波函数与薜定谔方程、薜定谔方程应用举例.ppt

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1、第二十六章概率波,在量子力学中，描述微观粒子运动状态的基本物理量是波函数，反映微观粒子运动的基本方程是薜定谔方程。,19241926年间，经德布罗意、薜定谔、海森伯、玻恩、狄拉克等人的工作，建立了反映微观粒子属性和运动规律的量子力学。,一、波函数,自由粒子受力为零，动量p和能量E 保持不变。,为常量,结论：自由粒子波为单色平面波：,1.自由粒子的波函数,26-1 概率波,单色波,不变,沿恒定方向传播平面波,波函数一般要用复数形式表示：,最亮处,最暗处,亮暗间,电子到达概率最大,电子到达概率最小,概率介于二者间,波强度最大，,波强度最小，,波强介于二者之间,粒子的观点,波动的观点,二、波函数的统

2、计解释,以电子的单缝衍射来说明,大,小,波函数 本身没有直接的物理意义，也不能从实验中直接测出。只是|2才有明确的物理意义。,|2意义？,某时刻，粒子在空间某点出现的概率正比于该时刻该点处波函数的模的平方。,粒子在空间某体积元 dV 内出现的概率,波函数的统计意义,说明微观粒子的运动遵循的是统计规律，而不是经典力学的决定性规律。,概率密度,2.波函数的归一化条件,波函数的归一化条件,粒子在整个空间出现是必然事件，即任一时刻粒子在整个空间出现的概率为1,3.波函数的标准化条件,a.波函数为有限值,b.波函数是连续的,c.波函数是单值的,由波函数的统计意义所限制,例：限制在一维空间运动的粒子，其状

3、态波函数可表示为：,其中A 为待定常数；E、a为确定常数。,求：1.归一化的波函数；2.概率密度。,解：由归一化条件得,即：,归一化的波函数：,概率密度：,粒子不出现在区间(-a/2,a/2)以外。,粒子在x=0处出现的概率最大。,物质波的波函数 就是薛定谔方程的解。,薛定谔方程描述微观粒子运动规律的方程。也就是德布罗意波函数所满足的运动微分方程。,定态薛定谔方程,具有确定能量E和动量p 的粒子在势场中运动时波函数 所满足的运动微分方程。,在一维空间，其波函数(平面波),26-3 薛定谔方程,通常也称其为定态波函数。,将(x)对x 求二阶导数得,与时间无关,在非相对论近似下(v c),称振幅函

4、数,当粒子在势场中运动，设势能为U(x)，则,一维定态薛定谔方程,将上式推广到通常的三维运动情况得,定态薛定谔方程,则,引入拉普拉斯算符,对某一势场U，一般只有某些特定的E值才能使方程有解 能量量子化条件。,使方程有解的E值称为本征值（本征能量），对应的波函数(x)称为本征函数。,上述定态薛定谔方程只适用于非相对论情形(v c)。,说明,一、一维无限深势阱,该势能分布曲线称为一维无限深势阱。,设粒子所处的势场为,是一种理想化的模型。,在 x a 和 x 0 处粒子出现的概率为零，所以波函数必须满足如下边界条件：,26-4 定态薛定谔方程的应用举例,在势阱内，因,所以,令：,类似于简谐振子的方程

5、，其通解,=0,由边界条件确定待定常数:,n不能取0，否则只有零解，无意义。,束缚在势阱中的粒子，其能量是量子化的。,En能量E 的本征值，或称本征能量。,再由归一化条件确定A：,自然地得出能量量子化条件。,势阱中粒子的波函数为,n-对应于量子数n的本征态。,概率密度,1.粒子的能量,最小值,讨论,各能量本征值：,基态能,基态能（零点能）不为零，这是与经典理论的一个重大区别。,n1:激发态能,量子化,在两端出现的概率为零。,概率密度峰值的个数随n 的增大而增多，峰值间距随之缩小。,n，峰值个数也为无穷，峰值间距趋于零，概率密度几乎各处均等，过渡到经典理论的结果。,2.粒子在势阱中的概率分布,概

6、率分布不均匀，具有量子化效应。,即：当n时，En与En本身之比可以忽略，说明此时量子效应已不明显，能级分布可视为连续。,3.相邻两能级间的相对间隔,经典理论是量子理论在n时的极限情况。,P.22,4.相邻能级间隔与势阱宽度的关系,例如电子的运动：,当运动限制在原子尺度范围内(a=0.1nm)，则,能量量子化效应明显。,而当在a=10-2 m(宏观尺度)的势阱中运动，则,能量可视为连续，量子效应消失。,P.22,可见当粒子运动范围足够大时，量子效应减弱。,由,驻波条件,势阱宽度是粒子德布罗意波的半波长的整数倍-物质波在势阱中形成驻波。,5.势阱中的粒子波为驻波,例：在一维无限深势阱中运动的粒子的

