换元与分部积分法.ppt

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1、5.2 内容回顾,变限积分的求导:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一般地:,公式:,设F(x)是连续函数f(x)的其一个原函数,则,(微积分基本公式),设 f(x)是连续函数,则,二、定积分的分部积分法,不定积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、定积分的换元法,换元积分法,分部积分法,定积分,换元积分法,分部积分法,5.3 定积分的换元法和,分部积分法,第五章,一、定积分的换元法,定理1.设函数,单值函数,满足:,1),2)在,上,证:,因此积分都存在,且它们的原函数也存在.,是,的原函数,因此有,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,所证等式两边被积函数都连续,说明:,1

2、)当 ab时,或 时,定理 1 仍成立.,2)必需注意换元必换限,原函数中的变量不必代回.,3)换元公式也可反过来使用,即,或凑微分,凑微分不换限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4)换元标准与对应的不定积分,一般情况下是一致的.,例1.计算,解:令,则,原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,0,例2.计算,解:,原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.计算,解:令,则,原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,另解:,例4.,证:,(1)若,(2)若,偶倍奇零,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.,解:令,则,原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,计算,=,

3、注:,在x=0点的定义为零,而非1/2.,3.改变被积函数在有限个点处的函数值,不改变积分值,1.f(x-2)在1,4上的x=2处不连续,2.,类似的题目均可按上述格式做.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6.,设f(x)在0,1上连续,证明:,并计算,证:,(1)令,0,(2)令,0,机动 目录 上页 下页 返回 结束,所以,二、定积分的分部积分法,定理2.,则,证:,上、下限为x的范围,注:分部的标准与对应的不定积分一般情况下是一致的.,例7.计算,解:,原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8.计算,解:,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,原式=,例9.证明,证:令,

4、n 为偶数,n 为奇数,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,转下页,由此得递推公式,于是,而,故所证结论成立.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,n 为偶数,n 为奇数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,变限定积分问题!,应充分注意变限定积分的问题,它在考研试题中出现的频率非常高,它涉及到极限、无穷小的阶、求导、单调性与极值、不等式等.,1.,设f(x)连续,且f(0)0,求极限,解:,令xt=u，则,(05年数二11分),机动 目录 上页 下页 返回 结束,则原式=,（利用定积分中值定理),(不能再用洛必达法则),(介于0与x之间),机动 目录 上页 下页 返回 结束,则原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,提示:令,则,f(x)连续,令,x,作业,P253 1(4),(10),(16);3;7(4),(9),(10),习题课 目录 上页 下页 返回 结束,备用题,求,解:,(分部积分),机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,a0,证明:,证:,令,左边=,(向右边靠拢),仅证:,令,所以,3.求下列积分,(且不易求出原函数时,负代换试),(且不易求出原函数时,令x=at试）,积分区间为对称区间时,积分区间为0,a时,如P245 例6 及P250 11(13),P265 7(2)及P266 14(1),