密度为 的均匀电荷分布，如图所示。求两导体平板之间的电位和电场。,解 在两块无限大接地导体平板

6、之间，除 x=b 处有均匀面电荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉斯方程,方程的解为,利用边界条件，有,处，,最后得,处，,处，,所以,由此解得,电容器广泛应用于电子设备的电路中：在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁 路、选频等作用；通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂 电路；在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以 减少电能的损失和提高电气设备的利用率；,3.1.3 导体系统的电容与部分电容,电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统储存电荷能力的物理量。,孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位 的比值，即,1.电容,孤立导体的电容

7、,两个带等量异号电荷（q）的导 体组成的电容器，其电容为,电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质 的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。,(1)假定两导体上分别带电荷+q 和-q；(2)计算两导体间的电场强度E；,计算电容的步骤：,(4)求比值，即得出所求电容。,(3)由，求出两导体间的电位差；,解：设内导体的电荷为q，则由高斯定理可求得内外导体间的电场,同心导体间的电压,球形电容器的电容,当 时，,例 同心球形电容器的内导体半径为a、外导体半径为b，其间填充介电常数为的均匀介质。求此球形电容器的电容。,例 如图所示的平行双线传输线，导线半径为a，两导线的轴线距离为D，且D

8、 a，求传输线单位长度的电容。,解 设两导线单位长度带电量分别为 和。由于，故可近似地认为电荷分别均匀分布在两导线的表面上。应用高斯定理和叠加原理，可得到两导线之间的平面上任一点P 的电场强度为,两导线间的电位差,故单位长度的电容为,例3.1.7(自己看）同轴线内导体半径为a，外导体半径为为b，内外导体间填充的介电常数为 的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。,内外导体间的电位差,解 设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为 和，应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为,故得同轴线单位长度的电容为,静电独立系统D线从这个系统中的带电体发出，并终止于该系统中 的其余带电体，与外界无任何联系，

9、即,2 多导体系统、部分电容,1)电位系数,线性、多导体(三个以上导体)组成的系统；,部分电容概念 多导体系统中，一个导体在其余导体影响下与另一个导体构成的电容。,以接地导体为电位参考点,导体的电位与各导体上的电荷的关系为,三导体静电独立系统,以此类推（n+1)个多导体系统只有n个电位线性独立方程，即,写成矩阵形式为,（非独立方程）,注：,的值可以通过给定各导体电荷,计算各导体的电位 而得。,2)电容系数,电容系数，表示导体电位对导体电荷的贡献；,自有电容系数，表示导体 电位为1V，其它导体接地时，导体 上的感应电荷；,互有电容系数，表示导体 电位为1V，其它导体接地时，导体 上的感应电荷；,

10、通常，的值可以通过给定各导体的电位，测量各导体的电荷 而得。,3)部分电容,（矩阵形式）,式中：,C部分电容，它表明各导体间电压对各导体电荷的贡献；,（互有部分电容）；,（自有部分电容）。,部分电容性质:,(n+1)个导体静电独立系统中，共应有 个部分电容；,部分电容是否为零,取决于两导体之间有否电力线相连。？,所有部分电容都是正值，且仅与导体的形状、尺寸、相互位置及介质的 值有关；,解：1）先求电位系数，设导体球带电量为1C，球壳带电量为0，取无限远处为电势0点，由高斯定理，当ra时，,例3.1.8：同心球形电容器的内导体半径为a、外导体半径为b。求此系统的电位系数、电容系数和部分电容。,设

11、导体球带电量为0，球壳带电量为1C，由高斯定理，当bra时，电场为0，rb时，,2）电容系数 电容系数矩阵为电位系数矩阵的逆矩阵,3）部分电容,在多导体系统中，把其中任意两个导体作为电容器的两个电极，设在这两个电极间加上电压U，极板上所带电荷分别为，则比值 称为这两个导体间的等效电容。,（4）等效电容,如图所示，有三个部分电容,导线 1 和 2 间的等效电容为,导线 1 和大地间的等效电容为,导线 2 和大地间的等效电容为,如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射，充电过程中外加电源所作的总功将全部转换成电场能量，或者说电场能量就等于外加电源在此电场建立过程中所作的总功。,静电场能量来源于

