概率论与数理统计第3章.ppt

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1、1,随机变量按取值的不同可分为,离散型随机变量取值割裂的；连续型随机变量取值连续变化的。,3.1 一维连续型随机变量及其概率分布,一、分布函数概念,定义：设 是一个r.v.，x是任意实数，令,称F(x)为r.v.的分布函数。,2,性质：,非降性：对ab，F(a)F(b)；,规范性：0F(x)1；,；,证明：,3,右连续性：F(x+0)=F(x)；,对于aR，有。,则由和，,4,例1：设一口袋中有依次标有1、2、2、2、3、3数字的6个球，从这口袋中任取一球，表示取得球上标有的数字，求 的概率分布和分布函数。,解：概率分布已求过，为,分布函数,5,例2：设 的分布函数为,求(1)的分布律；(2)

2、。,；,。,解：分布函数图像,F(x),x,1,2,3,4,5,0.2,0.5,0.6,1,0,6,F(x)在 的每一个可能取值xk处发生一次跳跃，其跳跃的高度恰为 的取值xk的概率Pk，称为跃度。,所以，,7,例3：设r.v.的分布函数,试求常数a和b。,解：,8,二、连续性随机变量与密度函数,1、定义：F(x)是随机变量 的分布函数，如果存在某个非负函数f(x)，对任意实数x，有,称f(x)为随机变量 的(概率)密度函数，称为连续性随机变量。,2、性质：f(x)0；。,可与离散型r.v.相比较,9,3、是变上限定积分，则有,证明：,积分中值定理，,从F(x)求f(x)：,从f(x)求F(x

3、)：,10,4、对于连续型随机变量，,，即某指定点的概率为0；,因此求概率可从分布函数与密度函数两条途径入手。,5、密度的图像称分布曲线，相应有两个特征：,曲线在x轴上方；,y,x,o,曲线于x轴之间的面积是1。,c,d,概率面积,f(x)分布曲线,11,例4：设 的密度在a,b以外为0，在a,b内为一常数，,求；计算，；计算。,例5：设 的密度，求常数c；计算。,12,若r.v.的密度函数为，,称 服从a,b上的均匀分布，记为。,其分布函数为。,三、几个常用的一维连续型分布,1、均匀分布,13,例9：某市每天有两班开往某景点的旅游客车，发车时间分别为早上7:30和8:00。设一游客在7点至8

4、点间任何时刻到达车站是等可能的，求此游客候车时间不超过20分钟的概率。,前面所讲的例4即为均匀分布，指 落在a,b内的任何长度相等的子区间内的概率都是相等的。,14,若r.v.的密度函数为，,其中，称 服从参数为 的指数分布，记为。,其分布函数为。,2、指数分布,15,指数分布主要用来描述：随机服务系统的等待时间；各种元件的“寿命”等。,例10：某种元件的寿命(单位：小时)服从 的指数分布。一报警系统内装有4个这种元件，已知它们是独立工作的，而且只要不少于3个元件正常工作，该系统就正常运行。求该系统正常运行1000小时以上的概率。,16,若r.v.的密度函数为,其中 与 为常数，称 服从参数为

5、 与的正态分布，记为。,三、几个常用的一维连续型分布（续）,3、正态分布,若取，则,称 服从标准正态分布，记为。,17,f(x)符合密度函数的两性质：,f(x)0；。,以标准正态分布为例，称为高斯积分。,18,密度函数f(x)的图像：,x,y,图1,19,x,y,图2,图1中，不变，随着 变大，曲线波峰下降。,图2中，不变，曲线随着 的变化沿x轴平移，曲线形状不变。,20,正态分布函数：,此积分因被积函数不是初等函数而无法积分。,标准正态分布函数：,书后附有标准正态分布表(p.328)，通过查表，可由 计算 的概率。,21,正态分布函数：,此积分因被积函数不是初等函数而无法积分。,标准正态分布

6、函数：,书后附有标准正态分布表(p.328)，通过查表，可由 计算 的概率。,22,x,y,x,o,x,阴影部分为概率面积；,由对称性，。,例1：设随机变量，求；。,23,若，令，则。,即式中的F(x)式中的，因此，先将正态分布的随机变量 转化成标准正态分布的随机变量，再利用 计算概率。,例2：若，求(1)；(2)。,24,正态分布的应用十分广泛，在日常生活中，人的身高、体重、智商；学习成绩以及产品质量等均服从正态分布。,例3：某种电池的寿命 服从正态分布，(小时)，(小时)。求电池寿命在250小时以上的概率；求x，使寿命在 与 之间的概率不小于0.9。,25,3.2 二维连续型随机变量及其概

7、率分布,一、联合分布函数和边缘分布函数,1、定义：设 是二维r.v.，x,y是任意实数，令,则称F(x,y)是二维r.v.的联合分布函数，简称分布函数。,于是有,26,x,y,o,x1,x2,y1,y2,27,2、性质：,F(x,y)对x和y分别是单调非降的；,x，y1y2，F(x,y1)F(x,y2),y，x1x2，F(x1,y)F(x2,y),0F(x,y)1；,F(x,y)对x和y分别右连续；,x,y，F(x+0,y)=F(x,y)，F(x,y+0)=F(x,y),28,4,3、定义：设二维r.v.的两个分量 与 各自的分布函数为 与，称为 的边缘分布函数。,可由联合分布求得边缘分布；反

