电动力学高教第三.ppt

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1、第六章 狭义相对论,主要内容：,相对论的基本原理 洛伦兹变换,相对论的四维形式,相对论的时空理论,相对论力学,相对论的历史背景 实验基础,电动力学的相对论协变性,相对论：关于时空的理论狭义相对论：局限于惯性参考系的时空理论,本章难点：1、相对论的时空理论；2、相对论四维形式的理解；3、电动力学相对论协变性的导出过程。*,本章重点：1、经典时空理论和迈克尔逊实验；2、狭义相对论基本原理、洛仑兹变换；3、同时的相对性和尺缩、钟慢效应，洛仑兹速度变换；4、相对论四维形式和四维协变量；5、电动力学的相对论协变性。6、相对论力学的基本理论并解决实际问题。,6.1 历史背景及重要实验基础,引言,牛顿力学,

2、麦克斯韦电磁场理论,热力学与经典统计理论,19世纪后期，经典物理学的三大理论体系使经典物理学已趋于成熟。,两朵乌云：,迈克尔逊莫雷“以太漂移”实验,黑体辐射实验,近代物理不是对经典理论的简单否定,近代物理不是经典理论的补充，而是全新的理论,狭义相对论,量子力学,在两个惯性系中分析描述同一物理事件(event),一、伽利略变换,在t 时刻，P 点在两个惯性系的坐标分别为,在t 0 时刻，系重合，以速度V 沿x方向运动,空间距离：,两点(x1,y1,z1,t1)，(x2,y2,z2,t2)之间的时间间隔：,时间是绝对的,空间是绝对的,时空相互分离,由伽利略坐标变换式可得伽利略速度变换式：,绝对时空

3、观,二 力学相对性原理(Galilean Principle of Relativity),一切惯性系都是等价的，不存在特殊的惯性系。,在一切相对作匀速运动惯性系中牛顿力学定律具有相同形式；,三 电磁现象与经典力学的矛盾,1.按经典力学理论光速可变 且与光源运动相关,光沿 系Y轴传播的速度,光沿 系X轴传播的速度,麦克斯韦方程不正确,伽利略变换不适合高速运动,电磁运动不服从相对性原理,2.由麦克斯韦方程得出电磁波在真空中的传播速度在各个 方向均为,3.导致电磁现象与经典力学的矛盾的三种可能,4.“以太”概念及绝对参照系,（1）充满宇宙，透明而密度很小（电磁弥散空间，无孔不入）；（2）具有高弹性

4、。（3）它只在牛顿绝对时空中静止不动，即在特殊参照系中静止。,光借助“以太”媒质传播，在相对静止的“以太”媒质中，光的传播速度各向同性，均为C。,四 迈克耳逊 莫雷实验,假定相对性原理不成立，麦克斯韦方程的形式仅在以太中成立。因此在地球上可以设计实验来验证地球相对“以太”的速度。反过来可以通过实验寻找“以太”静止的绝对参考系。假定在“以太”中光速各向同性且恒等于C，而在其它参考系 光速各向异性。假定太阳与以太固连，地球相对于以太的速度就应当是地球绕太阳的运动速度。,对光线（1）：,对光线（2）：,设,光程差,光程差与条纹移动关系,仪器转动,1881年迈克耳逊第一次实验，预期,1887年迈克耳逊

5、和莫雷改进实验，预期,实验结果,迈克耳逊莫雷实验的零结果，说明了“以太”本身不存在。,该实验被认为是狭义相对论的主要实验支柱之一。,1907年迈克耳逊因创制精密光学仪器而获得诺贝尔物理学奖,五 结论,.以太不存在，光的传播不需任何媒质，可在真空中传播，以太不能作绝对参照系。,.地球上各方向光速相同，与地球运动状态无关。,其他实验：横向多普勒效应实验，证实相对论的运动时钟延缓效应 高速运动粒子寿命的测定，证实运动时钟延缓效应 携带原子钟环球飞行实验，证实狭义与广义相对论的运动时钟延缓总效应 相对论质能关系的实验检验,另外，用星光作光源的实验、双星实验、及用高速运动粒子作光源的实验等都证明光速不依

