大跨度桥梁的稳定理论.ppt

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1、第十二章 大跨度桥梁的稳定理论,12.1 概 述 12.2 第一类弹性及弹塑性稳定分析12.3 拱桥稳定分析和非保向力效应 12.4 材料非线性问题12.5 桥梁结构的极限承载力及其全过程分析12.6 小结,12.1.1 稳定理论的发展历程,稳定问题是力学中一个重要分支，是桥梁工程中经常遇到的问题，与强度问题有着同等重要的意义。随着桥梁跨径的不断增大，桥塔高耸化、箱梁薄壁化以及高强材料的应用，结构整体和局部的刚度下降，使得稳定问题显得比以往更为重要。,12.1 概述,桥梁结构的失稳现象表现为结构的整体失稳或局部失稳。局部失稳是指部分子结构的失稳或个别构件的失稳，局部失稳常常导致整个结构体系的失

2、稳。,历史上有过许多因桥梁失稳而造成事故的例子。例如，俄罗斯的克夫达(K ea)敞开式桥，于1875年因上弦压杆失稳而引起全桥破坏；加拿大的魁北克(Quebec)桥于1907年在架设过程中由于悬臂端下弦杆的腹版翘曲而引起严重破坏事故；苏联的莫兹尔(M)桥，于1925年试车时由于压杆失稳而发生事故；澳大利亚墨尔本附近的西门(West Gate)桥，于1970年在架设拼拢整孔左右两半(截面)钢箱梁时，上翼板在跨中央失稳，导致112m的整跨倒塌。,桥梁失稳事故的发生促进了桥梁稳定理论的发展。早在1744年，欧拉(L.Eular)就提出了压杆稳定的著名公式。此后彭加瑞(A.Poincare,1885)

3、明确了稳定概念，并推广到流体力学的层流稳定问题中，即稳定分支点的概念。恩格塞(Engesser)和卡门(Karman)等根据大量中长压杆在压曲前已超出弹性极限的事实，分别提出了切线模量理论和折算模量理论。普兰特尔和米歇尔几乎同时发表了关于梁侧倾问题的研究成果。近代桥梁工程中由于采用了薄壁轻型结构，又为稳定问题提出了一系列新的实际课题。瓦格纳(H.Wagner,1929)及符拉索夫(.COB,1940)等人关于薄壁杆件的弯扭失稳理论，证明其临界荷载值大大低于欧拉理论的临界值，同时又不能用分支点的概念来解释。因而引入了极值点失稳的观点以及跳跃现象的稳定理论。随着科学技术的发展，稳定理论与非线性理论

4、的联系越来越密不可分。研究表明，只有通过对结构几何非线性关系以及材料非线性本构关系的研究，才能深入揭示复杂稳定问题的实质。,12.1.2两类稳定问题,物体的平衡可能是稳定的、不稳定的或者是随遇的。物体从一种平衡状态稍微偏至邻近状态之后，如果仍能回复到原来的状态，则原来的平衡状态为稳定的；如果不能回复到原来的状态而将继续离去，则原来的平衡状态为不稳定的；如果可以在任意新的位置上保持平衡，则为随遇平衡。,以刚性小球在不同曲面上的平衡状态为例，小球在凹面的最低位置为稳定平衡，在凸面的最高位置为不稳定平衡，在水平面上为随遇平衡。在一般情况下，平衡的性质可随物体的偏移方向而异。如小球在双曲抛物面中点，其

5、平衡状态在一个方向是稳定的，而在其它方向则是不稳定的。在桥梁结构中，总是要求其保持稳定平衡，也即沿各个方向都是稳定的。随遇平衡可认为是稳定与不稳定的过渡状态，也属于不稳定的范畴。,结构失稳是指结构在外力增加到某一量值时，稳定性平衡状态开始丧失，稍有扰动，结构变形迅速增大，使结构失去正常工作能力的现象。研究稳定可以从小范围内观察，即在邻近原始状态的微小区域内进行研究。为揭示失稳的真谛，也可从大范围内进行研究。前者以小位移理论为基础，而后者建立在大位移非线性理论的基础上。引出了研究结构稳定问题的两种形式：,第一类稳定：分支点失稳问题 如图12.1(a)所示中心受压的理想直杆。当载荷P低于特定的临界