8、之则不一定。,29,二、联合密度函数和边缘密度函数,1、定义：设F(x,y)为 的联合分布函数，且存在非负函数f(x,y)，使得对于x,yR，有,称f(x,y)为二维r.v.的联合密度函数，简称密度函数，称为二维连续型随机变量。,30,2、性质：,f(x,y)0；,；,若G为XOY平面内的一区域，则二维r.v.落入G的概率,在f(x,y)的连续点(x,y)处有,31,3、定义：设二维r.v.的两个分量 与 各自的密度函数为 与，称为 的边缘密度函数。,于是有,32,3、定义：设二维r.v.的两个分量 与 各自的密度函数为 与，称为 的边缘密度函数。,于是有,33,例1：已知随机变量X和Y的联合

9、概率密度为,求X和Y的联合分布函数F(x,y)。,例2：设二维r.v.的联合密度函数,求 A；的分布函数；。,34,3.2 二维连续型随机变量及其概率分布(续),三、两个重要的二维连续型分布,1、二维均匀分布,设G为XOY平面上的有界区域，面积为A，若 的密度函数为,称 服从G上的均匀分布。,35,若D为G的子区域，则,p.106第4题即是均匀分布，其概率只与D的面积有关，而与D的形状、位置无关。,例1：设G为曲线y=x2，x=1与x轴围成的平面区域，服从G上的均匀分布，求 的边缘分布。,36,2、二维正态分布,称具有联合密度函数,(其中 为常数，且有)的随机变量 服从二维正态分布，记为。,3

10、7,二维正态分布的图形：,38,二维正态分布的两个边缘分布是一维正态分布。,由于 均不含，故当 相同而 不同时，仍相同，因此不能从边缘分布推得联合分布。,39,例2：p.107，习题3.2，第10(1)题。,设参数，写出它的联合密度函数和边缘密度函数。,例3：p.108，习题3.2，第12题。,设随机变量 的密度函数为,求证：和 的边缘分布分别为N(0,1)。,40,四、随机变量的独立性,1、定义：设r.v.的联合密度函数为f(x,y)，和 的边缘密度函数分别为，如果对任意实数x和y，有,则称r.v.和 相互独立，反之称 和 不独立。,2、当两个r.v.和 相互独立时，亦成立,41,例4：袋中

11、有2只白球，3只黑球，现进行无放回摸球，定义,求 联合概率分布和边缘分布；与 是否独立？,例5：在例1中，讨论 与 的独立性。,42,例6：设 的联合密度为,求 系数c；与 是否独立？落在以(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的正方形的概率。,例7：某人欲到车站乘车。已知人、车到达车站的时间相互独立，且都服从在8:008:30间的均匀分布。又设车到车站停留10分钟后准时离站，求此人能乘上车的概率。,43,3、定理：设，则,与 相互独立,证明：必要性：与 相互独立，则,令，则,44,充分性：，则 的密度函数,故 与 相互独立,45,3.3 连续型随机变量函数的密度函数,一、一维随

12、机变量函数的密度函数,设 为连续型r.v.，若有y=g(x)，则 也是连续型r.v.。现可利用 的密度函数 来求 的密度函数。,1、y=g(x)是严格单调且可导的函数,定理：设 的密度函数为，y=g(x)严格单调且有一阶导数存在，设x=h(y)为y=g(x)的反函数，则 的密度函数为,46,证明：y=g(x)严格单调，则 x=h(y)也严格单调。,设y=g(x)，则 的分布函数,y,x,y=g(x)x=h(y),y,h(y),o,47,设y=g(x)，则 的分布函数,y=g(x)x=h(y),y,o,x,h(y),y,由、，,48,例1：设随机变量(指数分布)，求 的概率密度。,例2：设随机变

13、量，求线性函数(k1,k2是常数且k10)的概率密度。,例3：设随机变量(均匀分布)，求 的概率密度。,49,2、y=g(x)是分段单调且可导的函数,定理：设随机变量 的密度函数为，函数y=g(x)在不相重叠的区间I1,I2,Ik上分段严格单调且可导，它们的反函数分别为h1(y),h2(y),hk(y)，则 的密度函数,50,例4：设，求 的密度函数。,例5：设XN(0,1)，求Y=|X|的概率密度fY(y)。,例6：设r.v.的密度函数,求 的密度函数。,51,二、多维随机变量函数的密度函数,已知随机变量 或随机向量 的密度函数，若随机变量 或，与一维情形相类似，我们同样可以利用原来随机变量

14、的密度函数求得 的密度函数。,概述：,52,常见的多维随机变量的函数有：,在求解过程中，多数是先求分布函数，再利用导数求得密度函数。,尽管，此时 为一维的随机变量。,53,求 的密度函数 的通常步骤：,求出 的概率密度函数：,求出 的取值范围；,求出 的分布函数：,其中；,54,1、和的分布,现利用第点的思想来推导随机变量和的分布之密度函数。,设 的联合密度函数为f(x,y)，则 的分布函数为,o,x,y,z,z,x+y=z,55,令y=t-x,交换积分次序,故 的密度函数,56,该公式称为卷积公式。,说明：,与 对称，故,若 与 相互独立，则,于是 的密度函数,57,例1：p.123，习题3.3，第9题。,设 相互独立，求 的密度函数。,定理：随机变量 与 相互独立，则,相互独立，则,58,2、或,解题时需从分布函数出发；在进行二重积分求解时要用到极坐标。,例2：设 独立，且都服从N(0,1)，求 的密度函数。,例3：设 的密度函数为,求 的密度函数。,