材料力学之应力状态.ppt
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1、1,第八章,应力状态和强度理论,2,本章要点,(1)平面应力状态的解析法和图解法(2)强度理论(包括莫尔强度理论),重要概念,单元体、平面应力状态、平面应变状态、主应力、主应变、广义虎克定律,强度理论。,3,8-1 应力状态的概念和实例,目录,8-2 平面应力状态下的任意斜截面上的应力,8-3 平面应力状态下的最大应力,主应力,8-4 三向应力状态下的最大应力,8-5 广义胡克定律,8-6 强度理论,4,8-1 应力状态的概念和实例,.应力状态的概念:,由第二章分析轴向拉压时,直杆截面上的应力时可知:随着所取截面的方向不同,截面上的应力也不同。由分析圆轴扭转及梁弯曲时,由横截面上的应力公式,可
2、知:在同一横截面上的各点,应力也是不相同的,即应力 不仅随着截面方向的不同而不同,而且在同一截面上的 各点应力也不一 定完全相同。定义:截面上一点处,不同方位截面上在该点处应力的全部情况,就称为该点的 应力状态。,1.一点的应力状态,5,为了研究一点的应力状态,围绕该点截取一微小的 正六面体,这个微小正六面体就称为单元体。由于单元体很微小,故可以把它的各个面上的应力 看做是均匀分布的。单元体两个平行平面上的应力,可看成是相等的。这个单元体的应力情况可以代表该点的应力状态。,在受力构件中的某一点,总可以找出一个单元体,在这个单元体的各个面上只有正应力而无剪应力。主单元体:各个面上剪应力为零的单元
3、体;主平面:主单元体上的各个面;主应力:主平面上的正应力。,2.单元体:,3.主单元体,主平面,主应力,定义:,6,4.应力状态的分类:,(1).单向应力状态:三个主应力中,只有一个不为零 又称简单应力状态。(2).二向应力状态:三个主应力中,只有一个为零。(3).三向应力状态:三个主应力都不为零。二向和三向应力状态又称复杂应力状态。,三个主应力用 1、2、3 表示,按代数值大小顺序排列,即 1 2 3,7,横截面,周向面,直径面各一对,一对横截面,两对纵截面,同 b),但从上表面截取,从A、B、C三点截取,单元体的选取:使单元体各个面上的应力已知或可以计算。,8,例题 1 画出如图所示梁 S
4、 截面的应力状态单元体.,9,S平面,10,y,例题2 画出如图所示梁的危险截面上,危险点的应力状态 单元体。,11,例题3 分析薄壁圆筒受内压时的应力状态,薄壁圆筒的横截面面积,(1).沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为F,12,(2).假想用一直径平面将圆筒截分为二,并取下半环为研究对象,13,圆杆受扭转和拉伸共同作用,14,8-2 平面应力状态下的应力分析,平面应力状态的普遍形式如图所示,单元体上有 x,xy 和 y,yx,15,一.解析法:求与主平面垂直的任意斜截面上的应力,16,:拉应力为正:顺时针转动为正:逆时针转动为正,e,f,a,dA,dAsin,dAcos,17,平衡对象 用 斜
5、截面截取的 微元局部,平衡方程,参加平衡的量 应力乘以其 作用的面积,平衡条件的应用 微元局部的平衡方程,,,18,19,整理并应用三角公式,得到,=常量,20,二.最大正应力及方位,1.最大正应力的方位,令,0 和 0+90确定两个互相垂直的平面,一个是最大正应力所在的平面,另一个是最小正应力所在的平面。,21,2.最大正应力,将 0 和 0+90代入公式,得到 max 和 min(主应力),下面还必须进一步判断 0 是 x 与哪一个主应力间的夹角,最大正应力和最小正应力所在平面就是主平面,最大正应力和最小正应力就是两个主应力,22,(1).当 x y 时,0 是 x 与 max 之间的夹角
6、.,(2).当 xy 时,0 是 x 与 min 之间的夹角.,(3).当 x=y 时,0=45,,则确定主应力方向的具体规则如下,若约定|0|45即 0 取值在 45范围内,主应力的方向可由单元体上切应力情况直观判断出来.,23,三.最大切应力及方位,1.最大切应力的方位:,令,1 和 1+90o 确定两个互相垂直的平面,一个是最大切应力所在的平面,另一个是最小切应力所在的平面。,24,2.最大切应力,将 1 和 1+90代入公式,得到 max 和 min,可见,25,例题4 简支梁如图所示.已知:mm 截面上 A 点的弯曲 正应力和切应力分别为=-70MPa,=50MPa.确定:A 点的主