6、值Pcr时，如果施加微小干扰使之弯曲，卸去干扰后杆件仍回到原始直线状态。这时，称压杆的直线平衡形式是稳定的。以中点挠度f为横坐标，载荷P为纵坐标，如图12.1(b)所示，则OA上任一点表示一种直线平衡状态。称OA为原始平衡路径(Primary equilibrium path)。当P超过Pcr时，压杆可能处于直线平衡状态，也可能处于弯曲平衡状态。但直线平衡状态是不稳定的，稍有干扰，压杆就失去平衡而发生弯曲至B点。曲线AB称为第二平衡路径，A点称为分支点。这种具有分支点的平衡问题称为第一类平衡问题。分支点A处第二路径的切线是水平的，因此在一阶无穷小邻域内，挠度为不定值。结构分支点失稳是理想力学模

7、型和小位移理论的产物。,图 12.1 中心受压的理想直杆,第二类稳定：极值点失稳问题 一般结构体系并不存在分支点，这样就不能以平衡形式发生分支现象来定义失稳特征。但是，在结构失稳过程中，其荷载、变形曲线常具有极值点，如图12.1(b)所示。在OA段内，结构始终处在弯曲平衡状态，更大可能是出现部分塑性变形。当荷载达到极大值Pcr时，即使外力不再增加，结构位移也可能急速增大，结构呈不稳定现象，这就是第二类稳定：极值点失稳问题。实际工程中的稳定问题一般都表现为第二类失稳。但是，由于第一类稳定问题是特征值问题，求解方便，在许多情况下两类问题的临界值又相差不大，因此研究第一类稳定问题仍有着重要的工程意义

8、。,12.1.3 稳定问题求解方法的评述,研究压杆屈曲稳定问题常用的方法有静力平衡法(Eular方法)、能量法(Timoshenko方法)、缺陷法和振动法。,静力平衡法是从平衡状态来研究压杆屈曲特征的，即研究载荷达到多大时，弹性系统可以发生不同的平衡状态，其实质是求解弹性系统的平衡路径(曲线)的分支点所对应的载荷值(临界载荷)。能量法则是求弹性系统的总势能不再是正定时的载荷值。缺陷法认为：完善而无缺陷的理想中心受压直杆是不存在的。由于缺陷的影响，杆件开始受力时即产生弯曲变形，其值要视缺陷程度而定。在一般条件下缺陷总是很小的，弯曲变形并不显著，只是当荷载接近完善系统的临界值时，变形才迅速增至很大

9、，由此确定其失稳条件。振动法以动力学的观点来研究压杆稳定问题。当压杆在给定的压力下，受到一定的初始扰动之后，必将产生自由振动，如果振动随时间的增加是收敛的，则压杆是稳定的。,以上四种方法对于欧拉压杆而言，所得到的临界荷载值是相同的。如果仔细研究一下，可以发现它们的结论并不完全一样，表现在以下几个方面：,(1)静力平衡法的结论只能指出，当P=P1、P2.、Pn时压杆可能发生屈曲现象，至于哪种最可能，并无抉择的条件。同时在PP1、P2.、Pn时，屈曲的变形形式根本不能平衡，因此无法回答直线形式的平衡是不稳定的问题。(2)缺陷法的结论也只能指出当P=P1、P2.、Pn，杆件将发生无限变形，所以是不稳

10、定的。但对于P在P1、P2.、Pn各值之间时压杆是否稳定的问题也不能解释。(3)能量法和振动法都指出，PP1之后不论P值多大，压杆直线形式的平衡都是不稳定的。这个结论和事实完全一致。,由于桥梁结构的复杂性，不可能单靠上述方法来解决其稳定问题。大量使用的是稳定问题的近似求解方法，归结起来主要有两种类型：一类是从微分方程出发，通过数学上的各种近似方法求解，如逐次渐近法。另一类是基于能量变分原理的近似法，如Ritz法，有限元方法可以看成是Ritz法的特殊形式。当今非线性力学将有限元与计算机结合，得以将稳定问题当作非线性力学的特殊问题，用计算机程序实现求解，取得了具大的成功。,12.2 第一类弹性及弹

11、塑性稳定分析,12.2.1 第一类稳定问题的线弹性有限元分析,下面用有限元平衡方程来表达结构失稳的物理现象。T.L列式下，结构增量形式的平衡方程为：,(121),U.L列式下，结构的平衡方程为：,(122),在发生第一类失稳前，结构处于初始构形线性平衡状态，因此，式(121)中大位移矩阵0KL应该为零。在U.L列式中不再考虑每个载荷增量步引起的构形变化，所以，不论T.L还是U.L列式，其表达形式是统一的。即：,(123),在结构处在临界状态下，即使R0，u也有非零解，按线性代数理论，必有：,(124),在小变形情况下，K与应力水平成正比。由于发生第一类失稳前满足线性假设，多数情况下应力与外荷载