6、赖于观察者所在的参考系，且与光源的运动无关。,物理定律在所有的惯性系中都具有相同形式；所有惯性系都等价，不存在特殊的、绝对的惯性系。,6.2 狭义相对论的基本原理 洛仑兹变换,1 相对性原理（relativity principle）,真空中光速相对任何惯性系沿任何一个方向大小恒为C，且与光源运动速度无关。,2 光速不变原理(principle of constancy of light velocity),一 基本原理（两个公理）,它否定了伽利略变换，即否定了经典时空观。光速大小与参照系无关，但方向在不同参照系中可以不同。光速数值不变，则不同参照系中时间、空间要发生关联。,光速不变将导致同时

7、的相对性,按经典理论，在一个参考系中同时发生的两件事，在另一系中仍为同时发生。但按相对论理论，同时具有相对性，即在一个参考系中同时发生的两件事，在另一系中可能不同时发生。,二 间隔不变性,1、事件：在无限小空间，无限小时间间隔内发生的物质运动过程，称为事件。或说在某一时刻，某一空间上发生的某一事件称为事件，一般用P来表示。在某一个参考系中可以表示为P(x,y,z,t)（直角坐标系）。,2、经典理论的空间间隔（距离）与时间间隔,惯性系要求从一惯性系到另一惯性系的时空坐标变换必须是线性的光速不变性要求间隔具有不变性,经典时空理论集中反映在伽利略变换上，因而必须根据相对论基本原理导出时空坐标变换关系

8、，从而建立新的时空理论,定义时空间隔（间隔）：,相对论时空理论的一个重要基本概念，它将时间与空间统一起来，有深刻的物理含义。,3、相对论的时空间隔,考察光在真空中传播过程的发射和接收两事件P1和P2,令,令,光信号联系的两事件S2为不变量,设系两件事件间隔为S2，系中为S2，,例：在系静止光源S发光，经M反射后到S接收，设相对沿x轴正向运动，计算时间间隔与间隔。,线性变换要求 S2=A S2,空间均匀性要求 S2=A S2,即 S2=S2,间隔不变性,4、间隔不变性,三（特殊）洛伦兹变换(Lorentz transformation),变换必须是线性的,求事件P在不同惯性系的坐标之间的变换关系

9、。,系相对于系以速度V沿x轴的正方向运动，设两系在t=0时重合。,(1)在Y、Z 方向没有相对运动所以 y，z不变,（2）考虑间隔不变性,由、得,代入得,（3）考虑系中原点O,在系中坐标为vt,由、解出,（4）考虑到x轴与x轴正向相同，t与t正向一致,四 关于洛伦兹变换的分析与讨论,反映空间、时间相互影响，相互制约。-相对论时空观,（1）它为两个不同惯性系中的时空坐标的变换关系，是相对论 时空观的具体数学表达式。,（3）光速是各种物体运动的一个极限速度,虚数（洛伦兹变换失去意义）,结论：任何物体的运动都不会超过光速（相对于某一参考系）,结论：在低速情况下，相对论时空观可由绝对时空观替代,P19

10、8 例2,3 相对论时空理论,一 相对论时空结构,两事件用光信号联系 两事件可用低于光速的信号联系 两事件不能用信号联系,光锥-间隔分类的几何意义,设第一个事件时空坐标(0,0,0,0),第二个事件任意(x,y,z,t)则,为空间间隔.,这种划分是绝对的,与参照系无关。,二 因果律和相互作用的最大传播速度,有因果关系的事件之间可用光信号和小于光速的信号联系，发生于光锥之内。事件先后顺序在各个参考系都不会改变。这是因果律成立的必要条件。,1、相对论时空理论不破坏因果律,2、相互作用的最大传播速度,三 同时的相对性,1、同时同地事件,结论：同时同地两事件，在任何惯性系中都是同时同地事件,2、同地不

