常数项级数收敛性判别法.ppt

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1、82 常数项级数收敛性判别法,案例研究,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College,案例8.2 正整数平方倒数和：研究下面的级数,（1）该级数是否收敛？（2）该级数如果收敛，那,么它收敛到多少？,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College,分析 我们来求它的n项部分和，依次为,因为该级数每一项均是非负的，所以部分和数列,是单调增加的.,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan For

2、eign Economic Relations&Trade College,抽象归纳,正项级数的审敛法,若常数项级数,的每一项都是非负的，即,un0(n=1，2，3，)，则称级数,为正项级数.,设正项级数,的部分和为,则部分和构成的,数列,是一个单调增加的数列，即,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College,定理 正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列,有界.,比较审敛法 设两个正项级数,和,且,(n=1,2,).,（1）若级数,收敛，则级数,收敛；,（2）若级数,发散，则级数,发散.,湖 南 对

3、 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College,证 设,当,时，则,有,（1）当级数,收敛时，数列,有界，从而数列,有界，所以级数,收敛.,（2）当级数,发散时，数列,无界，从而数列,无界，所以级数,发散.,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College,例1 级数,称为p级数.试讨论它的收敛性.,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations&Trad

4、e College,解 当,时，因为,而级数,发散，所以级数,发散.,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College,当,时，小矩形的面积比同底的曲边梯形的,面积小，所以有,即级数,的部分和数列有界，所以收敛.,综上，当p1时，级数,收敛，当,时，,级数,发散.,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College,案例8.2(1)的解 因为,是,级数，且,所以该级数收敛.,例2 判定下列级数的收敛性：,（1）,（

5、2）,解（1）因为,而等比级数,收敛，,所以根据比较审敛法，级数,收敛.,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College,（2）因为n(n+1)(n+1)2，所以,而级数,是调和级数去掉第一项1所成的级数，因此它是发散的，,所以根据比较审敛法，级数,发散.,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College,比值审敛法 对于一个正项级数,若,则当1时，级数,收敛；,当1（或,）时，级数,发散；,当=1时，级数,可

6、,能收敛也可能发散.,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College,例3 判定下列级数的收敛性,（1）,（2）,解（1）因为,所以级数收敛.,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College,（2）因为,所以级数发散.,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College,交错级数的审敛法,一个级数若具有以下形式,或具有以

7、下形式,则称为交错级数，其中,例 下面的级数就是一个交错级数,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College,交错级数审敛法 若交错级数,满足条,件：(1),(2),则交错级,数,收敛.,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College,例4 判别交错级数,的收敛性.,解 因为,所以有,且,所以由交错级数的审敛法知，级,数,收敛.,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Ec

8、onomic Relations&Trade College,绝对收敛与条件收敛,定义 若级数,中各项可以是正数、负数或零，,则级数,称为任意项级数.,定义 若级数,收敛，则称级数,绝对收,敛.,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College,例 任意项级数,各项取绝对值所得,的级数为,它是收敛的，所以原级数,绝对收敛.,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College,问：如果一个任意项级数绝对收敛，那么该级

9、数是,否一定收敛呢？,定理 若级数,绝对收敛，则级数,必收敛.,证 令,于是，,有,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College,因为,均为正项级数，且,收敛，所以,由比较审敛法知，级数,和,收敛.,又因为,所以由收敛级数的性质,2知，级数,收敛.,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College,例5 证明级数,收敛.,解 因为,而级数,是,p=4的p级数，它是收敛的，所以由比较审敛法知，级,数,收 敛.所

10、 以，级 数,是 绝 对 收 敛 的.从 而 级 数,收敛.,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College,问：收敛级数是否一定绝对收敛？试举例说明.,例,是收敛的，但是它的各项取绝对值所成的级数,却是发散的.,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College,若任意项级数,收敛，而级数,发散，则,称级数,条件收敛.,例 交错级数,是条件收敛的.,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College,小结：,1正项级数：,（1）定义；,（2）审敛法：充要条件、比较审敛法、比值审敛法；,2交错级数：,（1）定义；,（2）审敛法；,3任意项级数：,（1）绝对收敛与条件收敛；,（2）绝对收敛定理,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College,