12、也为线性关系，因此，若某种参考荷载,对应的结构几何刚度,阵为,，临界荷载为,，那么在临界荷载作用下结构的几,何刚度阵为：,(125),于是式(124)可写成:,(126),式(126)就是第一类线弹性稳定问题的控制方程。稳定问题转化为求方程的最小特征值问题。,一般来说，结构的稳定是相对于某种特定荷载而言的，在大跨径桥梁结构中，结构内力一般由施工过程确定的恒载内力(这部分必须按施工过程逐阶段计算)和后期荷载(如二期恒载、活载、风载等)引起的内力两部分组成。因此，也 可以分成一期恒载的初内力刚度阵,和后期荷载的初,内力刚度阵,两部分，当计算的是一期恒载稳定问题，,则,，,可直接用恒载来计算，这样通

13、过式(126)算出的就是恒载的稳定安全系数。若计算的是后期荷载的稳定问题，则恒载,可近似为一常量，式(126)改写成：,(127),形成和求解式(127)的步骤可简单归结为：,按施工过程，计算结构恒载内力和恒载几何刚度阵,用后期荷载对结构进行静力分析，求出结构初应力(内力);形成结构几何刚度矩阵,计算式(127)的最小特征值问题；,和式(127)；,这样，求得的最小特征值就是后期荷载的安全系数，相应的特征向量就是失稳模态。,12.2.2 第一类稳定的非线性有限元分析,工程中经常会遇到如下两种情况：1.随着荷载的增加，在结构发生弹性失稳之前，部分构件已经进入了塑性变形。,2.结构比较柔软，当荷载

14、不断增加时，参考荷载的,与临界荷载的,失去了线性关系。,在解决这类稳定问题时，为了利用第一类稳定求解的方便性，同时又要考虑上述两方面因素影响对线性稳定求解的失真度，可以将特征值问题与非线性分析结合起来求解。这就是第一类稳定的非线性有限元分析方法。基本思路是：用考虑几何非线性和材料非线性的有限元方法，将荷载逐级施加到,，P为参考荷载，,为期望的最小稳定安全系,数，,求出结构的几何刚度阵作为,，在变形后的构形，,由参考,荷载按线性化稳定问题求出后期荷载的屈曲安全系数,，检验结构在后期屈曲荷载作用下是否出现新的弹塑性单元，如果,，最后较精确的临界荷载为：,出现则作迭代修正重新计算,(128),式中：

15、为结构在荷载P作用下较精确的稳定安全系数。,对于结构失稳前位移不大的刚性结构，往往忽略其大位移影响，于是问题就转化为第一类稳定的弹塑性问题，可以直接用图12.2所示的框图计算。,图 12.2 第一类弹塑性稳定计算流程图,12.3 拱桥稳定分析和非保向力效应,本节以解析法来阐述拱桥的第一类稳定计算。与数值法相比，虽然解析法引入了一些近似假定，应用也受到一定的限制，但通过解析法，可以直接将结构的临界荷载用结构设计参数来表达，这对于直观研究设计参数与结构稳定性的关系，优化结构稳定性，估算结构稳定安全系数，验证数值分析结果的正确性等都具有十分重要的意义。研究拱桥屈曲问题可用静力平衡法(Eular方法)

16、、能量法(Timoshenko方法)、缺陷法和振动法。为方便讨论，常将拱桥的稳定问题分解成面内稳定和侧向稳定两类问题来分别研究。,12.3.1圆弧拱平面屈曲微分方程,受径向荷载的圆弧拱，在矢跨比不大的情况下，可以近似地代表工程中受铅垂荷载的非圆形拱。圆弧拱的屈曲易于获得解析解，我们可以利用它来分析端支承情况和矢跨比对拱桥临界荷载值的影响。,如图12.3所示的圆弧拱，在均布径向荷载q作用下，开始只有沿拱轴方向的弹性压缩变形。若忽略轴向变形的影响，拱轴线与压力线完全吻合，拱处于无弯矩状态。当荷载达到临界值时，拱发生微小的弯曲变形v，在这一变形状态下来建立它的屈曲微分方程。,12.3 均匀径向荷载作

17、用下的圆弧拱,1.平衡方程,从圆弧拱中取出微元,，在拱弯曲前只承受轴力,，弯曲后移至新的位置,(图 12.4)。,图 12.4 圆弧拱弯曲前后的受力情况,这时半径和轴力的增量分别为,和,：,(129),弯曲后的内力状态应满足平衡方程：,(1210),将式(129)代入式(1210)，并注意到,，得：,(1211),由式(1211)的第二式，可得,(1212),将(1212)代入式(1211)的第一式，得,(1213),再利用式(1211)的第三式，即得：,(1214),2.几何方程,微元ds=mn在拱弯曲后的变形情况如图12.5所示，m点发生了径向位移v和切向位移w，n点发生了径向位移v+dv

