材料力学-弯曲变形.ppt

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1、第 七 章弯曲变形,7.2 挠曲线的近似微分方程,7.3 用积分法求挠度和转角,7.4 用叠加法求挠度和转角,第七章 弯曲变形,7.5 梁的刚度计算,7.1 概述,7.6 简单超静定梁,7.7 梁的弯曲应变能,7.8 提高弯曲刚度的措施,弯曲变形,7-1 概述,若变形过大，会引起较大的振动，破坏起吊工作的平稳性。,一、工程中的弯曲变形问题,4,弯曲变形,若变形过大，不仅会影响齿轮的啮合和轴承的配合，使传动不平稳，磨损加快，而且还会严重地影响加工精度。,又如，车床主轴：,5,弯曲变形,又如，如图所示轮轴：,若轮轴的变形过大，会使轮子不能正常啮合，影响工作的平稳性等。,6,弯曲变形,但有时又有相反

2、要求，要求构件有适当变形，才能符合使用要求。,如汽车叠板弹簧，要求产生较大变形，才能在车辆行驶时发挥缓冲减振作用符合使用要求。,此外，弯曲变形的计算还经常应用于超静定系统的求解。,二、弯曲变形的量度挠度和转角,原为直线的轴线AB弯曲成光滑而连续的曲线，,该曲线称为该梁的挠曲线。,在平面弯曲的情况下，挠曲线是位于载荷平面内的平面曲线。,竖直位移 w 称为挠度，取向上为正。,横截面的转角，和挠曲线在该截面形心处的切线与x 轴的夹角相等。,小变形：,弯曲变形,挠曲线方程：,任意截面形心C,三位移：,水平位移x，,竖直位移w,角位移，,忽略,=w,角位移 称为转角，逆时针方向为正。,弯曲变形,7.2

3、挠曲线的近似微分方程,前一章已得到：,纯弯曲梁,横力弯曲梁（近似）,任意曲线曲率,或,则有,9,弯曲变形,例7-2-1 画出下列梁的挠曲线大致形状。,A,m,m,C,B,L,L,解:建立坐标系并作弯矩图,AB段:,w上凸,BC段:,同时B处须满足连续光滑条件，即曲线与直线在B点相切。,边界条件:,w=0,10,弯曲变形,例7-2-2 等截面直梁，其挠曲线，长度为l，确定梁的载荷、支撑情况。,故可确定其为悬臂梁。,解:作弯矩图、剪力图,边界条件,转角方程,挠度方程,C、D 为积分常数；由边界条件和连续性条件确定。,边界条件:,固定端：w0；0；,铰支座：w0；,弯曲变形的对称点：0。,连续性条件

4、:挠曲线上任意点的挠度和转角只有一个值。,弯曲变形,7-3 用积分法求梁的变形,例7-3-1用积分法求挠度方程和转角方程，并确定绝对值最大的转角和最大的挠度。设EI为常量。,解：(1)求支反力，列弯矩方程,(2)建立挠曲线近似微分方程，并积分,(3)利用边界条件确定积分常数,弯曲变形,(5)求最大值,(4)求转角方程、挠度方程,弯曲变形的对称点：0。,弯曲变形,例7-3-2 用积分法求C截面的转角和挠度，EI为常量。,解：(1)分段写弯矩方程,(2)分段建立挠曲线近似微分方程，并积分,弯曲变形,(3)确定积分常数,边界条件:,连续性条件:,(4)C截面的挠度和转角,弯曲变形,AC段：,AB段：

5、,叠加原理：当梁上同时作用几个载荷时，梁的某一参量（反力、内力、应力、变形）等于每个载荷单独作用时所引起的该参量的代数和。,叠加法：应用叠加原理计算梁的某一参量的方法。前提条件：小变形，材料服从虎克定律。,*表7-1,弯曲变形,7-4 用叠加法求梁的变形,=,+,例7-4-1 用叠加法求C点挠度。,解：简单载荷引起的变形,弯曲变形,叠加,表7.1第7栏,表7.1第9栏,F,例7-4-2 用叠加法求C点挠度。,解:积分法,弯曲变形,表7.1第8栏,例7-4-3 用叠加法求C截面的转角和挠度。,a,l,A,B,F,C,解：(1)假设CA段为刚性，研究简支梁AB的变形所引起的C截面的转角和挠度,A,

