工程数学积分变换第四版第2讲.ppt

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1、第二节 Fourier变换,一.Fourier变换的概念二.单位脉冲函数及其Fourier变换三.非周期函数的频谱,我们知道,若函数f(t)满足Fourier积分定理的条件,则在f(t)的连续点处,有,可以看出 f(t)与 F(w)可相互转换,分别记为 F(w)=F f(t)和 f(t)=F-1F(w),1.Fourier变换的概念,(1.9)式叫做 f(t)的Fourier变换式,(1.10)式为 F(w)的Fourier逆变换式,可以说象函数F(w)和象原函数f(t)构成了一个Fourier变换对.它们有相同的奇偶性(习题二).,还可以将f(t)放在左端,F(w)放在右端,中间用双向箭头连

2、接:,f(t)F(w),F(w)称作f(t)的象函数,(1.9)式右端的积分运算,叫做f(t)的Fourier变换,f(t)称作F(w)的象原函数.,同样,(1.10)式右端的积分运算,叫做F(w)的Fourier逆变换.,由f(t)的Fourier正弦积分公式,可得,f(t)的Fourier正弦变换,F(w)的Fourier正弦逆变换,由f(t)的Fourier余弦积分公式,可得,f(t)的Fourier余弦变换,F(w)的Fourier余弦逆变换,t,f(t),1,根据(1.9)式,有,这就是指数衰减函数的Fourier变换.,根据(1.10)式,有,现在,我们来求指数衰减函数的积分表达式

3、.,1.柯西-古萨基本定理.,见复变函数课本第 170 页例 5.,因此有,如果令b=1/2,就有,可见钟形函数的Fourier变换也是钟形函数.,求钟形脉冲函数的积分表达式,根据(1.10)式,注意:在半无限区间上的同一函数,其正弦变换和余弦变换结果是不同的.,在物理和工程技术中,常常会碰到单位脉冲函数.,有许多物理现象具有脉冲性质,如：,2.单位脉冲函数及其Fourier变换,在电学中,要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电流;,在力学中,要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等.,在原来电流为零的电路中,某一瞬时(设为t=0)进入一单位电量的脉冲,现在要确定电路上的电流i(t)

4、.,由于电流强度是电荷函数对时间的变化率,即,当t0时,若以q(t)表示上述电路中的电荷函数,则,当t=0时,q(t)在这一点不连续,0是q(t)的第一类间断点.,从而在普通导数意义下,q(t)在这一点不存在导数.,i(t)=0.,如果我们形式地计算这个导数,则得,问题:在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度.,解决办法:引进狄拉克(Dirac)函数,简单记成,弱收敛:,若对任何一个无穷次可微的函数f(t),如果函数序列Sn满足,出发点:想办法把无法表示的函数用某个可以表出的函数列求弱极限来得到.,称de(t)的弱极限为d-函数,记为d(t),即:,d-函数可以看成一个普通

5、函数序列的弱极限.,d-函数的性质:,证明:,因为对任何一个无穷次可微的函数f(t),性质1.,工程上将d-函数称为单位脉冲函数,t,O,d(t),1,可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示,这个线段的长度表示d-函数的积分值,称为d-函数的强度.,d(t),性质2.,证明:,d-函数的筛选性质,推论.,证明:,d-函数的其他性质（习题13）,单位阶跃函数；,d-函数的Fourier变换,d-函数的Fourier变换为:,根据d-函数的筛选性质可得,可见,d-函数和1构成了一个Fourier变换对.,注意:此处的Fourier变换是一种广义Fourier变换.,所谓广义是相对于古典意义而言

6、的.,t,O,d(t),1,w,O,F(w),1,可见,单位脉冲函数d(t)与常数1构成了一Fourier变换对.同理,d(t-t0)和 亦构成了一个Fourier变换对.,在物理学和工程技术中,有许多重要函数不满足Fourier积分定理中的绝对可积条件,即不满足条件,例如常数,符号函数,单位阶跃函数以及正,余弦函数等,然而它们的广义Fourier变换也是存在的,利用单位脉冲函数及其Fourier变换就可以求出它们的Fourier变换.,引入单位脉冲函数的意义:,p,w,O,|F(w)|,O,t,u(t),证:,分析:,当没有办法直接验证F(w)是一个函数的Fourier变换时,可以将F(w)

7、代入Fourier逆变换,看结果是否为f(t).,若F(w)=2pd(w)时,由Fourier逆变换可得,所以1和2pd(w)也构成了一个Fourier变换对.,推论:,同理,如果F(w)=2pd(w-w0),由上面两个函数的变换可得,意义:d-函数的引入使得在普通意义下不存在的积分有了确定的数值.,例5 求正弦函数f(t)=sinw0t的Fourier变换.,由Fourier变换公式可得,解:,如图所示:,t,sint,p,p,-w0,w0,O,w,|F(w)|,3.非周期函数的频谱,的振幅为,而函数的复指数形式为,频率为wn时的振幅,即振幅随频率变化的分布情况.,频谱图:频率和振幅的关系图

8、.,特点:,频谱的图形是不连续的,因为n=0,1,2,离散频谱.,f(t),t,E,-t/2,t/2,例6 求下列周期函数的频谱.,-T/2,T/2,解:,离散频谱,对于非周期函数,在频谱分析中,傅氏变换F(w)又称为f(t)的频谱函数,而它的模|F(w)|称为f(t)的振幅频谱(亦简称为频谱).,与周期函数频谱的区别:连续频谱,结论:对一个时间函数作Fourier变换,就是求这个时间函数的频谱.,例7 作如图所示的单个矩形脉冲的频谱图,f(t),解:单个矩形脉冲的频谱函数为:,t,E,-t/2,t/2,矩形脉冲的频谱图为,w,Et,|F(w)|,O,注:振幅函数|F(w)|是角频率w的偶函数,即,证明:,我们定义,为f(t)的相角频谱.,相角频谱:,显然,相角频谱j(w)是w的奇函数,即j(w)=-j(-w).,结束放映,