18、和切向位移w+dw。为了便于理解，将微元ds的变位分解成径向和切向二部分。,图12.5 圆弧拱平面变形的几何关系,由图12.5可看出，m和n点的相对径向位移引起的转角为：,由于,很小，,。略去高阶微小量,并注意,则上,式简化为,m和n点的相对切向位移将引起拱轴伸缩：,(1215),(1216),由于弯曲时拱轴压力只有高次微小量的变化，因而拱轴可视,为无伸缩（）,，即：,(1217),将式(1215)微分一次后代入式(1217)消去w，得圆弧拱平面变形的几何方程，即挠曲率：,(1218),3、物理方程,曲率半径增量,与弯矩M之间的关系为：,(1219),由此可得：,(1220),式中，为拱平面内

19、的抗弯刚度。,弯矩与曲率间的关系可写为,(1221),4、屈曲微分方程,将式(1220)代入式(1214)，得到用弯矩M表示的屈曲微方程,对于等截面圆弧拱，式(1222)简化为,(1222),(1223),将式(1218)代入式(1221)，得：,(1224),(1225),利用式(1224)消去式(1223)中的M，得到用位移表示的等截面圆弧拱在均布径向荷载作用下的屈曲微分方程,(1226),由式(1222)，或者式(1224、25)，或者式(1226)都可求得圆弧拱的屈曲临界荷载，但通常用式(1224、25)最方便。,12.3.2等截面圆弧拱在均布径向荷载作用下的屈曲临界荷载,下面就两种不

20、同边界条件讨论受均布径向荷载的等截面圆弧拱的屈曲临界力的计算。,1)双铰拱,双铰圆弧拱在径向荷载q作用下(图12.6)，,图12.6 受均布径向荷载的等截面双铰圆弧拱,其拱截面弯矩,(1227),代入式(1224)，即得,(1228),其中:,(1229),这个常系数齐次方程的解为,(1230),边界条件:,得,得,c1不能为零，则必须有,(1231),由此得到,由于拱的两端不能移动，圆弧拱轴也假定不发生伸缩。因此n=1相应的失稳模态是没有意义的。要求最小特征值时n=2，拱的屈曲模态为:,(1232),临界荷载值为：,(1233),式中,(1234),称为拱的临界荷载系数(或稳定系数)，与夹角

21、有关。,式(1233)也可写成中心受压直杆的欧拉公式的标准形式,(1235),式中，拱的屈曲长度,(1236),其中：,为拱度影响系数,上式表示，我们可以把拱看成当量的直杆来验算稳定，其自由长度等于半个拱弧长乘以拱度影响系数。,2)无铰拱,如图12.7所示为一两端固定的圆弧拱。对应于最小临界荷载的面内屈曲模态也是反对称形式。与双铰拱受力状态不同之处在于当拱发生面内屈曲时，在两个固端支座上作用了力矩M。从而，在任一截面上较前增添了一个弯矩：,图 12.7 两端固定的圆弧拱,(1237),这样，任一截面由于屈曲变形所产生的总弯矩为,(1238),将上式代入式(1224)，得,(1239),式中：,

22、(1240),方程式(1239)的一般解为,(1241),上式中包含三个常数，利用如下三个已知边界条件：,当,时，v=0,当,时，,由第一个条件得B0，由另两个条件得：,(1242),将式(1240)代入(1242)式，则有,(1243),要使以上齐次方程有非零解，必须使其分母行列式为零，由此可得下列稳定方程式,(1244),由此可求出无铰拱的临界荷载:,(1245),上式中的稳定系数,与拱的开角,有关，,并可通过系数n算出。n 与,之间的关系见表121。,用相似的方法还可讨论三铰拱的屈曲面内稳定性，其临界荷载可写成：,(1246),式中，稳定系数 随的变化列于表122,12.3.3 圆拱的面