7、应力及主平面的方位.,解:,把从 A 点处截取的单元体放大如图,26,因为 x y,所以 0=27.5 与 min 对应,27,例题 5 图示单元体。已知:x=-40MPa,y=60MPa,xy=-50MPa。试求:ef 截面上的应力情况及主应力和主单元体的方位。,(1)求 ef 截面上的应力,28,(2)求主应力和主单元体的方位,x=-40MPa y=60 MPa xy=-50MPa=-30,因为 x y,所以 0=-22.5 与 min 对应,29,30,解:(1)求主平面方位,因为 x=y,且 xy 0,例题 6 求:平面纯剪切应力状态的主应力及主平面方位.,xy,所以 0=-45与 m
8、ax 对应,(2)求主应力,1=,2=0,3=-,31,8-3 平面应力状态分析-图解法,一.莫尔圆,将斜截面应力计算公式改写为,把上面两式等号两边平方,然后相加便可消去,得,32,因为 x,y,xy 皆为已知量,所以上式是一个以,为变量的圆周方程。当斜截面随方位角 变化时,其上的应力,在-直角坐标系内的轨迹是一个圆。,1.圆心的坐标,2.圆的半径,此圆习惯上称为 应力圆,或称为莫尔圆。,33,(1)建-坐标系,选定比例尺。,二.应力圆作法,1.步骤,10MPa,34,o,(2)量取,OA=x,AD=xy,得 D 点,OB=y,(3)量取,BD=yx,得 D点,(4)连接 DD两点的直线与 轴
9、相交于 C 点,(5)以 C 为圆心,CD 为半径作圆,该圆就是相应于该单元体的应力圆.,35,(1).该圆的圆心 C 点到 坐标原点的距离为,(2).该圆半径为,2.证明,36,三.应力圆的应用,1.求单元体上任一 截面上的应力,从应力圆的半径 CD 按方位角 的转向,转动 2,得到半径 CE.圆周上 E 点的坐标就依次为斜截面上的正应力 和切应力。,37,证明:,38,2.几种对应关系,1).点面对应 应力圆上某一点的坐标值 对应着微元某一方向截面上的正应力和切应力;2).转向对应 起量线(截面外法线与半径线)相对应,半径线旋转方向与法线方位角旋转 方向一致;3).二倍角对应 半径转过的角
10、度是方位角旋转 角度的两倍。,39,点 面 对 应,40,转向对应、二倍角对应,41,2.求主应力数值和主平面位置,(1)主应力数值,A1 和 B1 两点为与主平面对应的点,其横坐标 为主应力 1,2,42,(2)主平面方位,由 CD 顺时针转 20 到 CA1,所以单元体上从 x 轴顺时针转 0(负值)即到 1 对应的主平面的外法线,0 即 1 对应的主平面方位.,43,3.求最大切应力,G1 和 G 2 两点的纵坐标分别代表最大和最小切应力,因为最大最小切应力等于应力圆的半径,44,例题7 从水坝体内某点处取出的单元体如图所示,x=-1MPa,y=-0.4MPa,xy=-0.2MPa,yx
11、=0.2MPa,(1)绘出相应的应力圆,(2)确定此单元体在=30o 和=-40o 两斜面上的应力。,解:(1)画应力圆,量取 OA=x=-1,AD=xy=-0.2,定出 D 点;,OB=y=-0.4 和 BD=yx=0.2,定出 D点.,以 DD 为直径绘出的圆即为应力圆。,45,将半径 CD 逆时针转动 2=60到半径 CE,E 点的坐标就代表=30斜截面上的应力。,(2)确定=30斜截面上的应力,(3)确定=-40斜截面上的应力,将半径 CD 顺时针转 2=80到半径 CF,F 点的坐标就代表=-40 斜截面上的应力。,46,例题8 两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图所示,梁的横截面尺寸
12、示于图中。试:绘出截面 c 上 a,b 两点 处的应力圆,并用应力圆求出这两点处的主应力。,47,解:(1)首先计算支反力,并作出梁的剪力图和弯矩图,Mmax=MC=80 kNm,FSmax=FC左=200 kN,48,(2).横截面 C 上 a 点的应力为,a 点的单元体如图所示,49,由 x,xy 定出 D 点,由 y,yx 定出 D点。,以 DD为直径作应力圆,O,(3).做应力圆,x=122.5MPa,xy=64.6MPay=0,yx=-64.6MPa。,A1,A2 两点的横坐标分别代表 a 点的两个主应力 1 和 3.,A1 点对应于单元体上 1 所在的主平面,50,(4).横截面
13、C 上 b 点的应力,B 点的单元体如图所示,51,b 点的三个主应力为,1 所在的主平面就是 x 平面,即梁的横截面 C,52,例:一点处的应力状态如图所示。试:用应力圆求主应力。,120o,20,1,1,53,例:一点处的应力状态如图所示(应力单位为 MPa)。试:用应力圆求主应力及其作用平面。,20,0,54,已知:受力物体内某一点处三个主应力 1、2、3,利用应力圆确定该点的最大正应力和最大切应力。,一.空间应力状态下的最大正应力和最大切应力,8-4 三向应力状态分析,55,首先研究与其中一个主平面(例如主应力 3 所在的平面)垂直的斜截面上的应力。,用截面法,沿求应力的截面将单元体截