12、建立电荷系统的过程中外源提供的能量,静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有 能量。,任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷分布到某个最终电荷分布的建立(或充电)过程。在此过程中，外加电源必须克服电荷之间的相互作用力而作功。,3.1.4 静电场的能量,在整个过程中，电场的储能为,2)电荷连续分布带电体系统的静电能量,对于电荷连续分布带电体，将其分割成一系列体积元，假定某一时刻带电体的电势为，此时外力将无限远处一电荷增量 移动到该处，则外力做总功（系统静电能量）为：,同理，对于面电荷和线电荷分布系统的电场能量分别为：,式（1）对于静电独立系统也同样适用：,如，电容器极板带电q，电压U

13、，则电容器储能为：,2 静电场能量密度,利用关系式,和,能量密度函数,两者都可作为静电场能量计算公式但意义不同,能否作为能量密度函数,由矢量恒等式,上式第一项,静电场能量既可以通过电荷的分布计算，也可以通过电场计算，但能量密度函数只能表示为电场的函数。,凡是静电场不为零的空间中都储存着静电能。静电能是以电场的形式存在于空间，而不是以电荷或电位的形式存在于空间中的。,例 半径为a 的球形空间内均匀分布有电荷体密度为的电荷，试求静电场能量。,解：方法一，利用 计算,根据高斯定理求得电场强度,故,方法二：利用 计算,先求出电位分布,故,已知带电体的电荷分布，原则上，根据库仑定律可以计算带电体电荷之间

14、的电场力。但对于电荷分布复杂的带电系统，根据库仑定律计算电场力往往是非常困难的，因此通常采用虚位移法来计算静电力。,虚位移法：假设第i个带电导体在电场力Fi的作用下发生位移dgi，则电场力做功dAFidgi，系统的静电能量改变为dWe。根据能量守恒定律，该系统的功能关系为,其中dWS是与各带电体相连接的外电源所提供的能量。,具体计算中，可假定各带电导体的电位不变，或假定各带电导体的电荷不变。,3.1.5 静电力,1.各带电导体的电位不变,此时，各带电导体应分别与外电压源连接，外电压源向系统提供的能量,系统所改变的静电能量,即,此时，所有带电体都不和外电源相连接，则 dWS0，因此,2.各带电导

15、体的电荷不变,式中的“”号表示电场力做功是靠减少系统的静电能量来实现的。,3.2 导电媒质中的恒定电场分析,由JE 可知，导体中若存在恒定电流，则必有维持该电流的电场，虽然导体中产生电场的电荷作定向运动，但导体中的电荷分布是一种不随时间变化的恒定分布，这种恒定分布电荷产生的电场称为恒定电场。,恒定电场与静电场重要区别：（1）恒定电场可以存在导体内部。（2）恒定电场中有电场能量的损耗,要维持导体中的恒定电流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。,3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件,1.基本方程,恒定电场的基本方程（电源外）为,微分形式：,积分形式：,恒定电场的基本场矢量是电流密度

16、和电场强度,线性各向同性导电媒质的本构关系,恒定电场（电源外）的电位函数,由,若媒质是线性均匀的，则,2.恒定电场的边界条件,场矢量的边界条件,即,即,导电媒质分界面上的电荷面密度,场矢量的折射关系,电位的边界条件,恒定电场同时存在于导体内部和外部，在导体表面上的电场 既有法向分量又有切向分量，电场并不垂直于导体表面，因 而导体表面不是等位面；,说明：,如21、且290，则10，即电场线近似垂直于与良导体表面。此时，良导体表面可近似地看作为 等位面；,若媒质1为理想介质，即10，则 J1=0，故J2n=0 且 E2n=0，即导体中 的电流和电场与分界面平行。,3.2.2 恒定电场与静电场的比拟

17、,如果两种场，在一定条件下，场方程有相同的形式，边界形状相同，边界条件等效，则其解也必有相同的形式，求解这两种场分布必然是同一个数学问题。只需求出一种场的解，就可以用对应的物理量作替换而得到另一种场的解。这种求解场的方法称为比拟法。,恒定电场与静电场的比拟,基本方程,静电场（区域）,本构关系,位函数,边界条件,恒定电场（电源外）,工程上常在电容器两极板之间，同轴电缆的芯线与外壳之间，填充不导电的材料作电绝缘。这些绝缘材料的电导率远远小于金属材料的电导率，但毕竟不为零，因而当在电极间加上电压U 时，必定会有微小的漏电流 J 存在。,漏电流与电压之比为漏电导，即,其倒数称为绝缘电阻，即,3.2.3