23、外稳定,平面拱轴侧倾后是一条空间曲线，其位移与几何关系用曲线坐标来描述。,图 12.8 侧倾变形后的拱,拱侧倾变形后(图12.8)，任意截面s在垂直于拱平面x轴，指向拱轴法向的y轴和同拱轴切线重合的z轴三个方向分别发生了线位移u、v、w,并绕这三个轴发生了转角位移、。截面主轴x、y、z 也随着拱的侧倾产生了变位。研究相距ds截面的变形，可得拱绕y、z轴转动的曲率关系：,(1247),下面用能量法研究两端固结拱轴线长度为L的园拱的侧向稳定问题。圆拱侧倾时，拱肋侧向弯曲变形能为：,拱肋扭转变形能为：,(1248),(1249),拱肋轴力在侧倾时所作外力功为：,(1250),结构势能为：,(1251

24、),设失稳模态为：,(1252),将式(1247)(1250)、(1252)代入式(1251)，由,(1253),易得：,(1254),其中：,为弯、扭刚度比例系数。,当式(1254)确定的qcr比相应面内失稳临界荷载为小时，圆拱先出现侧倾失稳。对于宽跨比较小的拱桥，侧向刚度相对较小和单承重面拱桥，都有可能发生侧倾弯扭失稳，在设计时必须对这类结构进行侧稳验算。,12.3.4 拱桥稳定与非保向力效应,1)拱桥的稳定问题 前面讨论的是拱圈的稳定问题，实际拱桥都带有拱上建筑，拱圈轴线形状各异，都受有竖向荷载，研究拱桥的稳定问题可以抓住以下三点：a)确定拱轴线时，都力求拱肋受力以轴向受压为主，因此，可

25、以将各类拱肋的稳定问题通过一定的等代关系转换成圆拱的稳定问题来研究。b)拱上建筑多以连续梁为主，梁的刚度增加了拱的稳定性，用能量法计算这类结构的稳定性比较方便。c)用解析法计算拱桥稳定问题比较复杂，一般都采用数值计算，可以从大量数值计算结果的规律中总结出常用拱桥的稳定计算近似公式。,比如拱桥的立柱刚度远比拱圈和梁的刚度小，为简化计算，可以假定各立柱上下端均系铰结。通过数值计算，可把这种简化结构的临界荷载近似地写成：,(1255),式中：K为只有拱肋时的临界荷载系数；加劲梁的抗弯刚度；拱平面抗弯刚度。,对于上承式柔拱刚梁组合体系，临界荷载可仿上式写成：,(1256),2)非保向力效应,研究拱桥的

26、稳定问题，立柱、吊杆等传力构件的工作状态对稳定的影响不容忽略。考察图12.9情况，图12.9a)是上承式拱桥的面内失稳，由于桥面抗弯刚度较小，当拱发生失稳时，立柱受到梁施加的水平约束而变成倾斜，有加速拱肋失稳的趋势。上承式拱桥侧倾失稳时，立柱受到梁施加的侧向约束而变成倾斜，产生的水平分力有加速其侧倾的趋势。图12.9b)是系杆拱侧倾失稳时，吊杆受到梁施加的水平约束而变成倾斜，产生的水平分力有减缓其发生失稳的趋势。,图12.9 非保向力系对拱稳定的影响,以上情况，有一个共同点，那就是传力构件随着结构的失稳而改变其传力方向，进而对结构的稳定性产生影响，若将拱肋作为研究对象，传力构件的作用就成了外力

27、系，它们跟随结构变形而改变其方向，这种力系称为非保向力系。非保向力系对结构稳定性有正面效应，也有负面效应。,下面以单承重面系杆拱为例来讨论非保向力系对其侧向稳定的影响。,图12.10所示单承重面系杆拱，作用了均布荷载q，设吊杆的布置满足膜张力假定，则吊杆拉力为：,图12.10 单承重面系杆拱,Tqa,(1257),式中：a 吊杆间距。,拱肋侧倾后，吊杆发生倾斜，其拉力T对桥面产生了一个向外的水平分力，使之发生侧向弯曲变形，而对拱肋产生了一个向内的水平分力，这个恢复力就是非保向力效应，相当于一个侧向水平弹簧支承效应。由图12.10易得：,(1258),式中：,考虑到桥面侧向刚度相对于拱肋要大得多

28、，近似地取,(1259),则式(1259)简化成,(1260),当系杆拱发生侧倾时，其总势能除了前面式(1248)(1250)列出的三项外，还增加了考虑非保向力效应的虚拟弹簧支承变形能：,(1261),将式(1261)增添到式(1251)中，由能量驻值原理可得系杆拱侧倾临界荷载：,(1262),式中：,非保向力效应系数,由式(12-57)给出。,(1263),对圆弧拱，偏安全地取y(x)=f，则C的下限为：,(1264),根据不同的矢跨比f/l，可算得c和值，列于表123。表123表明说明非保向力效应系数一般在2.53.5之间。,不同矢跨比f/l时的c和值 表123,例121 某下承式无风架钢

