机电一体化系统数学建模.ppt

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1、第二章 机电一体化系统数学建模,2.1 机械系统模型 2.2 电路系统模型 2.3 液压、气压系统模型 2.4 数字系统模型2.5 机电一体化系统建模实例,第二章 受控机械系统分析,建立受控机械系统动态模型的理论依据：动力学普遍定律，如牛顿第二定律、欧拉动力学方程、拉格朗日方程、相关的运动学方程以及产生电场力和磁场力的方程。,建立受控机械系统动态模型的具体做法：首先，列写系统微分方程组；然后，通过拉氏变换将微分方程组转换为等价的代数方程组，并根据代数方程组画出系统的传递函数方块图；最后，通过方块图简化，或消去代数方程组的中间变量，获得感兴趣的输出拉氏变换与输入拉氏变换之比的系统传递函数。,2.

2、1 质点平移系统,2.1 质点平移系统,建立由质点弹簧阻尼器组成的质点平移系统的动态数学模型时，一般利用牛顿第二定律列写该系统的动力学微分方程。具体方法是：首先，系统中的每一个质点必须列写一个微分方程；其次，每一个微分方程的左边为该质点的惯性力（即质量与加速度的乘积），右边等于与该质点相连结的弹簧力和阻尼力以及外作用力之和；第三，注意弹簧力和阻尼力都是起阻止质点运动的，应按照这一物理原理决定这两个作用力的符号。,机械移动系统,平移系统的建模方法,机械移动系统,2.1 质点平移系统,问题1 考虑单自由度质量弹簧系统，质量为m的质点通过刚度为K的弹簧和阻尼系数为b的阻尼器悬挂在机壳上，建立质点平移

3、系统数学模型。,解答：系统的微分方程为,质点相对壳体的位移为,自然频率,阻尼比,2.1 质点平移系统,问题1 解答：,拉氏变换：,由加速度作为输入、质点相对壳体的位移作为输出，系统的传递函数为：,2.1 质点平移系统,问题2 质点振动系统。这是一个单轮汽车支撑系统的简化模型。m1代表汽车质量，B代表振动阻尼器，K1为弹簧，m2为轮子的质量，K2为轮胎的弹性，建立质点平移系统数学模型。,解答：,拉氏变换：,2.1 质点平移系统,问题2 解答：,2.1 质点平移系统,问题2 解答：,2.1 质点平移系统,习题1 图示机械平移系统的传递函数，并画出它们的动态结构方框图。,2.1 质点平移系统,习题2

4、 图示机械平移系统的传递函数，并画出它们的动态结构方框图。,2.2 定轴旋转系统,转动惯量,弹簧,阻尼,2.2 定轴旋转系统,问题3 考虑打印机中的步进电动机-同步齿形带驱动装置，下图示其模型。图中，K、B分别表示同步齿形带的弹性和阻尼，M(t)为步进电动机的转矩，Jm和JL分别表示步进电动机转子和负载的转动惯量，i和o分别表示输入轴和输出轴的转角。,解答：,对输入轴列方程:,对输出轴列方程:,拉氏变换,2.2 定轴旋转系统,问题3 解答：,2.2 定轴旋转系统,问题3 解答：,习题1 图示机械转动系统的传递函数，并画出它们的动态结构方框图。,2.2 定轴旋转系统,习题2 图示机械转动系统的传

5、递函数，并画出它们的动态结构方框图。,2.2 定轴旋转系统,2.2 电路系统模型,2.2.1 电路网络,电路网络包括无源电路网络和有源电路网络两部分。建立电路网络动态模型依据是电路方面的物理定律，如基尔霍夫定律。,1、RC网络,2、RC无源网络,得传递函数为：,令，可得该网络频率特性为：,3、无源双T网络,为 运算放大器的传递函数,4、运算放大器,5、比例微分调节器,2.3 液压、气压系统模型,应用流体驱动的动力缸或马达作为执行元件的系统，称为液、气伺服系统,2.3.1 液压伺服马达的传递函数,1、液压滑阀的流量方程,1、液压滑阀的流量方程,为了使问题简化，我们把非线性函数在工作点展成泰勒级数

