弹性力学 极坐标求解.ppt

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1、本章重点（1）掌握在极坐标系中基本方程的建立；（2）掌握极坐标系中平面问题按应力求解的方法；（3）了解极坐标系中与直角坐标系中的基本方程的相似之处和不同之处；（4）掌握用极坐标对圆环或圆筒均布压力、压力隧洞、圆孔孔口应力集中、半平面体在边界上受集中力或受分布力时的解答。,第四章 平面问题的极坐标求解,2023/11/2,1,2023/11/2,2,4.1极坐标中的平衡微分方程1.建立模型 在区域 A 的任一点P（，），取出一个微分体，建立的坐标系如图4-1所示。,图 4-1,第四章 平面问题的极坐标求解,2.正负符号的规定（1）在极坐标中，从原点出发，以向外为正；而以 x轴正向到 y轴正向的转

2、向为正；（2）应力的表示和符号规定与直角坐标相同，仍以正面正向，负面负向的应力为正，反之为负；（3）微分体上的体力为 和，表示于微分体的中心，分别沿径向和环向，以沿正坐标方向为正，反之为负。,2023/11/2,3,第四章 平面问题的极坐标求解,第四章 平面问题的极坐标求解,3.列平衡方程求解 由 可得由 可得,2023/11/2,4,化简以上两式，由于 微小，可以把 另外在上式中，分别出现了一、二、三阶微量，其中一阶微量互相抵消，二阶微量保留，而将更高阶的三阶微量略去。化简可得：,2023/11/2,5,（4-1）,第四章 平面问题的极坐标求解,4.直角坐标与极坐标比较 1.在（4-1）的第

3、一式中，前两项与直角坐标的相似；而 项是由于正面的面积大于负面而产生的，是由于正负面上的正应力在通过微分体中心的方向有投影而引起的。2.在式（4-1）的第二式中，前两项也与直角坐标的相似；而 是由于正面面积大于负面而产生的；是由于正负面上的切应力在通过微分体中心的方向有投影而引起的。由于 我们仍将这两个切应力只作为一个未知函数处理。,6,2023/11/2,第四章 平面问题的极坐标求解,4.2 极坐标中的几何方程及物理方程1.几何方程的推导（1）建立坐标系 在区域内任取一点P（，）作两个沿正标向的微分线段PA=d和PB=d，图4-2所示。,2023/11/2,7,图 4-2,第四章 平面问题的

4、极坐标求解,推导几何方程分为两步：一步考虑只有径向位移 的情形；第二步再考虑只有环向位移 的情形。（2）微分体只发生径向位移 设变形后，P点的位移分量为 则A点相对于P点，要计入由于坐标增量 而引起的增量，位移分量应为 B点相对于P点，要考虑由d而引起的增量，位移分量应为，如图4-2（a）所示。,2023/11/2,8,第四章 平面问题的极坐标求解,第四章 平面问题的极坐标求解,又由于图4-2（a）中的角很小，以，于是。由此，我们得到：PA 线段的线应变，转角=0；PB 线段的线应变，转角：注：是极坐标中才有的，表示由于径向位移而引起的环形线段的伸长应变。,2023/11/2,9,（3）微分体

5、只发生环向位移 微分线段 变形后成为，。变形后P点的环向位移，由于坐标的增量 的位移分别为 和 见图4-2（b）。同样考虑 PA 的转角是微小的，我们可以得出：PA 的线应变：转角：,2023/11/2,10,第四章 平面问题的极坐标求解,PB 的线应变：转角：需要说明的是：是由于环向位移而引起的环向线段的转角。因为变形前的环向线切线垂直于OP，而变形后的环向线切线垂直于，这两切线的转角应等于圆心角。并且，这个转角使原直角APB增大，按切应变的定义应为负值。这项也是在极坐标中才有的。,2023/11/2,11,第四章 平面问题的极坐标求解,（4）结论 当径向和环向位移同时发生时，在几何线性问题