14、为两部分,取左下部分为研究对象,56,主应力 3 所在的两平面上是一对自相平衡的力,因而该斜面上的应力,与 3 无关,只由主应力 1,2 决定.与 3 垂直的斜截面上的应力可由 1,2 作出的 应力圆上的点来表示(看成二向应力状态),57,该应力圆上的点对应于与 3 垂直的所有斜截面上的应力;与主应力 2 所在主平面垂直的斜截面上的应力,可用由 1,3 作出的应力圆上的点来表示;与主应力 所在主平面垂直的 斜截面上的应力,可用由 2,3 作出的 应力圆的点来表示.,O,58,abc 截面表示与三个主平面斜交的任意斜截面,可以证明:该截面上应力 和 对应的 D 点,必位于上述三个应力圆所围成 的
15、阴影内.,三个应力圆圆周上的点及由它们围成的阴影部分上的 点的坐标,代表了空间应力状态下所有截面上的应力。,59,结 论,1.三个应力圆圆周上的点及由它们围成的阴影部分上的 点的坐标代表了空间应力状态下所有截面上的应力。2.该点处的最大正应力(指代数值)应等于最大应力圆上 A 点的横坐标 1 即,3.最大切应力则等于最大的 应力圆的半径,4.最大切应力所在的截面,与 2 所在的主平面垂直,并与 1 和 3 所在的主平面成 450 角。5.与二向应力状态一样,有:,=常量,60,例题9 单元体的应力如图所示,作应力圆,并求出主应力和最大切应力值及其作用面方位。,解:该单元体有一个已知主应力,因此
16、与该主平面正交的各截面上的应力与主应力 z 无关,依据 x 截面和 y 截面上的应力画出应力圆,求另外两个主应力。,z=20MPa,61,由 x,xy 定出 D 点,由 y,yx 定出 D点.,以 DD为直径作应力圆,A1,A2 两点的横坐标分别代表另外两个主应力 1 和 3,1=46MPa,3=-26MPa,该单元体的三个主应力,1=46MPa,2=20MPa,3=-26MPa,根据上述主应力,作出三个应力圆,可量出,62,一.各向同性材料的广义胡克定律 讨论空间应力状态下应力与应变之间的关系 1.符号规定(1).正应力:拉应力为正,压应力为负.(2).切应力:对单元体内任一点取矩,若产生的
17、矩为顺时针,则为正;反之为负.(3).线应变:以伸长为正,缩短为负;(4).切应变:使直角减小为正,增大为负.,8-5 广义胡克定律,63,x 方向的线应变,用叠加原理,分别计算出 x,y,z 分别单独存在时,x,y,z 方向的线应变 x,y,z,然后代数相加。,2.各向同性材料的广义胡克定律,单独存在时,单独存在时,单独存在时,64,在 x、y、z 同时存在时,x 方向的线应变 x 为,同理,在 x、y、z 同时存在时,y,z 方向的线应变为,在 xy,yz,zx 三个面内的切应变为,65,上式称为 广义胡克定律,沿 x、y、z 轴的线应变 在 xy、yz、zx 面内的角应变,66,对于平面
18、应力状态(假设 z=0,xz=0,yz=0),67,3.主应力-主应变的关系,二向应力状态下:设 3=0,已知 1、2、3;1、2、3 为主应变,或,68,二.各向同性材料的体积应变,构件每单位体积的体积变化,称为体积应变用表示.,各向同性材料在三向应力状态下的体积应变:,如图所示的单元体,三个边长为 a1,a2,a3,变形后的边长分别为,变形后单元体的体积为,a1(1+,a2(1+2,a3(1+3,V1=a1(1+a2(1+2 a3(1+3,单元体的单位体积变化为,体积应变,69,体积应变为,代入广义胡克定律,略去应变的二次以上微量,或,70,1.纯剪切应力状态下的体积应变,即在小变形下,切
19、应力不引起各向同性材料的体积改变.,2.三向等值应力单元体的体积应变,三个主应力的平均值为,单元体的体积应变,平均应力,体积应变胡克定律,71,这两个单元体的体积应变相同,单元体的三个主应变为,72,如果变形前单元体的三个棱边成某种比例,由于三个棱边应变相同,则变形后的三个棱边的长度仍保持这种比例。所以在三向等值应力 m 的作用下,单元体变形后的形状和变形前的相似,称这样的单元体是形状不变的.,在一般的空间应力状态下,材料的体积应变只与三个线应变 x,y,z 有关,仿照上述推导有:,在任意形式的应力状态下,各向同性材料内一点处的体积应变与通过该点的任意三个相互垂直的平面上的正应力之和成正比,而
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