6、，取一阶近似式，得到增量方程。,增量方程为：,将方程的坐标零点置于工作点，有QLI=0可得线性方程为,Kq为滑阀流量增益，Kc为滑阀流量压力系数。,2、液压缸流量连续性方程,引入泄露系数，可得左半腔流量连续方程为：,同理，可得右半腔流量连续性方程为：,设活塞工作面积为A，位移为y,并假设活塞在中位附近有小位移，有,系统稳定时负载流量表示的液压缸的流量连续性方程：,3、液压缸负载的力平衡方程,对其进行拉普拉斯变换有,可以建立阀控液压缸系统的动态结构图,由图可以看出，位移Y为系统输出量，滑阀阀芯位移XV为给定输入量，外力F为干扰输入量,2.4 数字系统模型,2.3 机械传动装置,2.3.1 旋转直

7、线变换,丝杠螺母副,小齿轮齿条副,同步齿形带,2.3 机械传动装置,2.3.1 旋转直线变换,直线运动的负载质量可以等价转换为主动轴上的转动惯量,2.3 机械传动装置,2.3.2 速比折合,齿轮传动系统,由轴1到轴2的传动比,2.3 机械传动装置,2.3.2 速比折合,齿轮传动系统,2.3 机械传动装置,2.3.2 速比折合,齿轮传动系统,2.3 机械传动装置,2.3.2 速比折合,齿轮传动系统,结论：由从动轴2向主动轴1折合，从动轴上的转动惯量、阻尼系数都要乘以由轴1到轴2的传动比的二次方，而转矩只乘以传动比的一次方。反之亦然。,2.3 机械传动装置,2.3.3 非刚性传动链,2.3 机械传

8、动装置,2.3.3 非刚性传动链,2.3 机械传动装置,2.3.3 非刚性传动链,拉氏变换,2.3 机械传动装置,2.3.3 非刚性传动链,2.3 机械传动装置,2.3.3 非刚性传动链,2.3 机械传动装置,2.3.3 非刚性传动链,结论：对于一个无功率消耗的传动系统，从动轴上的转动惯量J、黏性阻尼系数B以及弹性系数K折合到主动轴上，都必须乘以由主动轴到从动轴的传动比的二次方n2，才能得到等效的转动惯量n2 J等效的黏性阻尼系数n2 B以及等效的弹性系数n2 K。而从动轴的转角和作用在从动轴上的转矩折合到主动轴上，则必须分别除以和乘以传动比n。这样，主动轴和等效的从动轴可以串接起来，作为单轴

9、的机械转动系统处理。,5.机械结构因素对伺服系统性能的影响,机电伺服系统的基本框图：伺服电动机前串联放大器，并加位置检测器进行负反馈。,5.机械结构因素对伺服系统性能的影响,闭环系统的传递函数为,二阶振荡环节特性,系统的增益，,系统的阻尼比，,式中：系统的无阻尼固有频率，,5.机械结构因素对伺服系统性能的影响,e、Be是电机和整个系统折算到电机轴上的等效惯量和粘性系数，KT 是电机的转矩常数，Kb是反 电势常数，Ra 是电枢电路电阻。,系统的机电时间常数，,伺服电机的速度增益，,伺服系统工作时，要求系统的输出能平稳地、快速地、准确地跟随输入指令动作。伺服系统的性能指标与系统的机械、电气参数均有