6、中；可以应用叠加原理而得极坐标中的几何方程：,2023/11/2,12,（4-2）,与直角坐标中的几何方程相比，除了上述指出的两项是极坐标中特有的之外，其余的几项都是相似的。,第四章 平面问题的极坐标求解,2.极坐标系中的物理方程 在直角坐标系中，物理方程是代数方程，且其中x与y坐标线为正交。而在极坐标系中与坐标线也为正交，因此，极坐标中的平面应力问题的物理方程可以相似地得出：,2023/11/2,13,（4-3）,第四章 平面问题的极坐标求解,3.说明（1）对于平面应变问题，同样只需将式（4-3）中的 E，换为：，即可得出平面应变问题的物理方程。（2）极坐标中的边界条件，由于边界面通常均为坐

7、标面，即面（=常数）或面（=常数），使边界的表示十分简单，所以边界条件也十分简单。例如，给定的约束条件通常是径向位移值和环向位移值，可以分别与 建立等式。在应力边界条件中，通常给出径向和切向的面力，也可以直接与对应的应力分量建立等式。,2023/11/2,14,第四章 平面问题的极坐标求解,4.3 极坐标中的应力函数与相容方程1.直角坐标系和极坐标系之间的变换关系（1）坐标变量的变换 反之（2）函数的变换只需将坐标变换式（a）或式（b）代入函数即可。,2023/11/2,15,（a）,（b）,第四章 平面问题的极坐标求解,（3）位移（矢量）的变换,2023/11/2,16,设位移矢量为d，它在

8、（x，y）和（，）坐标系中的分量,，如图 4-3所示。,分别表示为（u，v）和,图 4-3,第四章 平面问题的极坐标求解,第四章 平面问题的极坐标求解,则位移分量的变换关系为：反之：,（c）,（d）,2023/11/2,17,（4）导数的变换,2023/11/2,18,设有函数,，可将,看成是，的函数，即,；,而，又是x，y的函数，如式（b）所示。因此,可以认为是通过中间变量（，）的关于（x，y）的复合函数。按照复合函数的求导公式，有：,第四章 平面问题的极坐标求解,第四章 平面问题的极坐标求解,其中，对x，y的导数，可以由式（b）得出：整理，即得一阶导数的变换公式：,（e）,（f）,2023

9、/11/2,19,2023/11/2,20,二阶导数的变换可以从一阶导数得出，因为：,第四章 平面问题的极坐标求解,2023/11/2,21,由图4-1可见，如果把x轴和y轴分别转到,（5）应力分量用应力函数表示,的方向，使,该微分体的坐标成为零，则,分别成为,于是当不计体力时，即可由式（a）至（c）得出应力分量用应力函数表示：,（4-5）,第四章 平面问题的极坐标求解,（6）极坐标中的相容方程,2023/11/2,22,将教科书 4.3中的式（a），（b）式相加，就可以得出拉普拉斯算子的变换式：,由此，极坐标中的相容方程仍为：,（4-6）,其展开式：,第四章 平面问题的极坐标求解,2023/

10、11/2,23,当不计体力时，在极坐标系中按应力求解平面问题，归结为求解一个应力函数，它必须满足：,1）在 区域内的相容方程（4-6）；,2）边界上的应力边界条件；,3）如为多连体，还须满足位移的单值条件。,求解,的方法，仍然可以用逆解法和半逆解法。求,得应力函数后，就可以由式（4-5）求出应力分量。,第四章 平面问题的极坐标求解,4.4 应力分量的坐标变换式1.直角坐标应力分量变换极坐标应力分量 在区域内取出一个z向为单位厚度、包括x面，y面和面的三角形微分体，如图4-4所示。,2023/11/2,24,，,图 4-4,第四章 平面问题的极坐标求解,根据图 4-4中三角板A的受力情况和各边的

