材料力学第04章 杆件变形分析.ppt

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1、中北大学理学院力学系,第四章 杆件变形分析,第一节 杆件轴向拉压变形第二节 圆轴扭转变形第三节 积分法求梁弯曲变形叠加法求梁弯曲变形第四节 提高梁弯曲刚度的措施总结与讨论,杆件在载荷作用下都将发生变形（deformation）。在有些结构或实际工程中，杆件发生过大的变形将影响杆件或结构的正常使用，必须对杆件的变形加以限制，如工程中使用的传动轴、车床主轴等变形过大会造成机器不能正常工作；而有些结构又需要杆件有较大的变形，如汽车上所使用的叠板弹簧，只有当弹簧有较大变形时，才能起缓冲作用。在结构的设计中，无论是限制杆件的变形，还是利用杆件的变形，都必须掌握计算杆件变形的方法。本章将具体讨论杆件轴向拉

2、伸（或压缩）、圆轴扭转和弯曲三种情况下的杆件变形。研究杆件变形的目的，一方面是为了分析杆件的刚度问题，另一方面则是为了求解超静定问题。,第一节 杆件轴向拉压变形,当杆件承受轴向载荷时，其轴向尺寸和横向尺寸均发生变化，杆件沿轴线方向的变形，称为轴向变形（axial deformation）；垂直于轴线方向的变形，称为横向变形（lateral deformation）。,1拉压杆的轴向变形与胡克定律,实验表明，杆件受拉时，轴向尺寸增大，横向尺寸缩小，杆件受压时，轴向尺寸缩小，横向尺寸增大。设拉压杆的横截面的面积为A，原长为l，在轴向拉力F 作用下产生变形，如图4-1所示，变形后杆长为l1，则杆在轴

3、线方向的伸长量为,l是杆件长度尺寸的绝对改变量，称为绝对变形，表示整个杆件沿轴线方向总的变形量，绝对变形不能说明杆件的变形程度。要度量杆件变形程度的大小，必须消除杆件原有尺寸的影响，杆件均匀变形时杆件沿轴线方向的相对变形，即轴向线应变（axial strain）为,其中为杆件轴线方向的线应变，是无量纲量，拉伸时为正，压缩时为负。,实验表明，对于工程中的大部分材料，当杆内应力在一定范围（比例极限）内时，杆的变形量与外力和杆的原长成正比，与杆的横截面面积成反比，并引入比例常数弹性模量，则可以得到杆件变形的计算公式为,上述为描述弹性范围内杆件承受轴向载荷时力与变形的胡克定律（Hookes law），

4、适用于等截面常轴力拉压杆。在比例极限内，拉压杆的轴向变形与材料的弹性模量及杆的横截面面积成反比，乘积EA称为拉压杆的抗拉压刚度（tensile or compression rigidity）。显然，对于给定长度的等截面拉压杆，在一定的轴向载荷作用下，抗拉压刚度EA越大，杆的轴向变形就越小。,对于轴向力、横截面面积或弹性模量沿杆轴逐段变化的拉压杆，如下图所示，其轴向变形为,对于轴力和横截面面积沿轴向连续变化的情况，其轴向变形量为,将式 等号两边同除以杆长，即,得到,或,上式为胡克定律的另一种表达式。,2拉压杆的横向变形与泊松比,如图所示，设杆件的原宽度为b，在轴向拉力作用下，宽度变为b1，横向

5、变形量为b=b1-b，则横向应变为,显然，如果杆件是如图所示的拉伸变形，则为负值，即轴向拉伸时，杆沿轴向伸长，其横向尺寸减小；轴向压缩时，杆沿轴向缩短，横向尺寸增大。也就是说，轴向的正应变与横向的正应变的符号是相反的。,通过实验发现，当材料在弹性范围内时，拉压杆的轴向正应变与横向正应变成正比。用来表示横向正应变与轴向正应变之比的绝对值，有,或,式中，比例常数称为泊松比（Poisson radio）。在比例极限内，泊松比是一个材料的弹性常数，不同材料具有不同的泊松比，大多数各向同性材料的泊松比,例4-1 圆截面杆如图4-3所示，已知F=4kN，l1=l2=100mm，弹性模量E=200GPa。为