11、时同事件,结论：同地不同时两事件，在其他惯性系中一般为不同地不 同时事件，但时间顺序不会颠倒，即因果律不变。,3、同时不同地事件(类空事件),结论：同时不同地两事件，在其他惯性系中一般为不同时、不 同地事件。,同时的相对性：不同的惯性系时间不再统一，否定了绝对时空,结论：有因果关系的事情在任何惯性系都不会改变。,例：在系中观测上海和北京在同一时刻出生了两个小孩，在系（如坐飞船，v 接近光速）观测结果如何？又:一个孩子出生的过程在不同惯性系的观测结果如何？,飞船从上海北京,北京的小孩先出生。,飞船从北京上海,北京的小孩后出生。,讨论孩子出生的过程,出生开始为P1，结束为P2，,出生过程在任何惯性

12、系都不会颠倒，但过程的时间间隔不同。,(1)从飞船上观测,四 洛伦兹变换下的速度变换公式,伽利略速度变换：,分析：,1.vc时洛仑兹速度变换退化为伽利略变换,2.速度变换满足光速不变原理,无论是在真空中还是介质中，无论用什么方法，都不可能使一个信号以大于光速的速度传递。,五 运动长度收缩,根据经典理论：,根据相对论：,在同一时刻测量长度,结论:运动尺子长度沿运 动方向收缩。,若尺子相对 系静止，,例如：一汽车,考虑到尾端的推进，应为,六 运动时钟延缓,根据经典理论：,根据相对论理论：,固有时（原时）,相对观察者运动的钟比静止的钟走得慢，因而该效应称为运动时钟减慢效应。,讨论：,经典力学绝对时间

13、概念是狭义相对论的时间概念在低速情况下的近似，若,（退化）,爱因斯坦延缓 运动参考系中的时间节奏变缓了。在其 中，一切物理过程、化学过程、乃至观测者自己的生命节奏都变缓。,对于狭义相对论爱因斯坦延缓是相对的。,解：若按经典理论计算,实际实验室测量的结果约为,按相对论计算,粒子寿命内，系运动距离,孪生子效应（孪生子佯谬）简介,亮亮,究竟谁年轻？,1 具有加速度，超出了狭义相对论的理论范围。,相对于惯性系转速越大的钟走得越慢与孪生子效应一致。,2 1971年的铯原子钟实验。比静止在地面上的钟慢59 纳秒。,解：先求尺的固有长度，由尺缩,（3）求 测到的尺长，由尺长收缩,例4：在 系中测得一直尺长度

14、为，运动速度为，方向沿 正向。而 相对 以v沿x正向运动。问在 系中测到的尺长是多少？,（2）再求尺相对 的速度，尺相对 系的速度为。利用反变换：,例5：设某物体内部由两事件P1和P2 发生。在系的观察者测到该物体以速度u0 沿x正向运动，P1、P2 发生的时间间隔为t。今有系相对以速度v沿x反方向运动，则P1、P2 两事件的固有时间间隔为多少？在系测得的P1、P2两事件的时间间隔为多少？,答案,时空本质上是四维的：3维空间+1维时间。,洛伦兹变换是一种线性变换,它体现了四维时空的变换关系。但是这种变换的特征是什么？物理量在坐标变换下怎样变换？描写物理规律的方程在变换下是否不变？,一、关于正交

15、变换,1、二维平面上坐标系的转动变换,平面上P点的转动变换满足,6.4 相对论理论的四维形式,2、三维空间坐标转动变换,不变量,爱因斯坦求和约定:重复指标求和,i为自由指标j为取和指标,即：,定义,为正交条件,反变换式：,或,写成矩阵：,正交条件写成矩阵,二、物理量按空间变换性质分类,标量：空间转动变换中不变的量称为标量。,例如：质量，电荷，空间距离。,例如：应力张量，电四极矩张量等。,例如：速度、加速度、力、电场强度、算符等。,一个自由指标为矢量,无自由指标为标量,例一：两矢量点积,标量：没有自由指标，又称为零阶张量；矢量：一个自由指标，又称为一阶张量；张量：两个自由指标，又称为二阶张量。,

