波动方程和能量1详解.ppt
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1、1,第三节 振动合成,波动方程和波的能量,7-6 波动方程和波的能量,无色散介质 一维波动方程,综量是,的函数,解的形式:,当然包括,平面简谐波,介质中的波速,由,知,(2)不仅适用于机械波,也广泛地适用于电磁波、热传导、化学中的扩散等过程;,(1)上式是一切平面波所满足的微分方程(正、反传播);,(3)若物理量是在三维空间中以波的形式传播,波动方程,说明,弦上横波,a.拉紧的绳子或弦线中横波的波速为,张力,线密度,细棒中纵波,杨氏模量:单位形变时单位面积受的力。,b.均匀细棒中,纵波的波速为:,c.固体媒质中传播的横波速率由下式给出:,d.液体和气体只能传播纵波,其波速由下式给出:,e.稀薄
2、大气中的纵波波速为,(1)波的周期和频率与媒质的性质无关;一般情况下,与波源振动的周期和频率相同。,(2)波速实质上是相位传播的速度,故称为相速度;其大小主要决定于媒质的性质,与波的频率无关。,说明,f.电磁波传播速率,真空中,电磁波场分量,7,波动方程是线性的方程,从理论上保证了波动满足叠加原理;,如果y1和y2都是波动方程的解,将以上两式相加,得,是波动方程的解,是两列波的叠加。所以说,线性的波动方程从理论上保证了波动满足叠加原理,8,在比例极限以内,应力与应变满足线性关系。在比例极限之内的应变必定是幅度很小的形变,这就是说,满足上述波动方程的波,一定是振幅很小的波,当这样的波传来时,所引
3、起的形变是很小的。,9,二、波的能量,波源的能量随着波传播到波所到达的各处。,以平面简谐纵波为例,如图。取棒元x,质量为m=Sx,其动能,波函数为,振动速度,棒元的动能,波传到时棒元的应变,10,式中k是把棒看作弹簧时棒的劲度系数。,势能为,根据胡克定律,11,由波函数和波速 可得,棒元的总机械能,这与振动的情形是不同的,对于振动,系统的总机械能是恒定的。,12,讨论:,1.参与波动的介质体元的动能和势能以相同的规律在随时间变化:,当某介质体元通过平衡位置时,形变和速度都达到最大,故势能和动能也都出现最大值;当达到最大位移时,形变和速度都为零,故势能和动能也都出现零值。即:,平衡位置时的总能量
4、:,最大位置时的总能量:,13,2.还有一点需要指出的,这就是势能属于谁的问题。在波动中介质体元的势能是由介质体元自身的形变引起的,所以这份势能就应该属于形变体元自身所具有。形变体元实际上已经包含了相互作用着的各个物体,或者说,形变体元自身就是一个由相互作用的物体所组成的系统.,比较波动过程、振动过程能量变化规律的异同,波动过程,振动过程,波动过程,某质元具有的能量w是时间t的周期函数,振动过程,质元总能量不变,传播能量,不传播能量,和 同相变化,最大时、为0,最大时、为0,15,三、波的能量密度和平均能量密度,1.波的能量密度,介质中单位体积的波动能量,称为波的能量密度。,16,波的能量密度
5、在一个周期内的平均值,称为平均能量密度。,上式表示,波的平均能量密度与振幅的平方、频率的平方和介质密度的乘积成正比。,2.波的平均能量密度,17,四、波的能流和能流密度(energy flux density),单位时间内通过介质中某面积的能量,称为通过该面积的能流。,1.能流,2.平均能流,在一个周期内的平均值,称为通过该面的平均能流。,18,单位时间内通过垂直于波线的单位面积的平均能流,称为能流密度,也称波强度。,3.能流密度,五、波的吸收,波在介质中传播时,实际是衰减的,传播的越远,振幅越小,减小的能量转变为介质的热能。,设振幅的减小量为dA,则:,19,dx为传播的距离,A为dx处的振
6、幅,为衰减系数,由该式知,振幅是指数性衰减的。,由于波的强度与振幅的平方成正比,所以平面波波强度的衰减规律为:,平面波和球面波的振幅,1.平面波,(不吸收能量),由,得,这表明平面波在媒质不吸收的情况下,振幅不变。,2.球面波,由,令,得,球面波的振幅在媒质不吸收的情况下,随 r 增大而减小。,则球面简谐波的波函数为,(A0为离原点(波源)单位距离处波的振幅),22,例 有一点波源O发出球面波,设O点的振动方程为,半径为10m的波面上,某点a 的振动方程为:,(1)求此波的波长;,(2)求半径为25m的球形波面上任一点b 的振幅和振动方程。,解:(1)球面波的波动方程为,又,(2),25,小
7、结,一.平面简谐波的波函数,注意:1.如波线与x轴的方向一致,x 前取负号,否则取正号;,2.坐标原点的选取与波源的位置无关;,3.当x 一定时,波函数表示了距原点为x 处的质点在不同时刻的位移。即x 处质点的振动方程;,4.当t 一定时,波函数表示了给定时刻Ox轴上各质点的位移分布情况;,5.当t 和x都变化时,波函数表示了所有质点的位移随时间变化的整体情况,26,二.平面波的波动方程,三、波的能量,当某介质体元通过平衡位置时,形变和速度都达到最大,故势能和动能也都出现最大值;当达到最大位移时,形变和速度都为零,故势能和动能也都出现零值。,27,四、波的能量密度和平均能量密度,1.波的能量密
8、度,介质中单位体积的波动能量,称为波的能量密度。,2.波的平均能量密度,28,五、波的能流和能流密度,1.能流,2.平均能流,3.能流密度,单位时间内通过垂直于波线的单位面积的平均能流,称为能流密度,也称波强度。,29,Wave interference,波 的 干 涉,30,一、波的干涉现象和规律,1.波的叠加原理,两列或两列以上的波可以互不影响地同时通过某一区域;在相遇区域内共同在某质点引起的振动,是各列波单独在该质点所引起的振动的合成。,31,2.惠更斯原理,媒质中波动传到的各点,都可以看作能够发射子波的新波源,在这以后的任意时刻,这些子波的包络面就是该时刻的波面。,32,能够产生干涉现
9、象的波,称为相干波。,激发相干波的波源,称为相干波源。,3.干涉现象,波的干涉是在特定条件下波叠加所产生的现象,在两列波叠加的区域内,出现有些地方始终加强的,另一些地方始终减弱或完全抵消的现象干涉现象,33,(1)频率相同:若两列波的频率不同,则两者的相位差随时间变化,合振动的振幅也随时间变化,因而不可能观察到稳定的结果;,4.相干条件,A 随时间变化,(2)振动方向相同:若两列波的振动方向不同,则它们对于同一质点引起的振动不在一条直线上,合成的振动一般为平面振动,不产生加强或减弱;,如:两相互垂直振动的波,34,(3)相位差恒定:合振动的振幅要稳定,除了要求两列波的频率相同以外,还必须要求初
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