18、 漏电导,(1)假定两电极间的电流为I；计算两电极间的电流密度 矢量J；由J=E 得到 E;由，求出两导 体间的电位差；(5)求比值，即得出 所求电导。,计算电导的方法一：,计算电导的方法二：,(1)假定两电极间的电位差为U；(2)计算两电极间的电位分布；(3)由 得到E;(4)由 J=E 得到J;(5)由，求出两导体间 电流；(6)求比值，即得出所 求电导。,计算电导的方法三：,静电比拟法：,求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为a、b，长度为l，其间媒质的电导率为、介电常数为。,解：一 直接用恒定电场的计算方法,电导,绝缘电阻,设由内导体流向外导体的电流为I。,二 静电比拟法-求同轴电缆

19、的电容,电容,静电比拟,3.3.1 恒定磁场的基本方程和边界条件 恒定磁场的矢量磁位和标量磁位 电感 恒定磁场的能量 磁场力,3.3 恒定磁场分析,微分形式:,1.基本方程,2.边界条件,本构关系：,或,若分界面上不存在面电流，即JS0，则,积分形式:,或,3.3.1 恒定磁场的基本方程和边界条件,矢量磁位的定义,磁矢位的任意性 与电位一样，磁矢位也不是惟一确定的，它加上任意一个标量 的梯度以后，仍然表示同一个磁场，即,由,即恒定磁场可以用一个矢量函数的旋度来表示。,磁矢位的任意性是因为只规定了它的旋度，没有规定其散度造成的。为了得到确定的A，可以对A的散度加以限制，在恒定磁场中通常规定，并称

20、为库仑规范。,1.恒定磁场的矢量磁位,3.3.2 恒定磁场的矢量磁位和标量磁位,磁矢位的微分方程,在无源区：,矢量合成后，得,在直角坐标系下，可以展开为,令无限远处 的量值为零（参考磁矢位），类比电位函数微分方程和解的形式可得,磁矢位的表达式（由磁场表达式）,由此可得出,（可以证明满足）,磁矢位的边界条件,对于面电流和细导线电流回路，磁矢位分别为,面电流：,细线电流：,利用磁矢位计算磁通量：,解：先求长度为2L的直线电流的磁矢位。电流元 到点 的距离。则,例 求无限长线电流 I 的磁矢位，设电流沿+z方向流动。,与计算无限长线电荷的电位一样，令 可得到无限长线电流的磁矢位,2.恒定磁场的标量磁

21、位,一般情况下，恒定磁场只能引入磁矢位来描述，但在无传导电流（J0）的空间中，则有,即在无传导电流（J0）的空间中，可以引入一个标量位函数来描述磁场。,标量磁位的引入,磁标位的微分方程,将 代入,在线性、各向同性的均匀媒质中,标量磁位的边界条件（无源区）,和,1.磁通与磁链,3.3.3 电感（自学）,单匝线圈形成的回路的磁链定 义为穿过该回路的磁通量,多匝线圈形成的导线回路的磁 链定义为所有线圈的磁通总和,粗导线构成的回路，磁链分为 两部分：一部分是粗导线包围 的、磁力线不穿过导体的外磁通量o；另一部分是磁力线穿过 导体、只有粗导线的一部分包围的内磁通量i。,设回路C中的电流为I，所产生的磁场

22、与回路 C 交链的磁链为，则磁链 与回路 C 中的电流 I 有正比关系，其比值,称为回路 C 的自感系数，简称自感。,外自感,2.自感,内自感；,粗导体回路的自感：L=Li+Lo,自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围磁介质有关，与电流无关。,自感的特点：,解：先求内导体的内自感。设同轴线中的电流为I，由安培环路定理,穿过沿轴线单位长度的矩形面积元dS=d的磁通为,例 求同轴线单位长度的自感。设内导体半径为a，外导体厚度可忽略不计，其半径为b，空气填充。,得,则与di相应的磁链为,磁链中的匝数，可根据,因此内导体中总的内磁链为,故单位长度的内自感为,再求内、外导体间的外自感。,则,故单位长度的外