11、几何关系，如设bc=ds，ab=dscos，ac=dssin。列平衡方程 可得 用，化简可得：同理，列平衡方程，化简可求得,2023/11/2,25,第四章 平面问题的极坐标求解,类似地由三角板B同样可以求出。综上可得由直角坐标向极坐标转换的关系式：（2）请自己推出由极坐标向直角坐标转换的关系式：,（4-7）,（4-8）,2023/11/2,26,第四章 平面问题的极坐标求解,4.5 轴对称应力和相应的位移1.概念 轴对称，即绕一轴对称，是指通过此轴的任何面均为对称面。2.轴对称物理量的特点（1）方向必须对称，因此，方向不对称的物理量不应存在。因此：（2）数值必须相同，因此，它只能是的函数，沿

12、向不变。由此可见，凡是轴对称问题，总是使自变量减少一维，即：,2023/11/2,27,第四章 平面问题的极坐标求解,3.轴对称应力表达式根据轴对称物理量的特点，可得到轴对称应力的表达式：4.轴对称的相容方程 根据轴对称物理量的特点，可得到轴对称相容方程的表达式：,2023/11/2,28,（4-9）,第四章 平面问题的极坐标求解,5.轴对称应力问题中应力函数的解 根据轴对称的相容方程，即：成为四阶常微分方程，而四阶常微分方程总共只有四个解：这就是轴对称应力问题中应力函数的通解。因而，我们可以得到个参数的表达式：6.轴对称问题的应力通解,2023/11/2,29,（4-10）,（4-11）,第

13、四章 平面问题的极坐标求解,2023/11/2,30,7.轴对称问题形变分量的通解,从上式中可看出：得到的,也是轴对称的。,第四章 平面问题的极坐标求解,第四章 平面问题的极坐标求解,8.轴对称问题位移分量的通解由形变通过几何方程求位移，通过积分得：,（4-12）,2023/11/2,31,9.上述推导需说明几点（1）在轴对称应力条件下，平面问题的自变量只有一个，相容方程是常微分方程，其解答是完全确定的；（2）上面得出的、应力、形变和位移，都是轴对称应力条件下的通解，适用于任何轴对称应力问题；（3）得出的位移分量包含了非轴对称的项，但可以用来处理各种位移边界条件；（4）解答中，只有若干系数是待

14、定的，它们可以由给定的应力或位移边界条件，以及多连体中的位移单值条件来确定。,2023/11/2,32,第四章 平面问题的极坐标求解,4.6 圆环或圆筒受均布压力,2023/11/2,33,1.模型圆环或圆筒受均布压力的受力情况，属于轴对称问题，如图4-5a所示。,图4-5,第四章 平面问题的极坐标求解,2023/11/2,34,根据轴对称解答，只需根据给定的应力或位移边界条件和多连体中的位移单值条件，来确定解答中的若干系数即可。,2.圆环或圆筒受均布压力时的解题步骤,（1）应力边界条件,在,的边界面上，分别有应力边界条件：,（a）,（b）,第四章 平面问题的极坐标求解,2023/11/2,3

15、5,在平面问题中每边应有两个边界条件，由于轴对称，所,以式（b）自然满足。将式（a）代入轴对称应力解答式（4-11）得：,（c）,从上式可以看出，边界条件都已满足，但2个方程不能解决3个未知数A,B,C。因为这里讨论的是多连体问题，所以要考虑位移单值条件。,第四章 平面问题的极坐标求解,（2）多连体中的位移单值条件 单值条件实际上是物体连续性条件的表现形式。即在连续体上，对于同一点的应力、形变和位移只可能有一个值，即应为单值。在按位移求解时，可不需要效正单值条件；但按应力求解时，对于多连体须要校核位移的单值条件。,第四章 平面问题的极坐标求解,2023/11/2,36,第四章 平面问题的极坐标