6、B,C,(2)假设AB段为刚性，外伸段CA看作悬臂梁：,表7.1第2栏,表7.1第5栏,(3)叠加法求C截面的挠度和转角,弯曲变形,例7-4-4 等截面刚架A端的水平位移xA 和竖直位移yA。,b,EI,C,EI,P,A,B,等价,等价,解：(1)刚化AB段：,(2)刚化BC段：,弯曲变形,刚化AB:,刚化BC:,(3)叠加：,*逐段刚化法,弯曲变形,2a,A,B,q,例7-4-5 用叠加法求中点C挠度和梁端截面B的转角。,C,D,E,2l,解：C为对称点，故C截面的转角为0。,表7.1第2栏,在RB作用下：,表7.1第4栏,在 q 作用下：,弯曲变形,一、刚度条件：,叠加：,弯曲变形,2a,

7、A,B,q,C,D,E,2l,7-5 梁的刚度计算,例7-5-1 一空心圆杆，内外径：d=40mm、D=80mm，E=210GPa，C点的w/L=0.0001，B点的=0.001弧度，试核此杆的刚度。,+,弯曲变形,解：查表求简单载荷变形,叠加,=,校核刚度,弯曲变形,刚度条件满足。,26,一、基本概念,弯曲变形,2 超静定问题：单纯依靠静力平衡方程不能确定出全部未知力（支反力、内力）的问题。,1 静定问题：单纯依靠静力平衡方程能够确定全部未知力（支反力、内力）的问题。,3 超静定次数 n：n=未知力数独立的平衡方程数,7-6 简单超静定梁,27,1 静定结构除荷载外，其他因素如温度改变、支座

8、移动、制造误差、材料收缩等都不引起内力，即静定结构无装配应力、无温度应力等；而超静定结构中，任何因素都可能引起内力。,2 静定结构与结构的材料性质和截面尺寸无关，而超静定结构与结构的材料性质和截面尺寸有关。,二、超静定结构的特性,3 超静定结构的刚度比相应的静定结构要大。,4 超静定结构在多余联系破坏后，仍然能维持几何不变性，而静定结构在任一联系破坏后就变成了几何可变体系。,弯曲变形,求解弯曲超静定问题时，首先要选择原超静定结构的静定基，得其相当系统。,28,=,弯曲变形,q0,l,A,B,例7-7-1 求支座B的反力。,（2）变形协调方程：,解：(1)确定静定基，得原结构的相当系统：,+,(

9、3)物理方程,(4)补充方程,变形比较法,29,(2）变形协调方程：,解：(1)确定静定基，得原结构的相当系统：,例7-7-2 求BC杆的内力。,+,=,弯曲变形,30,(3)物理方程,(4)补充方程,等价,q0,+,=,弯曲变形,31,弯曲变形,例7-7-3 如图所示双梁系统，弹簧刚度K，上下梁的抗弯刚度均为EI，求（1）弹簧受力大小，（2）当P/(q0l)=?时弹簧不受力。,l/2,l/2,l/2,l/2,解：(1)确定静定基，得原结构的相当系统：,32,弯曲变形,（5）令F=0，,(2)变形协调方程：,(3)物理方程,(4)补充方程,F,下梁,F,上梁,得P/q0l=5/8,33,弯曲变

10、形,例7-7-4 两端固定梁，求内力。,B,A,C,F,a,b,l,二次超静定结构,(2)变形协调方程：,解：(1)确定静定基，得原结构的相当系统：,(3)物理方程,34,弯曲变形,(4)补充方程,B,A,C,a,b,l,(5)叠加法求内力,F,35,一、,弯曲应变能：,应变能等于外力功。不计剪切应变能,弯曲变形,曲率,7-7 梁的弯曲应变能,36,例7-8-1 用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。,解：外力功等于应变能,利用对称性，得：,思考：分布荷载时，可否用此法求C点位移？,弯曲变形,挠曲线近似微分方程：,转角方程,挠度方程,C、D 积分常数；由边界条件和连续性条件确定。,弯曲刚度条件：,弯曲正应力强度条件：,弯曲变形,7-8 提高弯曲刚度的措施,一、选择合理的截面,对于面积相等的不同形状的截面，,工字形、槽形、T形截面比面积相等的矩形截面有更高的弯曲刚度。,说明：各种钢材的弹性模量E大致相同，故采用高强度钢材不能提高弯曲刚度。,弯曲变形,选择I/A较大的截面,二、改善梁的受力情况,1.合理安排梁的约束，减小梁跨。,弯曲应力,40,2.改变加载方式，尽量使荷载分散或靠近支座。,弯曲应力,第七章 弯曲变形,结 束,