29、筋砼双肋拱桥，基本参数如下：,由式(1254)易得：,=1571.2 kN/m,=0.638,=2.76,1571.2=4336.5KN/m,与有限元数值解=4276.0KN/m十分接近。,12.4 材料非线性问题,12.4.1 概述,桥梁结构在经受超载作用时，会出现部分构件应力超过材料弹性极限的现象，这种现象虽然往往是局域性的，但破坏与损伤却由这些区域开始，导致结构失效。应力超过弹性极限后，材料弹性模量E成为应力的函数，导致基本控制方程的非线性，即材料非线性问题。研究材料非线性问题，对于分析结构极限承载能力，解决桥梁非线性稳定问题有着十分重要的意义。,凡是在本构关系中放弃材料线性关系假定的理

30、论，均属材料非线性范畴。根据不同的材料性态，又可以分成表12.4给出的几种不同的材料非线性问题。,几种材料非线性问题 表12.4,桥梁结构以钢和砼作为主要建材，因此，涉及的材料非线性主要是非线性弹塑性问题和砼徐变问题。,12.4.2 弹塑性应力、应变关系与曲服准则,根据实验结果，单轴应力下材料的应力、应变关系如图12.11所示，可归结为如下几点：,图12.11 单轴应力下材料的 应力、应变关系,1)应力在达到比例极限前，材料为线弹性；应力在比例极限和弹性极限之间，材料为非线性弹性。,2)应力超过屈服点，材料应变中出现不可恢复的塑性应变:,应力和应变间为非线性关系：,(1265),(1266),

31、3)应力在某一应力,则应力增量与应变增量之间存在线性关系，即：,下卸载，,(1267),为了判断是加载还是卸载，用如下加载准则：,当,当,时为加载，满足(12-66),时为卸载，满足(12-67),4)在卸载后某应力下重新加载，则：,时，,(1268),为卸载前材料曾经受到过的最大应力值，称后屈服应力，若：,材料称为理想塑性的；称材料为硬化的。,5)从卸载转入反向力加载，应力、应变关系继续依式(12-67)或(12-68)，一直到反向屈服。在复杂应力状态下，判断材料是否屈服，可以用应力的某种函数表示：,(1269),若以 为坐标轴建立一坐标空间，则式(12-69)的几何意义为空间超曲面。任一应

32、力状态在此空间中代表一个点，当此点落在屈服面之内时：,，材料呈弹性,状态；,时，材料开始进入塑性。,各向同性材料的屈服条件与坐标轴选取无关，屈服函数常以主应力函数形式表示：,(1270),常用的屈服条件有：(1)屈雷斯卡(Tresca)屈服条件：假定最大剪应力达到某一极限值时，材料开始屈服，相当于材料力学中的第三强度理论。(2)密赛斯(Von Mises)屈服条件：假定偏应力张量的第二不变量达到某一极限时，材料开始屈服,相当于材料力学中的第四强度理论。此外还有Drucker-Prager屈服准则，Zienkiewicz-Pande屈服准则等。,12.4.3 弹塑性本构矩阵的增量表达式,由于弹塑

33、性理论中增量理论能反映结构加载历程，也可考虑卸载情况，因此，在当前有限元分析弹塑性问题时广为采用。研究弹塑性增量理论必须从本构矩阵开始。设屈服函数用下式表示：,(1271),式中：,应力状态；,K硬化函数。,在增量理论中，把材料达到屈服以后的应变增量分为弹性增量和塑性增量两部分，即：,(1272),其中弹性应变增量部分与应力增量之间仍服从虎克定律，即,(1273),其中：为弹性矩阵。,塑性变形不是唯一确定的，对应于同一应力增量，可以有不同的塑性变形增量。若采用相关联的流动法则，塑性变形大小虽然不能断定，但其流动方向与屈服面正交。用数学公式表示这一假定，即可得,(1274),将(12-73)、(

34、12-74)式代入(12-72)式，则可得,(1275),对式(12-71)全微分得：,(1276),或,(1277),其中：,将,(1278),前乘(12-75)式，并利用(12-77)式消去,可得：,(1279),由此可得,用De前乘(12-75)式，移项后得,(1280),(1281),将(12-80)式代入(12-81)式，即可得,(1282),其中:,(1283),此即为增量理论的弹塑性矩阵通式。其具体的数学表达式将由曲服函数确定。,例12.2 导出等向强化米赛斯材料增量理论的弹塑性矩阵表达式。解：对Mises屈服准则、等向硬化材料，其屈服函数可写成：,式中：,设硬化法则与塑性功有关