6、保证杆件正常工作，要求其总伸长不超过0.10mm，即许用轴向变形l=0.10mm。试确定杆的直径d。,【解】（1）变形分析。,AB段和BC段的轴力分别为,FN1=2F FN2=F,杆AC的总伸长为,（2）直径设计。,按照设计要求，总伸长l不得超过许用变形l，即要求,例4-1 圆截面杆如图4-3所示，已知F=4kN，l1=l2=100mm，弹性模量E=200GPa。为保证杆件正常工作，要求其总伸长不超过0.10mm，即许用轴向变形l=0.10mm。试确定杆的直径d。,由此得,可以取直径为,3桁架的节点位移,桁架的变形通常用节点的位移（displacement）表示，现以下图所示桁架为例，说明桁架

7、节点位移的分析方法。,例4-2 桁架是由1、2杆组成，通过铰链连接，在节点A承受铅垂载荷F=40kN作用。已知杆1为钢杆，横截面面积A1=960mm2，弹性模量E1=200GPa，杆2为木杆，横截面面积A2=2.5104mm2，弹性模量E2=10GPa，杆2的杆长为1m。求节点A的位移。,【解】（1）利用截面法，可以求得1、2两杆的轴力分别为,（拉力）,（压力）,由胡克定律可以求得两杆的变形分别为,（2）求节点A的位移。,节点A的水平位移与铅垂位移分别为,（）,（）,A点的位移为,在小变形条件下，通常可按结构原有几何形状与尺寸计算约束力与内力，并可采用以垂线代替圆弧法确定节点位移。,第二节 圆

8、轴扭转变形,1圆轴扭转变形,圆轴的扭转变形，用各横截面间绕轴线作相对转动的相对角位移j 表示。相距为dx的两个横截面间有相对转角dj，即微段dx的扭转变形为,因此，对于间距为l 的两截面的扭转角（angle of twist）为,对于长度为l，扭矩T为常数的等截面圆轴，其两端横截面的相对扭转角为,乘积GIP称为圆轴截面的抗扭刚度（torsion rigidity）,对于扭矩、横截面或剪切弹性模量沿杆轴逐段变化的圆截面轴，其扭转变形为,式中，Ti、li、Gi与IPi分别为轴段i的扭矩、长度、剪切弹性模量与极惯性矩，n为杆件的总段数。,2圆轴扭转的刚度条件,在圆轴设计中，除考虑其强度问题外，在许多

9、情况下对刚度的要求更为严格，常常对其变形有一定限制，即应该满足相应的刚度条件。,在工程实际问题中，通常是限制扭转角沿轴线的变化率，即单位长度扭转角j，使其不得超过某一规定的许用值j。由第三章圆轴扭转强度分析时得到的扭转角的变化率为,其单位是rad/m,所以，圆轴扭转的刚度条件为,对于等截面圆轴，其刚度条件为,式中，j为许用单位长度扭转角。,另外，对于某些特定的杆件，会限制两个指定截面的相对扭转角，其刚度条件可以表达为,式中，j 为许用扭转角。,例4-3 图4-5所示圆截面轴AC，承受外力偶矩MA、MB和MC作用。试计算该轴的总扭转角jAC（截面C相对于截面A的扭转角），并校核轴的刚度。已知MA

10、=180Nm，MB=320Nm，MC=140Nm，IP=3.0105mm4，l=2m，G=80GPa，j=0.5/m。,【解】（1）扭转变形分析。,利用截面法，得AB和BC段的扭矩分别为,TAB=180Nm TBC=-140Nm,则两段的扭转角分别为,则轴的总扭转角为,（2）刚度校核。,轴为等截面轴，AB段的扭矩最大，所以，应校核该段轴的扭转刚度。,AB段的扭转角变化率，即单位长度扭转角为,可见，该轴满足刚度条件。,第三节 积分法求梁弯曲变形,当直梁发生平面弯曲时，对于细长梁，剪力对其变形的影响一般均可忽略不计，而认为弯曲时各横截面仍保持平面，与弯曲后的梁轴正交。因此，梁的变形可用横截面形心的

11、线位移与截面的角位移表示。,横截面的形心在垂直于梁轴方向的线位移，称为挠度（deflection），用w表示,不同截面的挠度不相同，且挠度是连续变化的，所以如果沿变形前的梁轴建立坐标轴x，则挠度可以表示为,梁的轴线从原来的直线变成一条连续、光滑的曲线，该曲线称为梁的挠曲轴或挠曲线（deflection curve），截面形心的轴向位移远小于其横向位移，因而可忽略不计。上式也代表挠曲线的解析表达式，称为挠曲线方程（deflection equation）。,根据平面假设，横截面在梁弯曲变形后，仍与梁轴垂直，则横截面会发生角位移，即绕中性轴转过一个角度，称为转角（slope of cross se