10、密切关系。,机械结构方面的非线性：非线性摩擦、传动间隙、结构弹性变形等。,5.机械结构因素对伺服系统性能的影响,摩擦力矩-速度特性曲线,一、摩擦的非线形特性,5.2.1 摩擦,起始点为静摩擦力矩；低速时为边界和混合摩擦状态，动摩擦力矩 随速度的增加而降低；当速度加大到动压效应处于流体摩擦状态时，粘滞摩擦力矩 随速度的增加而增大。因此在静止及低速时，摩擦力矩的变化是非线性。,5.机械结构因素对伺服系统性能的影响,二、摩擦引起的伺服系统误差,静摩擦力矩Ts产生的误差为：,伺服系统刚度,5.2.1 摩擦,5.机械结构因素对伺服系统性能的影响,设临界速度为vc,不同的传动系统都有自己的临界速度。计算临

11、界速度和临界角速度的估算公式：,三、摩擦引起的低速爬行,进给传动机构的力学模型,5.2.1 摩擦,主动件速度v1小于、大于临界速度vc时移动件速度v2的变化,5.机械结构因素对伺服系统性能的影响,1.尽量降低动、静摩擦力之间的差值 在滑动接触面上开油槽，贮存高性能的润滑剂。采用低摩擦系数的贴塑或涂塑导轨副。变滑动摩擦为滚动摩擦，如滚动导轨。采用静压或气浮支承，如静压导轨等。2.适当增加系统粘滞阻尼系数 如电动机增加测速反馈以加大电气粘滞阻尼。加大机械润滑剂的粘度。但是需注意，增加阻尼对伺服性能快速性有不利的一面。3.提高系统的刚度 用缩短传动链、增大结构尺寸、提高结合面加工粗糙度等方法来提高机

12、械系统刚度；用杜绝漏油、增大活塞杆尺寸等方法来提高液压系统的刚度。4.适当增加系统的质量、转动惯量 可使加速度、角加速度减小，速度波动减小，有利于改善低速运动平稳性。但是，质量、惯量的增加将引起伺服系统响应性能降低。,5.2.1 摩擦,四、改善低速爬行的措施,5.机械结构因素对伺服系统性能的影响,间隙,一、齿隙的滞环形非线性特性,齿轮传动非线性关系,齿隙存在原因：齿轮在加工、装配和使用中各种误差因素的存在；由于客观需要在相互啮合的两齿轮的非工作齿面之间留有一定的侧向间隙以储存润滑油，开补偿由于温度和弹性变形所引起的尺寸变化，避免齿轮卡死，非线性关系产生的原因：齿隙的存在对于工作在可逆运转的传动

13、装置就造成了空程误差（回差）。这样，传动装置的输出轴与输入轴之间的关系就不是单值的线性关系，而是具有滞环形的非单值的非线性关系。,5.机械结构因素对伺服系统性能的影响,二、齿隙对伺服系统性能的影响,G2、G4:动力驱动 G1、G3：数据传递由于它们在系统中的位置不同，其齿隙对伺服性能的影响也是各不相同的。,齿隙会影响系统的伺服精度，还要影响系统的稳定性。,间隙,5.机械结构因素对伺服系统性能的影响,1.闭环内前向通道上动力齿轮传动装置G2 影响伺服稳定性，容易引起持续振荡。在系统稳定的前提下对伺服精度无影响。2.闭环外反馈前数据输入通道上齿轮传动装置G1 不影响伺服稳定性，影响伺服精度,二、齿

14、隙对伺服系统性能的影响,间隙,5.机械结构因素对伺服系统性能的影响,二、齿隙对伺服系统性能的影响,间隙,3.闭环内反馈数据通道中齿轮传动装置G3 对伺服稳定性、伺服精度都有影响 4.闭环外反馈后输出通道上的齿轮传动装置G4（同G1）影响伺服稳定性，不影响系统精度,1.从系统设计角度来考虑 增大阻尼力矩，可减弱齿隙对伺服稳定性的影响。改善系统中的增益分布（提高齿隙前面环节的增益，降低齿隙后面环节的 增益），可减弱齿隙对伺服精度影响。,5.机械结构因素对伺服系统性能的影响,三、减弱或消除齿隙的若干措施,间隙,2.从机械设计角度来考虑 提高精度和采用各种消隙措施（在 末级啮合副上采用消隙的效果十分显

