格林公式及其应用(打印).ppt

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1、第二节,一、格林公式,二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件,格林公式及其应用,第八章,（一）、区域连通性的分类,设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.,复连通区域,单连通区域,（二）、格林公式,定理1,边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.,证明(1),同理可证,证明(2),两式相加得,G,F,证明(3),由(2)知,L,1.简化曲线积分,（三）、简单应用,2.简化二重积分,（,例3 计算,解：可直接化为对x的定积分，但计算量较大。这里用格林公式。,从到,（,解,(注意格林公式的条件),注:此例中所作的辅助

2、圆l一定要是D内的圆周（即r充分小）,（2）L不封闭时，采取“补线”的方法：,要求右端的二重积分及曲线积分易于计算。选用直线段、折线、圆、半圆、椭圆、抛物线等。,其中是包围点的与同向的光滑的简单闭曲线，特别地是以为中心的圆、椭圆等（半径或长短半轴大小不限，只要内部没有别的“坏点”）,例 5 计算 逆时针方向。,解：,除原点外处处有,取,逆时针方向，则,3.计算平面面积,解,B,A,如果在区域G内有,二、曲线积分与路径无关的条件,1、平面上曲线积分与路径无关的等价条件,定理2.设 是单连通域,在 内,具有一阶连续偏导数,(1)沿 中任意光滑闭曲线,有,(2)对 中任一分段光滑曲线,曲线积分,(3

3、),(4)在 内每一点都有,与路径无关,只与起止点有关.,函数,则以下四个条件等价:,在 内是某一函数,的全微分,即,说明:积分与路径无关时,曲线积分可记为,证明(1)(2),设,为D内任意两条由A到B的有向分段光滑曲线,则,(根据条件(1),证明(2)（3）,在D内取定点,因曲线积分,则,同理可证,因此有,和任一点,与路径无关,有函数,证明(3)（4）,设存在函数 使得,则,在D内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有,证明(4)（1）,设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图),利用格林公式,得,所围区域为,证毕,说明:,根据定理2,若在某区域内,则,2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,

4、3)可用积分法求在域D内的原函数:,及动点,或,则原函数为,若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;,取定点,1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;,例5.计算,其中L 为上半,从 O(0,0)到 A(4,0).,解:为了使用格林公式,添加辅助线段,它与L所围,原式,圆周,区域为D,则,例6.验证,是某个函数的全微分,并求,出这个函数.,证:设,则,由定理2 可知,存在函数 u(x,y)，使,。,。,例7.验证,在右半平面内存在原函,数,并求出它.,证:令,则,由定理 2 可知存在原函数,或,例8.设质点在力场,作用下沿曲线 L:,由,移动到,求力场所作的功W,解:,令,则有,可见,在不含原点

5、的单连通区域内积分与路径无关.,取圆弧,注意,本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径,无关!,内容小结,1.格林公式,2.等价条件,在 D 内与路径无关.,在 D 内有,对 D 内任意闭曲线L有,在 D 内有,设P,Q在单连通域D内具有一阶连续偏导数,则有,思考与练习,1.设,且都取正向,问下列计算是否正确?,提示:,2.设,提示:,备用题 1.设C为沿,从点,依逆时针,的半圆,计算,解:添加辅助线如图,利用格林公式.,原式=,到点,2.质点M 沿着以AB为直径的半圆,从A(1,2)运动到,点B(3,4),到原点的距离,解:由图知,故所求功为,锐角,其方向垂直于OM,且与y轴正向夹角为,求变力 F 对质点M 所作的功.(90考研),