12、ction），用q表示。由几何关系可知，横截面的转角q与挠曲线在该截面处的切线与坐标轴x的夹角q相等，即,由于梁的变形一般很小，这时转角q也很小，于是有挠曲线与转角之间的近似关系为,它表明，横截面的转角等于挠曲线在该截面处的斜率。可见，在忽略剪力影响的情况下，转角与挠度相互关联。,在右手坐标系中，挠度w向上为正，向下为负。转角q规定为截面法线与x轴夹角逆时针为正，顺时针为负。,1挠曲线近似微分方程,纯弯曲正应力的推导过程可知，在纯弯曲梁的情况下，梁的中性层曲率与梁的弯矩之间关系为,由于纯弯曲梁的弯矩为常数，对于等截面梁，弯曲刚度为常数时，曲率半径为常数，其挠曲线为一段圆弧。而当截面上同时存在剪

13、力与弯矩即横力弯曲时，显然这两项内力对梁的变形均有影响。研究表明：当横力弯曲时，若梁的跨度远大于梁的高度，剪力对梁的变形影响可以忽略不计，上式仍可用来计算横力弯曲梁弯曲后的曲率，但由于弯矩不再是常量，上式变为,即挠曲线上任一点处的曲率与该点处横截面上的弯矩成正比，而与该截面的抗弯刚度（flexural rigidity）EI成反比。,由高等数学可知，平面曲线w=w(x)上任一点的曲率为,将上述关系用于分析梁的变形，可得,上式称为挠曲线微分方程，它是一个二阶非线性微分方程。,在工程实际问题中，梁的转角一般均很小，因此有(dw/dx)2远小于1，所以上式可简化为,d2w/dx2与弯矩的关系如图所示

14、，坐标轴w以向上为正。由该图可以看出，当梁段承受正弯矩时，挠曲线为凹曲线，如图（a）所示，d2w/dx2为正。反之，当梁段承受负弯矩时，挠曲线为凸曲线，如图（b）所示，d2w/dx2为负。可见，d2w/dx2与弯矩M的符号一致。因此上式的右端应取正号，即,上式称为挠曲线近似微分方程（approximately differential equation of the deflection curve），简称为挠曲线微分方程。,2用积分法求梁的弯曲变形,将上述挠曲线近似微分方程相继积分两次，依次得,C、D为积分常数,上述积分常数可利用梁上某些截面的已知位移条件来确定。梁截面的已知位移条件或位移约

15、束条件，称为梁的边界条件（boundary conditions）。积分常数确定后，即得到梁的挠曲线方程和转角方程，由此可以求出任一截面的挠度与转角。,当弯矩方程需要分段建立，或抗弯刚度沿梁轴变化，以致其表达式需要分段建立时，挠曲线近似微分方程也需要分段建立，而在各段的积分中，将分别包含两个积分常数，为了确定这些积分常数，除应利用位移边界条件外，还应利用分段处挠曲线的连续（挠度相等）、光滑（转角相等）条件。因为在相邻段的交接处，相邻两截面应具有相同的挠度和转角。分段处挠曲线所满足的连续、光滑条件，简称为梁位移的连续条件（continuity conditions）。,对于分段数为n的静定梁，求

16、解时将包含2n个积分常数，但由于存在n-1个分界面，所以将提供2(n-1)个连续条件，再加上两个位移边界条件，共2n个约束条件，恰好可用来确定2n个积分常数。,由此可见，梁的位移不仅与弯矩及梁的抗弯刚度有关，而且与梁位移的边界条件及连续条件有关。,例4-4 抗弯刚度为EI的等直悬臂梁受均布载荷q作用，如图所示，试求该梁的转角方程和挠曲线方程，并求自由端的转角qB和挠度wB。,【解】（1）列出弯矩方程。,（2）列出挠曲线近似微分方程并积分。,积分,C、D为积分常数。,（3）确定积分常数。,边界条件为,将以上边界条件代入，得,所以求得,（4）将C、D代入并整理得转角方程和挠曲线方程。,（5）求qB