23、自感为,单位长度的总自感为,例 计算平行双线传输线单位长度的自感。设导线的半径为a，两导线的间距为D，且D a。导线及周围媒质的磁导率为0。,穿过两导线之间沿轴线方向为单位长度的面积的外磁链为,解 设两导线流过的电流为I。由于D a，故可近似地认为导线中的电流是均匀分布的。应用安培环路定理和叠加原理，可得到两导线之间的平面上任一点P 的磁感应强度为,于是得到平行双线传输线单位的长度的外自感,两根导线单位的长度的内自感为,故得到平行双线传输线单位的长度的自感为,对两个彼此邻近的闭合回路C1和回路C2，当回路C1中通过电流 I1时，不仅与回路C1交链的磁链与I1成正比，而且与回路C2交链的磁链21

24、也与I1成正比，其比例系数,称为回路C1 对回路C2 的互感系数，简称互感。,3.互感,同理，回路 C2 对回路 C1 的互感为,互感只与回路的几何形状、尺寸、两回路的相对位置以及周围 磁介质有关，而与电流无关。,满足互易关系，即M12=M21,当与回路交链的互感磁通与自感磁通具有相同的符号时，互 感系数M为正值；反之，则互感系数M为负值。,互感的特点：,4.纽曼公式,如图所示的两个回路C1和回路C2，回路C1中的电流 I1在回路C2上的任一点产生的矢量磁位,回路C1中的电流 I1产生的磁场与回路C2交链的磁链为,故得,同理,由图中可知,穿过三角形回路面积的磁通为,解 设长直导线中的电流为I，

25、根据安培环路定律，得到,例 如图所示，长直导线与三角形导体回路共面，求它们之间的互感。,因此,故长直导线与三角形导体回路的互感为,3.3.4 恒定磁场的能量（不讲）,1.磁场能量,在恒定磁场建立过程中，电源克服感应电动势作功所供给的能量，就全部转化成磁场能量。,电流回路在恒定磁场中受到磁场力的作用而运动，表明恒定 磁场具有能量。,磁场能量是在建立电流的过程中，由电源供给的。当电流从 零开始增加时，回路中的感应电动势要阻止电流的增加，因 而必须有外加电压克服回路中的感应电动势。,假定建立并维持恒定电流时，没有热损耗。,假定在恒定电流建立过程中，电流的变化足够缓慢，没有辐 射损耗。,设回路从零开始

26、充电，最终的电流为 I、交链的磁链为。在时刻t 的电流为i=I、磁链为=。(01),根据能量守恒定律，此功也就是电流为 I 的载流回路具有的磁场能量Wm，即,对从0 到 1 积分，即得到外电源所做的总功为,外加电压应为,所做的功,当增加为(+d)时，回路中的感应电动势:,对于多个载流回路，则有,对于体分布电流，则有,例如，两个电流回路C1和回路C2,2.磁场能量密度,从场的观点来看，磁场能量分布于磁场所在的整个空间。,磁场能量密度：,磁场的总能量：,对于线性、各向同性介质，则有,若电流分布在有限区域内，当闭合面S无限扩大时，则有,故,推证：,例 同轴电缆的内导体半径为a，外导体的内、外半径分别

27、为 b和c，如图所示。导体中通有电流 I，试求同轴电缆中单位长度储存的磁场能量与自感。,解：由安培环路定律，得,三个区域单位长度内的磁场能量分别为,单位长度内总的磁场能量为,单位长度的总自感,3.3.5 磁场力（不讲）,假定第i 个回路在磁场力的作用下产生一个虚位移dgi。此时，磁场力做功dAFidgi，系统的能量增加dWm。根据能量守恒定律，有,式中dWS是与各电流回路相连接的外电源提供的能量。,具体计算过程中，可假定各回路电流维持不变，或假定与各回路交链的磁通维持不变。,虚位移原理,1.各回路电流维持不变,若假定各回路中电流不改变，则回路中的磁链必定发生改变，因此两个回路都有感应电动势。此

28、时，外接电源必然要做功来克服感应电动势以保持各回路中电流不变。此时，电源所提供的能量,即,于是有,故得到,不变,系统增加的磁能,2.各回路的磁通不变,故得到,式中的“”号表示磁场力做功是靠减少系统的磁场能量来实现的。,若假定各回路的磁通不变，则各回路中的电流必定发生改变。由于各回路的磁通不变，回路中都没有感应电动势，故与回路相连接的电源不对回路输入能量，即 dWS0，因此,不变,3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理,3.4.1 边值问题的类型,数学物理方程是描述物理量随空间和时间的变化规律。对于某一特定的区域和时刻，方程的解取决于物理量的初始值与边界值，这些初始值和边界值分别称为初始条件和