35、，即作功硬化，则：,由,得,式中：,剪切弹性模量；,应力偏量向量。,再由,而,以上结果代入(12-83)，可得等向强化的米赛斯材料的弹塑性矩阵表达式为：,式中：,12.4.4弹塑性问题的有限元法,在弹塑性增量理论中，讨论仍限于小变形情况。于是，其应变位移几何运动方程和平衡方程相同于线性问题，不需要作任何变动。需要改变的只是在塑性区范围内用塑性材料的本构关系矩阵 代替原来的弹性系数矩阵。因此，可直接得到弹塑性分析有限元平衡方程：,(1284),式中：,(1285),(1286),其中,和,分别表示与结构面荷载t及体荷载f对应的等效节点力增量；,为节点集中外荷载增量；,为初应力或初应变增量引起的外

36、荷载增量，它们,在t-,至t时间的增量为：,(1287),(1288),对于初应力问题：,(1289),对于初应变问题：,(1290),公式(12-84)-(12-90)给出了小变形弹塑性分析的有限元方程，式中 代表了荷载与位移增量的切线刚度，随不同加载历程而变化。求解这一问题的关键是计算单元的切线刚度阵和应力，由于本构关系,是当前应力的函数，即当前位移的隐函数，所以计算时要引入一个材料模型的子程序来处理塑性问题。这个子程序的主要计算内容与步骤如下：,(1)由前边迭代结果的位移计算应变增量：,(1291),(2)暂假定,是弹性的，计算,(1292),(3)由此推出新的应力状态为,(1293),

37、(4)核对在第二步中的假设是否符合事实。将(12-93)代入加载函数中，计算当前的加载函数值：,(1294),(5)若,说明 确定是弹性的，第二、三步中的计算正确，此子程序的执行可以结束。,(6)若,说明,中包括了(或甚至全部是)塑性变形，则改变执行以下计算：,(7)若本次迭代开始时的应力是弹性的，则本次迭代的应力增量中有一部分是弹性的而另一部分是弹塑性的。将弹性部分记为：,(1295),显然，m1，将(12-95)式代入到加载函数中可解出m。,(1296),(8)计算塑性部分应变增量及当前应力,(1297),(1298),(9)计算应变增量之塑性部分,所引起的应力。由于材料刚度矩阵是非线性的

38、，这一计算应是积分过程，作为数值计算，可改为逐段线性化求和。为此，将,再细分为M个小的增量：,(1299),(10)在每一个小的子增量,中，先根据子增量起始时的应力计算,，而,(12100),于是新的应力状态为:,由,(12101),可计算下一个子增量时的,，并重复以上,步骤，结果,(12102),由此可形成最终状态的,。,以上方法将平衡迭代与本构迭代分开，主步进行平衡迭代，子步进行本构迭代，故称之为子增量法。,12.4.5梁单元的弹塑性有限元分析,由前面讨论可知，结构的弹塑性有限元分析与弹性有限元分析基本相同，只要在塑性区范围内用 代替 即可。但具体到梁单元时，有其自身的特殊性。下面介绍两种

39、常用的梁单元弹塑性有限元分析方法。,1)折减刚度法 折减刚度法的实质就是由单元两端力的平均条件来确定单元的非弹性刚度。当杆件材料进入弹塑性阶段后，尽管截面的拉压刚度EA及抗弯刚度EI都是随着荷载而变化的，但当荷载增量不大，单元长度划分得足够小时，可认为下列的物理关系式依然成立：,(12103),式中，,为截面抗弯、抗拉压刚度折减系数；,和,为折减抗弯及抗拉压刚度，是位移的函数；,为截面曲率和截面几何中心的应变；,象弹性分析一样进行弹塑性分析了。,为截面弯矩和轴力。,结构在特定荷载下，如果能求出相应的,和,，就可以,这样，问题归结为,如何,求出,和,。,下面以钢筋混凝土矩形对称配筋截面为例，介绍

40、折减刚度计算方法。基本假定如下：,平面假定成立；忽略剪应力和剪应变的影响；钢筋和混凝土之间无滑移现象；单元两端之间的截面内力近似地按线性变化，取单元的平均刚度作为单元刚度；假设钢筋为理想弹塑性材料，其应力应变关系可写成：,(12104),式中，,为屈服应力，,分别为屈服应变、极限应变。,折减刚度计算步骤如下：,将截面分成m等分，设第j个分块上的面积为(图12.12),设截面几何中心的应变和曲率为：,(12105),式中i表示荷载分级号。,则第j分块形心的应变为：,(12106),式中，,为第j分块形心至截面几何中心的距离。,由混凝土的应力应变曲线可求得各分块的应力,，并,得到该分块所承担的轴力