17、和wB。,（）,（）,例4-5 如图所示为一简支梁，梁的C截面处作用一集中力F，设EI为常数。试求梁的转角方程和挠曲线方程，并求qmax和wmax。,【解】（1）求支反力和列弯矩方程。,由平衡方程可得支反力为,弯矩方程为,AC段,（0 xa）,CB段,（axl）,（2）列出挠曲线近似微分方程并积分。,由于弯矩方程在C处分段，故应对AC段及CB段分别计算。,AC段（0 xa）,积分,CB段（axl）,其中，C1、D1、C2、D2为积分常数。,（3）确定积分常数。四个积分常数，应找出四个边界条件。在A、B支座处，梁的挠度为零，在C处是连续和光滑的，因此在其左、右两侧挠度和转角应相等，即,边界条件为

18、,C处的光滑条件为,C处的连续条件为,代入边界条件及连续光滑条件可求得,则转角方程和挠曲线方程分别为,（4）确定qmax和wmax,最大转角：A、B两端的截面转角为,若ab，则qBqA，可以断定qB为最大转角,最大挠度：由上面计算可知A截面的转角qA为负，可以求得C截面的转角为,如果ab，则qC0，可见从截面A到截面C，转角由负到正，而挠曲线为光滑连续曲线，则q=0的截面必然在AC段内。令AC段转角等于零，可得,x0即为挠度最大值的截面的位置。,将x0代入AC段挠度计算公式，可求得最大挠度为,当集中力F作用于跨度中点时，显然最大挠度发生在跨度中点，这也可由挠曲线的对称性直接看出。,另一种极端情

19、况是集中力无限靠近于杆端支座，如靠近右端支座，此时，所以有,最大挠度为,可见即使在这种情况下，发生最大挠度的截面仍然在跨度中点附近。也就是说，挠度为最大值的截面总是靠近跨度中点，所以可以用跨度中点的挠度近似代替最大挠度。,可以通过AC段挠度计算公式，令x=l/2，求得跨中的挠度为,在极端情况下，集中力无限靠近B端，则,这时用中点挠度代替最大挠度所引起的误差为,可见在简支梁中，只要挠曲线上无拐点，可用跨度中点挠度来代替其最大挠度，并且不会引起太大的误差。,第四节 叠加法求梁弯曲变形,用积分法求梁弯曲变形，在弯矩方程分段较多时，由于每段均出现两个积分常数，运算较为烦琐，所以工程中发展出许多简化的计

20、算方法，叠加法便是其中的一种。,1、载荷叠加法,在线弹性、小变形的前提下，挠曲线近似微分方程为线性微分方程，而弯矩又与载荷成线性齐次关系，因此，当梁上同时作用几个载荷时，挠曲线近似微分方程的解，必等于各载荷单独作用时挠曲线近似微分方程的解的线性组合，而由此求得的挠度与转角也一定与载荷成线性齐次关系。,变形与载荷成线性关系，即任一载荷使杆件产生的变形均与其他载荷无关。当梁上同时作用几个载荷时，如果梁的变形很小，而且应力不超过材料的比例极限，即可利用叠加法计算梁的位移。只要分别求出杆件上每个载荷单独作用产生的变形，然后将其相加，便可得到这些载荷共同作用时杆件的变形。这就是求杆件变形的载荷叠加法。,

21、如图4-10所示的梁，若载荷q、F及Me单独作用时，B截面的挠度分别为(wB)q、(wB)F和，则所有载荷共同作用时该截面的挠度为,2、逐段分析叠加法,在计算有些梁的变形时，虽然载荷是比较简单的，但是梁需要分段分析，不能再利用前述载荷叠加法。例如，计算图4-11（a）所示梁截面C的挠度wC，,（）,（）,（b）图,（）,（）,（b）图,（c）图,（）,则截面C的总挠度为,（）,上述两种方法前者为分解载荷，后者为分解梁；前者的理论基础是力作用的独立性原理，而后者的依据则是梁段局部变形与梁总体位移间的几何关系。但是，由于在实际求解时常将两种方法联合应用，所以习惯上将二者统称为叠加法（superpo

22、sition method）。,例4-6 求图4-12（a）所示梁挠曲线方程，并求梁中点挠度及最大转角。已知M=0.5ql2,梁的抗弯刚度为EI。,【解】梁承受集中力偶和均布载荷作用，首先将载荷简化，将图（a）所示的梁分解为如图（b）、（c）所示的简支梁，一个受集中力偶作用，一个受均布载荷作用。,（1）求挠曲线方程。查表可知，在M与q单独作用下梁挠曲线方程分别为,根据叠加原理，梁在两个载荷作用下的挠曲线方程为,即,（2）求最大转角。图（b）所示梁截面A的转角比截面B的转角大，图（c）所示梁截面A和截面B的转角相同。显然两种情况下A、B截面对应的转角方向一致，所以截面A的转角最大，查表4-2可求