29、边界条件，两者又统称为该方程的定解条件。静态场的场量与时间无关，因此其位函数所满足的泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界条件求解空间任一点的位函数就是静态场的边值问题。,狄利克雷问题：给定整个场域边界上的位函数值纽曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值混合边值问题：给定一部分边界上每一点的电位，同时给定另一部分边界上每一点的电位法向导数。,3.4.2 惟一性定理,惟一性定理的重要意义,对于任何数学物理方程需要研究解的存在、稳定及唯一性问题。解的存在是指在给定的定解条件下，方程是否有解。解的稳定性是指当定解条件发生微小变化时，所求得的解是否会发生很大的变化。解的唯一性是

30、指在给定的定解条件下所求得的解是否唯一。电磁场是客观存在的，因此位函数微分方程解的存在确信无疑。,唯一性定理为某些复杂电磁问题求解方法的建立提供了理论根据。镜像法就是唯一性定理的直接应用。,惟一性定理：在给定边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的。,当有电荷存在于导体或介质表面附近时，导体和介质表面会出现感应电荷或极化电荷，而感应电荷或极化电荷将影响场的分布。,非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代,1.问题的提出,几个实例接地导体板附近有一个点电荷，如图所示。,q,q,非均匀感应电荷,等效电荷,3.5 镜像法,接地导体球附近有一个点电荷，如图。,非均匀感应电荷产生

31、的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代,接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效电 荷为线电荷。,q,非均匀感应电荷,q,等效电荷,结论：所谓镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷 或线电荷的作用。,问题：这种等效电荷是否存在？这种等效是否合理？,2.镜像法的概念,在一定条件下，可以用一个或多个位于待求场域边界以外虚设的等效电荷来代替导体（介质）表面上感应（极化）电荷的作用，在保持原有边界上边界条件不变的情况下将边界移去，则根据唯一性定理，空间电场可由原来的电荷和所有等效电荷产生的电场叠加得到。这些等效电荷称为镜像电荷，这种求解方法称为镜像法。理论依据：唯一性定理是镜像法的理论

32、依据。,将求解有边界的边值问题转换为求解无边界问题适用于：静电场、静磁场、部分天线问题；导体边界、介质边界,应注意的问题：1.镜像电荷位于待求场域边界之外。2.将有边界的不均匀空间处理为无限大均匀空间，该均匀空间中媒质特性与待求场域中一致。3.实际电荷(或电流)和镜像电荷(或电流)共同作用保持原边界处的边界条件不变。,镜像法条件：原电荷为点电荷、线电荷等简单分布。导体（或介质）交界面形状较为简单。,1.点电荷对无限大接地导体平面的镜像,3.5.1 接地导体平面的镜像,待求场域：上半空间 边界：无限大导体平面 边界条件：,在空间的电位为点电荷q 和镜像电荷-q 所产生的电位叠加，即,电位满足边界

33、条件,导体平面边界上：,上半空间(z0）的电位函数,上半空间的电场强度：,导体表面感应电荷 导体表面上感应电荷总量,2.线电荷对无限大接地导体平面的镜像,将无限长的线电荷看作无数个点电荷的集合。根据点电荷对无限大接地导体平面的镜像原理，可得到线电荷对应的镜像电荷仍为平行于导体表面的线电荷，其电荷密度为,式中C为与电位参考点选择有关的常数。此例电位参考点选在平行双线连线的中点（坐标原点），此时有,待求场域 中的电位(球坐标系）上半空间的电场,3.点电荷对无限大介质平面的镜像,设想用镜像电荷代替界面上极化电荷的作用，并使镜像电荷和点电荷共同作用，满足界面上的边界条件。,当待求区域为介质1所在区域时

34、，在边界之外设一镜像电荷q，将整个空间视为介质1。,介质1中任一点的电位和电位移矢量分别为：,当待求区域为介质2所在区域时，设一镜像电荷q位于区域1中，且位置与 q 重合，同时将整个空间视为均匀介质2。于是区域2中任一点的电位和电位移矢量分别为：,在分界面(R=R=R)上，应满足电位和电位移矢量法向分量相等的边界条件（分别为R、R和 R与界面法线夹角)：,电介质中的电场分布：,4.点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像,如图所示，当n=2时，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点电荷q 位于(d1,d2)处。,显然，q1 对平面 2 以及q2 对平面 1 均不能满足边界条件。,对于平面1，