16、求解,圆环和圆筒是二连体，而位移解答式（4-12）中的 是一个多值函数。因此，由单值条件得出，必须令系数 B=0。将B=0代入式（c）可解得：,2023/11/2,37,2023/11/2,38,将解得的A、B代入式（4-11），整理后即得圆筒受均布压力的拉梅解答：,（4-13）,（3）圆环或圆筒受均布压力的应力解答,第四章 平面问题的极坐标求解,2023/11/2,39,3.拉梅解答的讨论,（1）如果圆环、圆筒只有内压力q1作用，则可化简为：,显然，,总是压应力，,总为拉应力，应力分布大致如,图4-5b所示。,第四章 平面问题的极坐标求解,2023/11/2,40,（2）当圆环或圆筒的外半径

17、,，就可得到具有圆孔的无,限大薄板或具有圆形孔道的无限大弹性体的应力解答,可见这时的应力和,成正比，在远大于r处，应力是很小,的，可以不计。这证明了圣维南原理的正确性。,第四章 平面问题的极坐标求解,2023/11/2,41,（3）如果圆环、圆筒只有外压力q2作用,（4-14）,显然，,都是压应力。应力分布大致如,图4-5c所示。,第四章 平面问题的极坐标求解,4.7压力隧洞 1.模型 压力隧洞可以看成是两个圆筒的连接，即一个是内外半径为r和R的圆筒，另一个是内外半径为R和的弹性体，两者在=R处相接触。本题属于平面应变问题。设圆筒与无限大弹性体的弹性常数分别为 和。显然，从材料性质来看，不符合

18、均匀性假定。因此，这类问题不能用一个解答来覆盖，必须考虑分别用轴对称应力解答（4-11）和相应的位移解答（4-12）来表示。根据单值条件可得，B=0，。,2023/11/2,42,第四章 平面问题的极坐标求解,2.求解步骤（1）圆筒的应力表达式,2023/11/2,43,（a）,（2）无限大弹性体的应力表达式,（b）,第四章 平面问题的极坐标求解,第四章 平面问题的极坐标求解,（3）边界上的接触条件 根据圣维南原理，在无限远处应力,（c）,（d）,2023/11/2,44,2023/11/2,45,（4）单值位移问题考虑平面应变位移问题，而且B=0，应用式（4-12），整理后可得：,（e）,在

19、接触面上有：,（f）,第四章 平面问题的极坐标求解,2023/11/2,46,由方程（a）（f）且定,可得圆筒及无限,大弹性体的应力表达式：,（4-16）,第四章 平面问题的极坐标求解,2023/11/2,47,所谓接触问题，即两个弹性体在边界上互相接触的问题。在本题中，除了在两个解答中分别考虑各自的边界条件和位移单值条件外，在=R 的边界上，还应考虑四个接触条件，即变形后两个弹性体保持连续，有：,3.注,由于轴对称，切应力和环向位移（略去刚体位移）均为零，这两个条件是自然满足的。,第四章 平面问题的极坐标求解,4.8圆孔的孔口应力集中 1.“小孔口问题”应符合两个条件（1）孔口尺寸要小 即孔

20、口尺寸远小于弹性体的尺寸，使孔口的存在而引起的应力扰动只局限于一个小范围内；（2）孔距边界要大 孔边距弹性体边界比较远（约大于 1.5倍孔口尺寸），这使孔口与边界之间不发生相互干扰。在小孔口问题中，孔口附近将发生应力集中现象。,2023/11/2,48,第四章 平面问题的极坐标求解,2.小孔口应力集中现象的两个特点（1）孔附近的应力高度集中性 孔附近的应力远大于远处的应力，或远大于无孔时的应力。（2）应力集中的局部性 由于孔口存在而引起的应力扰动范围主要集中在距孔边 1.5倍孔口尺寸的范围内，在此范围之外，可以忽略不计。,2023/11/2,49,第四章 平面问题的极坐标求解,3.圆孔口远场为