23、得梁的最大转角为,（）,（3）求中点挠度。查表求得梁中点的挠度为,（）,例4-7 图4-13（a）所示悬臂梁，同时承受集中力F和均布载荷q作用，且F=qa，试求横截面C的挠度。设抗弯刚度EI为常数。,【解】当均布载荷q单独作用时，如图4-13（b）所示，横截面B的转角与挠度为,（）,（）,则由于均布载荷的作用，引起截面C的挠度为,（）,当载荷F单独作用时，如图（c）所示，横截面C的挠度为,（）,根据叠加原理，截面C的挠度为,（）,例4-8 变截面梁如图所示，试求跨中点C的挠度。,【解】采用叠加法计算。,由于AB梁的支承、截面惯性矩和载荷都是对称的，其变形也必然是对称的，因此，跨中点C截面的转角

24、为零，挠曲线在C点的切线是水平的,这样，就可以把变截面梁的CB部分看作是悬臂梁，如图（b）所示，自由端B在载荷F/2作用下的挠度wB也就在数值上等于原来AB梁跨中点的挠度wC,对惯性矩为I的DB段悬臂梁查表可得B截面相对于D截面的位移为,将CB梁从D截面假想截开，得到DB和CD两段悬臂梁，如图（c）和（d）所示。D截面上的弯曲内力为,B截面由于qD和wD而引起的挠度是,对于惯性矩为I1的悬臂梁CD，查表可以求出D截面由于弯矩和剪力引起的转角和挠度为,叠加wB1和wB2即可求得AB梁跨中点C的挠度,第五节 提高梁弯曲刚度的措施,从挠曲线的近似微分方程及其积分可以看出，弯曲变形与弯矩大小，跨度长短

25、，横截面的惯性矩和材料的弹性模量等有关。所以应从以上各方面因素入手减少梁的弯曲变形。,1、改善结构形式以减小弯矩数值,弯矩是引起弯曲变形的主要因素，减小了弯矩也就减小了弯曲变形，而通过改变结构形式是实现弯矩的简单有效的方法。,如图所示的轴，应尽可能地使齿轮和皮带轮靠近支座，以降低皮带轮张力引起的弯矩。,从前面的一些例题也可以看出，在集中力作用下，挠度与跨度的三次方成正比，如将梁的跨度缩短，则挠度的减小即刚度提高的非常显著的。所以在机械加工中，对镗刀杆的长度有一定限制，以保证镗孔的精度。在有些结构的跨度不能减小的情况下，也可以采取增加支承的方式提高梁的刚度。如在镗刀杆的端部增加尾架来减小镗刀杆的

26、变形，如图4-16。在很多结构中为了增强构件的刚度，往往通过增加支承的方式提高其刚度，这样就使原来的静定结构变为静不定结构，如在各种建筑结构中，经常使用静不定梁，同时改善了梁的强度和刚度。,2、选择合理的截面形状,即使在相同的面积情况下，不同的截面形状其惯性矩是不相同的，所以选取合理的截面形状，增大截面的惯性矩的数值，也就减小了弯曲变形，增加了梁的刚度。如工字形、箱形、槽形、T形截面都可以在用较少的材料情况下，最大程度提高梁的刚度。,另外，弯曲变形还与材料的弹性模量有关。对于弹性模量不同的材料，弹性模量越大弯曲变形越小。而各种钢材的弹性模量大致是相同的，所以使用高强度钢材并不能明显提高弯曲刚度

27、，反而增加了成本。,总结与讨论,本章介绍了杆件的变形与刚度分析。介绍了关于杆件变形的相关概念，分别讲解了拉压杆件、圆轴扭转及细长梁弯曲时的变形及其计算方法，重点介绍了梁的弯曲变形，梁的弯曲变形的计算方法分为积分法与叠加法。介绍了简单超静定梁的分析与计算方法，主要内容是超静定结构的分析与求解方法与过程，其关键是确定结构的变形协调条件。,1.在弹性小变形的假设条件下，不论杆件是什么变形，杆件或结构的变形或位移，与载荷成线性关系。即杆件变形的计算公式有相似之处，都满足胡克定律。,2.积分法求弯曲变形是求解梁弯曲变形的基本方法，在用积分法求解梁的弯曲变形时，边界条件和连续条件的确定，显得非常重要。叠加法是建立在积分法的基础上的，在求解指定截面的位移时，叠加法较积分法有优势。,