35、有镜像电荷q1=q，位于(d1,d2),对于平面2，有镜像电荷q2=q，位于(d1,d2),只有在(d1,d2)处再设置一镜像电荷q3=q，所有边界条件才能得到满足。,电位函数,q,d1,d2,1,2,R,R1,R2,R3,由两半无限大接地导体平面形成角形边界，当其夹角 为整数时，该角域中的点电荷将有有限个镜像电荷，该角域中的场可以用镜像法求解。,当n=3时：角域夹角为/n，n为整数时，有(2n1)个镜像电荷，它们与水平边界的夹角分别为 n不为整数时，镜像电荷将有无数个，镜像法就不再适用了；当角域夹角为钝角时，镜像法亦不适用。,角域外有5个镜像电荷，大小和位置如图所示。所有镜像电荷都正、负交替

36、地分布在同一个圆周上，该圆的圆心位于角域的顶点，半径为点电荷到顶点的距离。,例 一个点电荷q与无限大导体平面距离为d，如果把它移至无穷远处，需要做多少功？,解：移动电荷q时，外力需要克服电场力做功，而电荷q受的电场力来源于导体板上的感应电荷。可以先求电荷q 移至无穷远时电场力所做的功。,由镜像法，感应电荷的电场可以用像电荷qq 替代。当电荷q 移至x时，像电荷q应位于x，则有,3.5.2 导体球面的镜像,1.点电荷对接地导体球面的镜像,设一点电荷q位于半径 为a的接地导体球附近，与球心的距离为d，如图所示。待求场域为r a区域，边界条件为导体球面上电位为零。,设想在待求场域之外有一镜像电荷q，

37、位置如图所示。根据镜像法原理，q 和 q在球面上的电位为零。,导体球面上的总感应电荷为,球面上的感应电荷面密度为,根据电荷守恒定律，导体球上感应电荷代数和应为零，就必须在原有的镜像电荷之外再附加另一镜像电荷q=q,为了保证球面为等位面的条件，镜像电荷q应位于球心处。,a,a,2.点电荷对不接地导体球面的镜像,球外任一点电位:,球面上任一点电位：,例3.5.2：有一接地导体球壳，内外半径分别为a1和a2，在球壳内外各有一点电荷q1和q2，与球心距离分别为d1和d2，如图所示。求：球壳外、球壳中和球壳内的电位分布。,球壳外：边界为r=a2的导体球面，边界条件为根据球面镜像原理，镜像电荷 的位置和大

38、小分别为球壳外区域任一点电位为,解：,球壳内：边界为r=a1的导体球面，边界条件为根据球面镜像原理，镜像电荷 的位置和大小分别为球壳内区域任一点电位为,球壳中：球壳中为导体区域，导体为等位体，球壳中的电位为零。,用镜像法解题时，一定要注意待求区域及其边界条件，对边界以外的情况不予考虑。,3.6 分离变量法,将偏微分方程中含有n个自变量的待求函数表示成n个各自只含一个变量的函数的乘积，把偏微分方程分解成n个常微分方程，求出各常微分方程的通解后，把它们线性叠加起来，得到级数形式解，并利用给定的边界条件确定待定常数。,分离变量法是求解边值问题的一种经典方法,分离变量法的理论依据是惟一性定理,分离变量

39、法解题的基本思路：,本征方程的求解(1)当 时,本征函数,本征方程,本征值,式中的左边各项仅与一个变量有关。因此，将上式对变量 x 求导，第二项为零，求得第一项对 x 的导数为零，说明了第一项等于常数，同理第二项也为常数。,3.6.1 直角坐标系中分离变量法,1.直角坐标系中二维分离变量法,(2)当 时，设,或,由,本征方程为：,则：,常微分方程解的形式,(3)当 时，设,由,本征方程为：,或,则：,将三种解叠加组成拉普拉斯方程的通解,三种解的特点：第一种解中，X(x)和Y(y)为常数或线性函数，说明它们最多只有一个零点；第二种解中，X(x)为三角函数，有多个零点，Y(y)为双曲函数，最多只有

40、一个零点；第三种解中，X(x)为双曲函数，最多有一个零点，而Y(y)为三角函数，有多个零点。,解:选直角坐标系，电位函数满足二维拉普拉斯方程边界条件：,例：一接地金属槽如图所示，其侧壁和底壁电位均为零，顶盖与侧壁绝缘，其电位为U0，求槽内电位分布。,设，代入式(1)中得:,根据边界条件(2)与(3)可知，函数X(x)沿x方向有两个零点，因此X(x)应为三角函数形式，又因为X(0)=0，所以X(x)应选取正弦函数，即,由边界条件(3)得：,对应的Y(y)函数为双曲函数，且Y(0)=0，C1m=0,于是Y(y)的形式为,此时，电位可表示为由边界条件(5)知 其中：,上式两边同乘以，再对x从0到a进