15、著）,5.机械结构因素对伺服系统性能的影响,三、减弱或消除齿隙的若干措施,间隙,偏心轴套式消除间隙结构1一偏心环 2一电液脉冲马达,圆柱薄片齿轮周向弹簧错齿调接法1一弹簧 2一短柱 3、4一齿轮,圆柱薄片齿轮可调拉簧错齿调整法1、6、7凸耳 2一弹簧 3、4 螺母 5螺钉 8、9一薄片齿轮,2.从机械设计角度来考虑 提高精度和采用各种消隙措施（在 末级啮合副上采用消隙的效果十分显著）,5.机械结构因素对伺服系统性能的影响,三、减弱或消除齿隙的若干措施,间隙,斜齿薄片齿轮轴向压簧错齿调整法1、2一薄片齿轮 3一弹簧 4一键 5一螺母 6一轴 7一宽齿轮,齿轮齿条传动的齿侧隙消除法1、6一小齿轮

16、2、5一大齿轮 3一齿轮 4一预载力装置 7 齿条,5.机械结构因素对伺服系统性能的影响,双传动链摩擦阻尼消隙法,间隙,2.从机械设计角度来考虑 提高精度和采用各种消隙措施（在 末级啮合副上采用消隙的效果十分显著）,采用两个完全相同的传动链，伺服电动机驱动两个转向相反的输入齿轮，这两个齿轮分别安装在两个离合器的输入轴上，每个离合器与一套轮系相连，两套轮系最后都输出到大齿轮上。如果将一个离合器接通，另一个离合器脱开，与接通的离合器相连的一套轮系就驱动大齿轮转动。与此同时，输出轴上的大齿轮又倒拖着第二套轮系。当第二个离合器接通，第一个离合器脱开时，就产生反向转动。在这种轮系驱动中，另一套轮系总将其

17、齿轮与轴承上的摩擦阻尼力施加在大齿轮上，这是一个较大的阻尼力矩，以此达到消隙的目的。,5.机械结构因素对伺服系统性能的影响,5.2.3 结构弹性变形,单质量扭振系统,阻尼比：,一、单质量扭振固有频率,当伺服电动机带动机械负载按指令运动时，机械系统所有传动轴（包括电动机轴在内）、轴上的齿轮、联轴器、箱体和基座等，均将产生程度不等的弹性变形，其变形量及固有频率通过计算可求得。根据机械结构在伺服系统中的位置不同，对伺服精度和系统稳定性的影响也是不同的。,扭振固有频率：,l 轴长度,材料剪切弹性模量,轴截面积惯性矩,二、伺服电动机机械系统固有频率,5.机械结构因素对伺服系统性能的影响,5.2.3 结构

18、弹性变形,等效系统的转换：,电动机惯量Jm、阻尼系数Bm；负载惯量JL、阻尼系数BL；齿轮传动比 I=Z2/Z1；轴1的刚度K1，轴2的刚度K2。假设齿轮是刚性的，惯量和齿隙为零。,第一步：将挠性轴2转换成绝对刚性轴，并用改变轴1的刚度来等效原系统。,在惯量Jm处的总偏转角为：,对于轴1，系统的等效刚度Ke为,二、伺服电动机机械系统固有频率,5.机械结构因素对伺服系统性能的影响,5.2.3 结构弹性变形,第二步：将轴2的负载惯量、阻尼系数折算到轴1上。,二、伺服电动机机械系统固有频率,将系统一部分的刚度、惯量、阻尼系数折算到转速高i倍的一边时，只需除以i的平方即可。相反的，折算到转速低的一边时