21、双向受均布拉力q（1）受力情况 距圆孔较远处的应力场为双向均布拉力q，如图4-8a。,2023/11/2,50,图4-8,第四章 平面问题的极坐标求解,（2）计算模型 本问题即为=R（R r）的外圆周上受均匀拉力的轴对称问题。引用轴对称通解式（4-14），且令-q2=q，得到：,2023/11/2,51,第四章 平面问题的极坐标求解,2023/11/2,52,由于R远大于r，则可取,，从而得到：,（4-17）,一般孔口问题中的最大、最小应力发生在孔边上，即：本题的最大孔边应力是,第四章 平面问题的极坐标求解,4.圆孔口远场一向为均布拉力q另一向为压力q（1）受力情况 距圆孔较远处的应力场为均布

22、拉力和压力q，如图4-8b所示。（2）边界条件 在点A处（即大边界上），其应力情况与无孔时相同，也就是 所以，在=R 圆周上，利用坐标变换式（4-7），可得：,2023/11/2,53,（a）,第四章 平面问题的极坐标求解,2023/11/2,54,在孔边的边界条件是：,（b）,从边界条件来看，此问题是个非轴对称问题。,（3）求解方法及过程1）求解这类问题，可用半逆解法求解，现假设：,（c）,第四章 平面问题的极坐标求解,2023/11/2,55,2）将式（c）代入相容方程（4-6），可得：,于是求解常微分方程，可得：,得应力函数：,第四章 平面问题的极坐标求解,2023/11/2,56,3）

23、求应力分量表达式从而由式（4-5）得应力分量：,（d）,4）将式（d）代入边界条件（a）（b），求解A,B,C,D,然,后命,，得：,第四章 平面问题的极坐标求解,5）结论将上述各值代入式（d），得应力分量表达式：6）讨论孔边的最大、最小应力为：,（4-18）,2023/11/2,57,第四章 平面问题的极坐标求解,2023/11/2,58,5.圆孔口远场双向均为拉力作用，但大小不同（1）计算模型矩形板（薄板或长柱体）在左右两边受有均布拉力q1，在上下两边受有均布拉力q2，如图4-9a所示。,图4-9,第四章 平面问题的极坐标求解,（2）计算处理 要解决这一类问题，可将荷载分解为如图4-9b和

24、4-9c所示的两部分，对于第一部分荷载可用解答（4-17）；对于第二部分荷载可应用解答（4-18）。然后将两部分解答进行叠加，即可得到原荷载作用下的应力分量的解答。,2023/11/2,59,第四章 平面问题的极坐标求解,2023/11/2,60,6.圆孔远处的应力场只有x向的均布拉力q,（1）问题处理应用上述两个解答和叠加原理，得出基尔斯的解答。,（4-19）,第四章 平面问题的极坐标求解,（2）孔口应力分析孔口应力分布如图4-10所示,图4-10,第四章 平面问题的极坐标求解,2023/11/2,61,2023/11/2,62,（3）讨论我们来分析在远处 x向的均匀拉力 q作用下，圆孔附近

25、的应力状态。,1）在孔边=r，环向正应力是：,当,时，此点应力变号，成为压应力；,当,时，即此点拉应力为远处均布拉,力的 3倍。,第四章 平面问题的极坐标求解,2023/11/2,63,2）在x轴上,和y轴上,，可以看出，在距圆,孔边为1.5倍孔口尺寸处,，由于圆孔引起的,应力扰动已小于,的5%数值。各种形状的小孔口,问题的应力集中现象，也均具有相似的局部性特征，即应力扰动的区域主要局限于距孔边1.5倍的孔口尺寸范围内。,第四章 平面问题的极坐标求解,2023/11/2,64,4.9 半平面体在边界上受集中力,1.半平面体受集中力F的作用的解题步骤如图4-11所示，本问题可采用半逆解法来求解。