41、行积分，即,满足边界条件的特解为：,直角坐标系中三维拉普拉斯方程分离变量法,根据本征值的不同取值，可以得到类似于二维情况的解的形式。,为了在给定边界条件下，选取适当的通解函数形式，表中给出了一些 的典型组合。和 是由边界条件确定的实数。,解:选直角坐标系，电位函数满足三维拉普拉斯方程及边界条件,例3.6.2:求图示长方形体积内的电位函数。,由边界条件可以判断，特征函数可表示为：,由边界条件可得：,电位函数可表示为：,由本征值关系可得：,则：,最后，由最后一个边界条件得：,上式两端同乘以，并对x,y积分，利用三角函数正交性可得：,于是所求的电位函数为：,3.6.2.圆柱坐标系中的分离变量法,令其

42、解为,代入方程，可得到,由此可将拉普拉斯方程分离为两个常微分方程,在圆柱坐标系中，若位函数与z无关，则拉普拉斯方程为,通常(,)随变量 的变化是以 2 为周期的周期函数。因此，分离常数 k 应为整数，即k n(n0,1,2,)。,当n=0时,考虑到以上各种情况，电位微分方程的解可取下列一般形式,当n2 0 时,例3.6.3：在一均匀电场中，放置一无限长的圆柱导体，圆柱的轴线与电场强度的方向垂直，如图所示，求放入圆柱导体后的电场分布。,解：应选用圆柱坐标系。令 z 轴为圆柱轴线，电场强度的方向与 x 轴一致，即,对应的,函数的形式为,当导体圆柱处于静电平衡时，圆柱内的电场强度为零，圆柱为等位体，

43、圆柱表面电场强度切向分量为零，且柱外的电位分布函数应与z 无关，即,放置圆柱导体之后，使均匀场发生畸变，但远离导体的地方，电场仍然保持均匀状态。,由 得相应的电位函数为：,未放置圆柱导体前，空间电场为均匀场,比较上两式可知，n=1，Bn=0,时，,于是：,已知：,故圆柱体外部空间的电位为,边界条件为圆柱导体表面为等位面，设该等位面电位为零，即,于是,3.6.3.球坐标系中的分离变量法,令,此时拉普拉斯方程变为,若静电场与变量 无关，则 m2=0。,可见，上式中第一项仅为 r 的函数，第二项与 r 无关。因此，第一项应为常数。,这是欧拉方程，其通解为,为了便于进一步求解，令,即，n为整数。,将上

44、述结果代入前式，得,和 根据给定的边界条件来确定。,勒让德方程,其通解为,设半径为a，介电常数为 的介质球放在无限大的真空中，受到其内均匀电场 E0 的作用，如图所示。试求介质球内的电场强度。,解 取球坐标系，令 E0 的方向与 z 轴一致，即。显然，此时场分布以 z 轴为旋转对称，因此与 无关。这样，球内外的电位分布函数可取为,则球内外电位分别为,球内外电位函数应该满足下列边界条件：,无限远处电场未受干扰，因此电位应为,球内电位与球外电位在球面上应该连续，即,根据边界上电位移法向分量的连续性，获知球面上内外电位的法向导数应满足,球心电位 应为有限值；,考虑到边界条件，系数 Dn 应为零，即,为了满足边界条件，除了A1 以外的系数 An 0，且，即,再考虑到边界条件，得,为了进一步满足边界条件，得,式中,由于上两式对于所有的 值均应满足，因此等式两边对应的各项系数应该相等。由此获知各系数分别为,代入前式，求得球内外电位分别为,值得注意的是球内的电场分布。已知，求得球内的电场为,可见，球内电场仍然为均匀电场，而且球内场强低于球外场强。球内外的电场线如图示。,如果在无限大的介电常数为 的均匀介质中存在球形气泡，那么当外加均匀电场时，气泡内的电场强度应为,那么，泡内的场强高于泡外的场强。,二阶常系数微分方程：,特征方程：,根的三种情况：,得常系数微分方程的通解：,附录:,返回,