16、使用自由指标判断物理量,三、洛伦兹变换的四维形式,1、四维空间的转动变换（三维情况的推广）,不变量：,变换表示式：,正交条件为：,即：,2、洛伦兹变换为复四维空间的转动变换,洛伦兹变换下间隔为不变量，即：,令：,矩阵形式,固有时间隔d为不变量的说明：,四、四维协变量,时间间隔dt 在洛仑兹变换下是一个可变量,洛伦兹标量：洛伦兹变换下保持不变的物理量,例如：电荷Q，真空光速，间隔，固有长度，固有时间隔，静止质量m0 等,1、四维协变量,在洛伦兹变换下具有确定变换性质的物理量。即在变换下方程不变，方程中同一类物理量按相同形式变换，这样的物理量统称为四维协变量。,具有四个分量，在洛伦兹变换下与坐标变

17、换形式相同。,四维矢量,用固有时度量四维空间的位移可得四维速度,四维速度,它不满足洛仑兹变换，也不是四维速度的前三个分量。,变换关系,四维空间位移：,四维速度与三维速度间的关系：,令某物体在系运动的三维速度为u，系上度量时间为dt，固有时为d，有,三维速度：,四维速度：,四维波矢量,平面电磁波波矢量,称为四维波矢量,引入,圆频率 在洛伦兹变换下是可变量。相位,2.光行差,（vc）,恒星光行差现象（1728年观测到）：,假定太阳参考系与系固连，地球与系固连，地球相对于太阳参考系的速度为v，系观察到某恒星发出的光线倾角为，在地球上观察该恒星时倾角为,（1）光波的经典多普勒效应,3、相对论多普勒效应

18、：,光源靠近观察者,光源远离观察者,光源垂直观察者,（2）光波的相对论多普勒效应,光源靠近观察者,光源远离观察者,光源垂直于观察者运动：,横向多普勒效应。它已被实验证实，是狭义相对论正确的有力证据之一。,在系中静止观察者观测,红移,协变性：在参考系变换下物理方程的形式保持不变的性质 洛伦兹协变性：在洛伦兹变换下物理规律的数学方程保持 不变的性质。如果方程的每一项都是同类协变量，在参考系变换下每一项都按相同方式变换，从而保持方程的形式不变。物理规律的协变性是相对性原理的要求。,5、物理规律的协变性,设带电体与 固连，运动速度为，,一、四维电流密度矢量,电荷是洛伦兹标量，即，但电荷密度与体积有关，

19、必然是一个相对量（设静止密度为，它是一不变量）,系观察者测量带电体密度分布为，体积为dV，,由尺缩：,1、电荷密度的相对性,6.5 电动力学的相对论不变性,2、四维电流密度矢量,引入,则可引入四维电流密度,具体形式,3、电荷守恒定律的四维形式,为洛伦兹标量，因此在洛伦兹变换下形式不变。,二、四维势矢量与达朗伯方程的四维形式,1、达朗伯算符,洛伦兹规范下达朗贝尔方程形式为：,洛伦兹标量算符,达朗伯方程可写为,由此可见洛伦兹规范的重要性,引入算符：,2、四维势矢量,在洛伦兹变换下它的具体形式为,构成四维矢量，为洛仑兹标量，显然 也构成四维矢量,构成四维势矢量,满足变换关系,3、达朗伯方程四维形式,