19、，只需乘以i的平方即可。,5.机械结构因素对伺服系统性能的影响,5.2.3 结构弹性变形,负载的简化模型,二、伺服电动机机械系统固有频率,5.机械结构因素对伺服系统性能的影响,5.2.3 结构弹性变形,电动机驱动的移动机械系统,伺服电动机机械系统的固有频率：,5.机械结构因素对伺服系统性能的影响,阻尼比：,工程实际中，为避免结构弹性变形引起伺服系统谐振应有：,5.2.3 结构弹性变形,负载最大角加速度（）,伺服精度（）,1.提高结构固有频率（1）提高结构刚度。采用弹性模量、切变模量较高的材料，合理选择构件截面几何形状和尺寸均可提高零件刚度。还要注意薄弱环节的刚度，如轴承、滚珠丝杠要预紧，联轴器

20、要消隙，与支承面安装接触处要提高表面粗糙度等来提高刚度。对固有频率影响大的环节要特别注意，如尽量提高靠近负载处的结构刚度，因为折算到电动机轴上的等效刚度的传动比最大。采用大扭矩电动机直接驱动，由于取消了扭转刚度薄弱的齿轮减速装置，可显著提高结构刚度。（2）减小惯量2.增加阻尼，抑制谐振 结构阻尼一般有接合面之间的摩擦阻尼和结构材料的内摩擦阻尼两种。通常螺栓联结的结构阻尼比焊接结构大，间断焊缝的阻尼比连续焊缝大。灰铸铁由于石墨的吸振作用，阻尼系数远大于钢。对于弯曲振动的构件，可在其表面喷涂一层高内阻尼的粘滞弹性材料（如沥青基制成的胶泥减振剂、高分子聚合物等），涂层厚度愈大，阻尼愈大。,5.机械结

21、构因素对伺服系统性能的影响,三、解决结构谐振问题的主要措施,5.2.3 结构弹性变形,5.机械结构因素对伺服系统性能的影响,5.2.4 惯量,惯量对伺服性能的影响表现为以下几方面：（1）惯量大，值将减小，从而使系统的振荡倾向增强，降低了稳定性；（2）惯量大，值将减小，从而使伺服系统带变小，限制了系统响应能力，使快速性和精度降低；（3）惯量适当增大仅在改善低速爬行时有利 对待惯量，一般情况下应尽可能使其减小。可以从结构、材料等方面着手。,一、带有传动机构的负载转矩的折算,在从电动机到负载的功率传递过程中，依靠机械传动装置进行转矩和转速的匹配。,53 机电部件的静态匹配,5.3.1 电机及负载的转

22、矩特性,负载转矩：工作负载转矩（如切削力矩、空气阻力矩等）、摩擦力矩和惯量转矩（动态转矩）,电动机要克服的负载转矩：1.峰值转矩：当各种负载为非随机性负载，则将各负载的峰值取代数和，称为峰值转矩，对应于电动机最严重的工作情况。2.均方根转矩 当各种负载为随机性负载，则取各负载的方根和，称为均方根转矩，对应于电动机长期连续地在变载荷下工作的情况。,峰值转矩折算：折算到电机轴上的负载峰值转矩为,5.3.1 电机及负载的转矩特性,53 机电部件的静态匹配,一、带有传动机构的负载转矩的折算,作用在负载轴上的各种峰值工作转矩,作用在负载轴上的峰值摩擦转矩,传动装置的总传动比,电动机转子的转动惯量,传动装

23、置的效率,传动装置各转、移动零件折算到电动机轴上的转动惯量,负载轴上的转动惯量,负载轴上的峰值角加速度,均方根转矩折算折算到电动机轴上的负载均方根转矩为,作用在负载轴上的均方根工作转矩、均方根摩擦转矩,负载的转距特性,531 电机及负载的转矩特性,53 机电部件的静态匹配,一、带有传动机构的负载转矩的折算,负载轴上的均方根角加速度,二、伺服电动机的转矩特性,由于总传动比，前式可改写为,5.3.1 电机及负载的转矩特性,5.3 机电部件的静态匹配,1、直流伺服电动机的转矩特性,为信号系数,为 时电动机的起动转矩（堵转转矩）,电动机的控制电压、额定电压,电动机的反电势常数、转矩常数、电枢绕组的电阻