26、,图 4-11,第四章 平面问题的极坐标求解,（1）设定应函数形式 1）由量纲分析 2）从而推测出 因此，假设（2）代入相容方程 将 代入相容方程（4-6），得：,2023/11/2,65,（a）,第四章 平面问题的极坐标求解,2023/11/2,66,（3）解微分方程解出，代入应力函数中，并略去与应力无关的一次式，得：,（4-20）,由,求应力，代入式（4-5）得：,（b）,（4）求应力分量表达式,第四章 平面问题的极坐标求解,（5）考察边界条件 1）不包含原点O，则在，显然这条件是满足的。2）在原点O附近，我们可以看成是一段小边界。在此小边界附近，有面力的作用，而面力可以向原点O简化为作用

27、于O点的主矢量F和主矩为O的情形。将小边界上应用圣维南原理来进行处理。圣维南原理的应用可以有两种方式。,2023/11/2,67,第四章 平面问题的极坐标求解,a.在同一小边界上，使应力的主矢量和主矩，分别等于对应面力的主矢量和主矩（数值相等，方向一致），共有三个条件。b.取出包含小边界的一部分脱离体，并考虑此脱离体的平衡条件，即，同样也得出三个条件。将应力分量代入，可得：,2023/11/2,68,第四章 平面问题的极坐标求解,第四章 平面问题的极坐标求解,（6）结论 最后，求得应力分量为2.对上述解答的讨论与分析（1）当F垂直于边界时，即 时：,（4-21）,（4-22）,2023/11/

28、2,69,2023/11/2,70,（2）直角坐标中的应力分量用极坐标表示,（4-23）,第四章 平面问题的极坐标求解,2023/11/2,71,（3）直角坐标的应力分量表达式 将4-23式中的极坐标变换为直角坐标。,（4-24）,第四章 平面问题的极坐标求解,2023/11/2,72,（4）位移分量,根据式4-22应力解答，可以由物理方程求出对应的形变分量，然后代入几何方程通过积分，求出位移分量：,（d）,第四章 平面问题的极坐标求解,2023/11/2,73,（5）相对沉陷,半平面体表面的向下位移，称为沉陷，图4-13，即：,图 4-13,第四章 平面问题的极坐标求解,2023/11/2,

29、74,由于地基在x向为无限大，无法确定x向的刚体位移分量I。这时，人们采用相对沉陷来表示，即：,（4-25）,M为距原点为的所求点，而B是距原点为s（s）的参照点。,这个解答用于平面问题的基础梁中，作为地基的基本解。地基通常作为平面应变问题处理，因此，须将其中的E，作相应的变换。,第四章 平面问题的极坐标求解,2023/11/2,75,4.10半平面体在边界上受分布力,分布力作用的情形，如图4-14所示。,图4-14,1.分布荷载的符拉芒解答,第四章 平面问题的极坐标求解,2023/11/2,76,设微分集中力,，用 代替式（4-24）的F。,其中：xx，y（y-）,然后从-b到a对积分，即可

30、得出分布荷载q作用下的应力分量表达式：,（4-26）,第四章 平面问题的极坐标求解,2023/11/2,77,2.分布荷载的相对沉陷公式,设有均布单位力（作用的长度为c，分布荷载的,）作用下的情形时，如图4-15所示。,图4-15,强度为,第四章 平面问题的极坐标求解,2023/11/2,78,为了求得距距布力中点为x的一点K的沉陷，将这均布力微分力,，其中r为微分力至K点的距离，,第四章 平面问题的极坐标求解,得：,第四章 平面问题的极坐标求解,其中s是微分力与基点B之间的距离。将上式对r进行积分就可以求得沉陷 其中：,（4-28）,2023/11/2,79,2023/11/2,80,如果K点在均布力的中点（x=0），则沉陷为：,积分的结果仍然可以写成公式（4-28）的形式，而且常数C仍然如上式所示，但,式（4-28）的解答，是用连杆法计算基础梁时的基本公式。对于平面应变问题，其中E，应作相应的变换。,作业：4-10，4-12，4-14,第四章 平面问题的极坐标求解,