20、4、洛伦兹规范条件的四维形式：,这里，为不变量，为四维矢量，按同一方式变换，因而方程具有协变性。,三、电磁场张量与麦克斯韦方程组的四维形式,由四维势引入电磁场张量。,但是可以构成四维张量。,将 写成分量形式,可得到,定义四维电磁场张量：,而 的分量形式为,各分量为,同样,写成矩阵形式,2、麦克斯韦方程组的四维形式（仅讨论真空情况）,方程 的分量形式,将 合写得,时对应,时对应 的三个分量,取其他值时，得到恒等式或与以上方程相同,利用四维张量变换关系,3.电磁场的变换关系,可得到不同惯性系之间电磁场的变换关系,下面证明,（a）,（b）,将电磁场分解为平行和垂直于 方向的分量，则：,同理,证：,4

21、、电磁场的两个不变量,证明从略,例：求以匀速 运动的点电荷Q的电磁场,解：假定点电荷Q静止于 系原点,系沿x正方向以速度v 相对系运动。,系观测为静电场：,系的电磁场可利用变换关系求出,由运动尺度收缩,由此可知观测运动电荷产生的电场，在与 垂直方向上分布密度大，在与 平行方向上分布密度趋于0，不具有球对称。,6.6 相对论力学,经典力学方程在伽利略变换下形式不变（具有伽利略协变性），一般仅适用于vc的情况。当趋近光速时，必须用相对论时空理论来处理问题。经典力学的方程一般不满足洛伦兹变换，必须在相对论时空理论下加以修正。本节主要讨论相对论条件下的力学方程。,一、能量动量四维矢量（简称为四维动量）

22、,经典力学中的牛顿第二定律：,2.用四维速度定义四维动量,已知四维速度矢量,假定物体相对参考系静止时的质量为m0，它是一个洛伦兹标量（不变量）。,定义四维动量：,四维动量前三分量与经典动量形式上一致,3、引入运动质量,设,物体的能量,四维动量又称为能量动量四维矢量（相对论协变量）,4、静止能量与动能,时，物体具有的能量为,称为质能关系,称为静止能量,5、能量、动量和质量间的关系式,设,二、关于质能关系的讨论,反映了作为惯性量度的质量与作为运动量度的能量之间的关系。质量与能量具有确定的对应关系。,1、质能关系的意义,在物质反应（如核反应）或转变过程中，物质存在与运动形式均发生变化，但不是说物质转

23、化为能量，物质并没有消失，而是从一种形式转化为另一种形式。在转化过程中能量守恒。在相对论中能量、动量守恒仍是最基本的规律。,揭示静止物体（如粒子）内部仍然存在运动。一定质量的粒子具有一定的内部运动能量。,质能关系对单个粒子适用，对由一组粒子构成的复合粒子也适用。,2、结合能与质量亏损,定义结合能,定义质量亏损,两者关系：,在原子核和基本粒子等物理实验中被证实，是原子能利用的主要理论依据。在相对论力学中能量和动量守恒仍是最基本的定律。在高能物理或原子核物理等课程中将有详细介绍。,三、相对论力学方程,四维力矢量,定义,自动分裂（体系不稳定），放出能量，衰变才能发生,自动结合（体系稳定），越大，复合

24、粒子越稳固,前三个分量,而,变换关系,2相对论中的三维力矢量,与经典形式上一致,（1）若定义加速度,在不同的惯性系大小方向均不同，不满足洛伦兹变换,四维力矢量定义功率方程,同样可证明，经典力学的方程与相对论力学方程均在形式上一致。但其中力、能量、动量、质量、时间等概念均与经典不同。即使在vc时，,3、功率方程,因为 系中粒子静止，它受力,四、洛伦兹力公式,在前几章中讨论洛伦兹力公式是一经验公式，与实验相符，在相对论里可用相对论力学及电磁场四维矢量导出。,即：,用电磁场张量和四维速度构成一个四维矢量,可以验证空间分量为,带电粒子在电磁场中的运动方程,力密度公式,空间分量,洛伦兹力密度公式,第四分量,与电磁场对电荷系统做功的功率密度有关,举例：,解：初始动能为零，总能,末态势能为零，总能,根据能量守恒：,当,当,从这里可以看出vc总成立，当,结论：不可能通过加速使物体运动速度大于光速。,解,