24、,直流伺服电动机的转矩特性曲线,二、伺服电动机的转矩特性,5.3.1 电机及负载的转矩特性,5.3 机电部件的静态匹配,2、交流伺服电动机的转矩特性,时电动机的空载角速度,交流伺服电动机的转矩特性曲线,传动比的选择,最高转速和最低转速所要求的传动比可能是不一样的，两者之间必须满足,目的：得到传动比的取值范围和最佳传动比,5.3 机电部件的静态匹配,一、转速匹配,总传动比的选择首先必须满足负载速度的要求，即,电动机最高额定转速,电动机最低稳定转速,负载的最高转速,负载的最低转速,三、最佳传动比,传动比的选择,5.3 机电部件的静态匹配,1、使折算峰值转矩最小的总传动比,2、使折算均方根转矩最小的

25、总传动比,3、使负载加速度最大的总传动比,最严重的情况下，发动机转矩是用来克服峰值转矩。,传动比的选择,5.3 机电部件的静态匹配,注意：以上三种最佳传动比在数值上是不一致的，但都应该在各自的范围中间。（转速匹配、两种转矩匹配）,传动比选得大一些：抑制振荡、低速稳定性较好、系统快速性较好、不容易使负载速度过高。,传动比选得小一些：电动机不在高速区工作，有利于提高电动机寿命；另外，能简化减速装置，减少传动级数，提高传动精度、刚度和效率。,5.3.3 传动比的分配,伺服电动机与负载之间的总传动比一般比较大。传动级数取得过少：每一级的传动比就大，会使整个传动装置的结构过大；传动级数增加：齿轮传动的总

26、惯量JGm就比较小，但传动效率就降低，齿隙和摩擦力增加。,5.3 机电部件的静态匹配,一、传动级数的选择,5.3.3 传动比的分配,5.3 机电部件的静态匹配,一、传动级数的选择,二、各级传动比的分配,（1）小功率传动 各级齿轮传动所用模数相同，齿宽相同的情况。特点：按从电动机到负载的方向，传动比逐 级增大。,5.3.3 传动比的分配,5.3 机电部件的静态匹配,1、按折算转动惯量最小的原则,（）大功率传动 低级模数、齿宽均比高速级大的情况,确定第一级传动比曲线,确定随后级传动比,二、各级传动比的分配,5.3.3 传动比的分配,5.3 机电部件的静态匹配,1、按折算转动惯量最小的原则,应按“前

27、小后大”次序分配传动比，而且要使最末一级传动比尽可能大，同时最末一级齿轮副的精度应最高。,二、各级传动比的分配,5.3.3 传动比的分配,5.3 机电部件的静态匹配,2、按折算转角误差最小的原则,折算到负载轴上的总转角误差为,第个齿轮的转角误差,第个齿轮所在轴至输出轴的传动比,3、按重量最轻的原则（1）小功率传动：各级传动比相等。（2）大功率传动：,“前大后小”,二、各级传动比的分配,5.3.3 传动比的分配,5.3 机电部件的静态匹配,确定二级传动比的曲线,确定三级传动比的曲线,（1）对于提高传动精度和减小回程误差为主的齿轮减速系统可按折算误差最小的原则。（2）对于要求运转平稳、起动频繁和动态性能好的伺服齿轮系可按折算转动惯量最小的原则。（3）对于要求体积小、重量轻的齿轮传动链可按重量最轻的原则。（4）当传动比比较大时，前几级可按折算转动惯量最小的原则，而后几级的惯量折算到电动机轴上已大为减少，可按重量最轻的原则。,综上所述，分配各级传动比时：,二、各级传动比的分配,5.3.3 传动比的分配,5.3 机电部件的静态匹配,