格林公式-qx-px格林公式.ppt

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1、第三节,格林(Green)公式,二、平面曲线积分与路径无关的条件,一、格林公式,三、平面曲线积分基本定理,第十章,一、格林公式,回顾：在一元积分学中，,F(x)在区间a,b上的定积分可以用它的,表明:,原函数F(x)在区间a,b端点（即线段的边界点）,处的值来表示.,牛顿-莱布尼茨公式,上述结论是否能推广到二重积分？,问题：,1.问题的提出,设D为平面区域,则称D为平面单连通区域；,平面单连通区域就是没有“洞”的区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,2.区域连通性分类,否则,平面复连通区域就是有“洞”的区域,如果D内存在闭曲线l，它所围成的部分不完全属于D,则称D为复连通区域.,边界曲

2、线L的正向：,当观察者沿L的这个方向行走时,D内在他近处的部分总在他的左边.,单连通区域的边界曲线L的正向:,逆时针方向.,3.边界曲线L的正向,设复连通区域 D 的边界曲线为,=L+l1+l2+ln(如图),的正向：,外边界L 为逆时针方向；,内边界,为顺时针方向.,复合闭路,光滑闭曲线围成,函数,定理10.3（Green公式）设平面区域 D 是由分段,格林公式,将平面区域分为三种类型，证明分三步：,4.格林公式,有连续一阶偏导数,则,在 D上具,1 若 D 既是 X-型区域,又是 Y-型区域.,则,证,=,=,(1)+(2),得:,由于 D 既是 Y-型区域,又是 X-型区域,但非类型1(

3、如图),D,可通过添加辅助线将其分割为有限个类型1的区域.,A,C,B,2 若D为单连通区域,作辅助线 AB,CE,则,由2 知,D1,D2,其中D1,D2均为单连通区域.,3 若积分域 D 为复连通区域(如图),+,1 格林公式的实质,沟通了沿闭曲线的曲线积分与二重积分之间的联系.,2 格林公式的条件：,L封闭，取正向;,P，Q在L所围区域D上有一阶连续偏导数.,(负),注,3 对复连通区域 D 应用格林公式，,且边界的方向对 D 来说都是正向.,4 利用曲线积分求面积的一种新方法.,推论 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积,证,由格林公式,格林公式,例1,L为任意一条分段光滑的闭曲线，证

4、明：,将曲线积分转化为二重积分,证,例2,L,解,注,？,例3 计算,其中L为一无重,点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.,解,记 L 所围成的闭区域为D,由格林公式知,D1,(注意格林公式的条件),例4,解,L,力所作的功.,小结：,利用格林公式计算第二类曲线积分时，要,注意定理使用的两个前提条件.,1.当L是闭曲线时,+,“+”：L 取正向；“”：L 取负向.,(2)若P,Q在L所围区域 D上有奇点，则“挖洞”.,可添加辅助线：L1,L2,Ln，使,添加辅助线的原则：,2.当L不封闭时,L+L1+L2+Ln,封闭，且构成所围区域的正向或负向边界.,(1)P,Q 在L+L1+L2+Ln 所围区

5、域D上有一阶 连续的偏导数；,其中D 是以O(0,0),A(1,1),B(0,1)为顶点的三角形闭域.,分析,例5 计算,将二重积分转化为曲线积分,利用格林公式，,解,利用格林公式,有,令,解,例6 求椭圆,证(方法1),例7,由格林公式，得,Q,P,关于x,y 有轮换对称性，即关于y=x 对称,(方法2),D,定理10.4 设G是单连通域,则以下四个命题等价:,二、平面曲线积分与路径无关的条件,证(1)(2),为G 内闭曲线.,曲线积分在G内与路径无关,当积分与路径无关时,曲线积分可记为,为G内给定的点，,为G内任意的点，,因曲线积分与路径无关,故,A(x0,y0),B(x,y),C(x+x

6、,y),(2)(3),即,积分中值定理,同理可证,因为P,Q 在 G 内具有连续的偏导数,因此在 G内每一点都有,(3)(4),设L为G中任一分段光滑闭曲线.,故L所围区域,故由格林公式得,由此可知定理中四个条件的等价性.,因为G为单连通域，,(4)(1),注,1 定理中关于区域的单连通性和函数P、Q 的一阶偏导数的连续性两个条件缺一不可.,缺少一个，定理结论不一定成立.,反例1,反例2,D,2 当,时，,计算曲线积分时,可选择方便的积分路径(但要完全位于G内),通常选择平行于坐标轴的折线为积分路径.,由定理知:,解,例8 计算,其中L,原积分与路径无关,为由点,故,解,例9 设曲线积分,与路

7、径无关，,计算,积分与路径无关,1,1,(方法1),1,1,(方法2),例10,解,选折线路径 ACB.,(方法1),(方法2),例11,解,(方法1),(方法2),与路径无关,三、平面曲线积分基本定理,一阶连续的偏导数,则称 u(x,y)是 P(x,y)dx+Q(x,y)dy 在G内的一个原函数.,如：,定理10.5(平面曲线积分基本定理),则第二类曲线积分,曲线积分的牛顿-莱布尼茨公式,证,因为曲线积分在G 内与路径无关,C为某一常数.,注,1 曲线积分的牛顿-莱布尼茨公式的另一种形式,保守场,2,如:对于例8，,计算,其中L,为由点,解法2,分项组合法,(方法1),注,(方法2)折线法,

8、x,y,(方法3)偏积分法,待定,在右半平面(x 0)内存在,原函数,并求出一个这样的函数.,证 令,则,在右半平面上取点(1,0),例12 验证,u(x,y)唯一吗?,内容小结,(1)边界曲线L的正向.,(2)格林公式,(3)平面曲线积分与路径无关的条件,(4)平面曲线积分基本定理,与路径无关的四个等价命题,条件,等价命题,直接计算,是,是,是,是,否,否,否,改变路径直接计算,备用题例2-1,解,例2-2,解,格林公式,其中L,从O(0,0)到A(4,0).,解 添加辅助线段,它与L 所围区域为D,则,原式,为上半圆周,例4-1 计算,解,例6-1 计算抛物线,与x 轴围成的面积.,例7-1,证,例10-1,解,例12-1,解,