方向导数与梯度的关系.ppt

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1、第7章 多元函数微分法及其应用,7.2.2 复合函数与隐函数的偏导数 方向导数与梯度,多元函数的基本概念(130),2,7.2.2 复合函数与隐函数的偏导数,复合函数的偏导数:,多元函数的基本概念(130),3,证,则,多元函数的基本概念(130),4,上面的结论可推广到中间变量更多的情况，,如,以上公式中的导数 称为全导数.,多元函数的基本概念(130),5,上定理还可推广到中间变量是多元函数的情况：,多元函数的基本概念(130),6,链式法则如图示：,多元函数的基本概念(130),7,多元函数的基本概念(130),8,特殊地,即,令,其中,两者的区别,区别类似,多元函数的基本概念(130)

2、,9,解,多元函数的基本概念(130),10,解,多元函数的基本概念(130),11,解,令,记,同理有,多元函数的基本概念(130),12,于是,多元函数的基本概念(130),13,实质：无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的,即,一阶全微分的形式不变性:,多元函数的基本概念(130),14,多元函数的基本概念(130),15,解,多元函数的基本概念(130),16,隐函数的求导公式,隐函数的偏导数:,多元函数的基本概念(130),17,解,令,则,多元函数的基本概念(130),18,多元函数的基本概念(130),19,解,令,则,多元函数的基本概念(130),20

3、,多元函数的基本概念(130),21,解,令,则,多元函数的基本概念(130),22,思路(1)代入公式求解；（2）,多元函数的基本概念(130),23,整理得,解,令,则,多元函数的基本概念(130),24,整理得,整理得,多元函数的基本概念(130),25,多元函数的基本概念(130),26,多元函数的基本概念(130),27,多元函数的基本概念(130),28,解1,直接代入公式；,解2,运用公式推导的方法，,将所给方程的两边对 求导并移项,多元函数的基本概念(130),29,将所给方程的两边对 求导，用同样方法得,多元函数的基本概念(130),30,1、链式法则（三种情况）,2、全微分

4、形式不变性,（特别要注意课中所讲的特殊情况）,（理解其实质）,7.2.4 小结与思考题,多元函数的基本概念(130),31,（分以下几种情况）,3、隐函数的求导法则,多元函数的基本概念(130),32,思考题,多元函数的基本概念(130),33,思考题解答,多元函数的基本概念(130),34,思考题,多元函数的基本概念(130),35,思考题解答,多元函数的基本概念(130),36,课堂练习题,多元函数的基本概念(130),37,多元函数的基本概念(130),38,课堂练习题答案,多元函数的基本概念(130),39,多元函数的基本概念(130),40,实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是

5、(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？,实质：应沿由热变冷变化最剧烈的方向爬行,7.2.3 方向导数与梯度,多元函数的基本概念(130),41,方向导数:,（如图）,二元函数的方向导数：,多元函数的基本概念(130),42,当 沿着 趋于 时，,是否存在？,多元函数的基本概念(130),43,记为,多元函数的基本概念(130),44,证,由于函数可微，则增量可表示为,两边同除以,得到,多元函数的基本概念(130),45,故有

6、方向导数,多元函数的基本概念(130),46,解,多元函数的基本概念(130),47,解,由方向导数的计算公式知,多元函数的基本概念(130),48,故,多元函数的基本概念(130),49,三元函数的方向导数：,多元函数的基本概念(130),50,多元函数的基本概念(130),51,梯度,多元函数的基本概念(130),52,多元函数的基本概念(130),53,结论：,多元函数的基本概念(130),54,在几何上 表示一个曲面,曲面被平面 所截得,所得曲线在xoy面上投影如图,等高线,梯度为等高线上的法向量,多元函数的基本概念(130),55,等高线的画法,播放,多元函数的基本概念(130),5

7、6,等高线的画法,多元函数的基本概念(130),57,等高线的画法,多元函数的基本概念(130),58,等高线的画法,多元函数的基本概念(130),59,等高线的画法,多元函数的基本概念(130),60,等高线的画法,多元函数的基本概念(130),61,等高线的画法,多元函数的基本概念(130),62,等高线的画法,多元函数的基本概念(130),63,等高线的画法,多元函数的基本概念(130),64,等高线的画法,多元函数的基本概念(130),65,播放,等高线的画法,多元函数的基本概念(130),66,例如,多元函数的基本概念(130),67,多元函数的基本概念(130),68,梯度与等高线

8、的关系：,多元函数的基本概念(130),69,类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.,梯度概念的推广：,多元函数的基本概念(130),70,解,由梯度计算公式得,故,多元函数的基本概念(130),71,1、方向导数的概念,2、梯度的概念,3、方向导数与梯度的关系,（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）,（注意梯度是一个向量）,7.2.4 小结与思考题,多元函数的基本概念(130),72,思考题,多元函数的基本概念(130),73,思考题解答,多元函数的基本概念(130),74,多元函数的基本概念(130),75,课堂练习题,多元函数的基本概念(130),76,多元函数的基本概念(130),77,课堂练习题答案,