7、波函数为,求当粒子处于基态时，在0 a/3区间发现粒子的概率.,解：,概率密度,由题意知：n=1，对应波函数为,粒子出现在dx区间的概率,可见粒子在出现在前1/3区间的概率不到1/5.,粒子出现在0 a/3 区间的概率,二、势垒贯穿（隧道效应）,在经典力学中，若粒子总能E U0，则粒子不可能越过II区，它只能在 I 区中运动.,该问题可由量子力学，通过解定态薛定谔方程来给出答案。,设势能曲线,这种势能曲线称为“势垒”。,但实验证实粒子可以到达III区。,利用薛定谔方程，运算后得出三个区间满足的微分方程分别为,据此可得出各区域的解：,分析：粒子从 I 区入射，故 I 区中同时存在入射波和反射波；

8、粒子穿过势垒进入III 区，故在III区只有透射波；粒子在x=0 处的概率应大于在x=a处的概率。,三个区域均存在不为零的波函数，说明粒子可能穿过势垒II而出现在III区。,在 EU0 的情况粒子也可以越过势垒而到达右边的区域。这在经典物理中是难以理解的。只能假想为在能量高坡中挖空了一条隧道，故称“隧道效应”.,定义粒子穿过势垒的贯穿系数：,当、势垒的宽度为50nm 以上时，贯穿系数会小于10-6以上，隧道效应已无实际意义。从量子化概念过渡到经典问题。,产生隧道效应的限制,隧道效应,隧道效应为大量实验所证实。半导体中的各种隧道器件就是以此理论为基础制成的。,利用扫描隧道显微镜（STM）已能看清

9、大个的原子。使人类能够实时地观测单个原子的排列以及表面电子的行为。扫描隧道显微镜在表面科学、材料科学和生命科学中有着广泛的意义和前景。宾尼和罗雷尔因制造这种显微镜而获得诺贝尔奖。,后来利用光学中的受抑全反射理论，又研制成功光子扫描隧道显微镜（PSTM）。它可用于不导电样品的观察等。,扫描隧道显微镜,扫描隧道显微镜（STM）是20世纪80年代初期出现的一种新型表面分析工具。其基本原理是基于量子力学的隧道效应和三维扫描。它是用一个极细的尖针（针尖头部为单个原子）去接近样品表面，当针尖和样品表面靠得很近，小于1纳米时，针尖头部的原子和样品表面原子的电子云发生重叠。此时若在针尖和样品之间加一个偏压，电

10、子便会穿过针尖和样品之间的势垒而形成纳安级（10-9A）的隧道电流。通过控制针尖与样品表面间距的恒定，并使针尖沿表面进行精确的三维移动，就可将表面形貌和表面电子态等有关表面信息记录下来。,扫描隧道显微镜具有很高的空间分辨率，横向可达0.l纳米，纵向可优于0.01纳米。它主要用来描绘表面三维的原子结构图，在纳米尺度上研究物质的特性。利用扫描隧道显微镜还可以实现对表面的纳米加工，如直接操纵原子或分子，完成对表面的剥蚀、修饰以及直接书写等。目前扫描隧道显微镜取得了一系列新进展，出现了原子力显微镜（AFM）。弹道电子发射显微镜（BEEM）、光子扫描隧道显微镜（PSTM），以及扫描近场光学显微镜（SNO

11、M）等。,隧道电流I对针尖与样品表面之间的距离s极为敏感，如果 s 减小0.1nm，隧道电流就会增加一个数量级。,s以10-1nm为单位,金属表面与针尖的电子云图,探针,样品表面,P.36,STM工作原理图,恒高度工作模式,恒电流工作模式,硅表面77重构图,硅表面硅原子的排列,硅表面硅原子的排列,吸附在铂单晶表面上的碘原子33阵列STM图象,石墨样品表面的假彩色图像,被移动的单个氙原子图,移走硅原子而构成的文字,1991年IBM公司的“拼字”科研小组创造出了“分子绘画”艺术。这是他们利用STM把一氧化碳分子竖立在铂表面上、分子间距约0.5纳米的“分子人”，这个“分子人”从头到脚只有5纳米，堪称世界上最小的人形图案。,这是用扫描隧道显微镜搬动48个Fe原子到Cu表面上构成的量子围栏,