41、为：,当,时，,可认为,计算截面上、下部钢筋形心的应力,由内外力平衡条件，得：,(12107),式中，为全部钢筋的面积。,(12108),令,，若,指定的允许误差，那么上述的,均小于或等于,和,即已求得真解。反之，需要对,假定正确，,和,进行调整，调整的原则是使得：,(12109),在下一次的迭代计算中要求,为零。,为截面几何,中心应变和曲率的修正量，要使,同时为零，,应满足如下方程：,(12110),式中：,(12111),为混凝土的切线模量。,解式(110)可求得,。,下次迭代的值为：,(12112),直到满足精度要求为止。,由,求得截面的折减刚度：,(12113),2)塑性铰法 塑性铰法

42、是用塑性铰来修正杆件进入塑性区后的结构刚度的近似方法。塑性铰法同样可以考虑截面分层刚度的折减，但为了简化计算，常将单元作为线弹性，把塑性变形集中在单元两端塑性铰处。,塑性铰法的基本思路是：在,步长内，计算结构,每一构件两端的弯矩增量,和,，,判别每一构件两端弯矩与极限弯矩的关系，从而去调整每一构件单元刚度矩阵，形成新的总刚矩阵：当杆两端均未形成塑性铰时，仍用弹性单元刚阵；当单元的i端弯矩超过极限弯矩而出现塑性铰时，对后期荷载，用i端为铰，j端为固的单元刚度矩阵，反之亦然；当单元的i和j端弯矩都超过极限弯矩而出现塑性铰时，对后期荷载用i和j都为铰的单元刚度矩阵。,如果在加载过程中塑性铰中的弯矩发

43、生卸载，则塑性铰消失，这一点在计算中必须注意。塑性铰法可方便地模拟结构在不断增加的荷载作用下相继出现塑性铰，以至成为机构而破坏的过程，适用于极限荷载计算，其具体计算过程在12.5中再作介绍。,12.5 桥梁结构的极限承载力及其全过程分析,极限承载力是从“极限设计”的思想中引出的概念。传统的“强度设计”以构件最大工作应力乘以安全系数等于材料的屈服应力为依据。但是，一般情况下，构件某截面开始屈服并不能代表结构完全破坏，结构所能承受的荷载通常较构件开始屈服时的荷载为大，为了利用这一强度富裕度，“极限设计”提出极限荷载的概念，即引起结构完全崩溃的荷载，并将结构的工作荷载取为极限荷载的一个固定部分。显然

44、“极限设计”更具科学性。,桥梁结构的极限承载力是指桥梁承受外荷载的最大能力。分析桥梁结构的极限承载力，不仅可以用于其极限设计，而且可以了解其结构破坏形式，准确地知道它在给定荷载下的安全贮备或超载能力，为其安全施工和营运管理提供依据和保障。,全过程分析是用于桥梁结构极限承载力分析的一种计算方法，它通过逐级增加工作荷载集度来考察结构的变形和受力特征，一直计算至结构发生破坏。从力学分析角度看，分析桥梁结构极限承载力的实质就是通过不断求解计入几何非线性和材料非线性的刚度方程，寻找其极限荷载的过程。桥梁结构在不断增加的外载作用下，结构刚度发生不断变化，当外载产生的压应力或剪应力使得结构切线刚度阵趋于奇异

45、时，结构承载能力就到达了极限，此时的外荷载即为极限荷载。因此，从理论上讲，用我们前面学过的知识就能完成桥梁结构的极限承载力分析。但在具体实施时，尚有两方面问题值得讨论。,12.5.1非线性方程的求解问题,一般结构的结构刚度阵在p-曲线上升段是正定的，在下降段为负定的。进行“全过程”分析过程中，当荷载接近极限值时，很小的荷载增量都会引起很大的位移，可能还未找到极限荷载就出现了求解失效现象。为了找到真实的极限荷载，克服下降段的不稳定现象，各国学者提出了许多算法，下面就常用的两种方法作一介绍。,1)逐步搜索法 对于只要求出极值荷载，而对P-下降段不感趣的情况，可采用逐步搜索顶点的算法。其基本思想是：

46、加一荷载增量P，计算发散后，退回上级荷载状态并改用荷载步长P/2，若计算收敛，则再加一级荷载为P/4。若加P/4后计算发散，则再改用荷载步 长为P/8。如此搜索，若原步长P预计为5%的破坏荷载，则P/4已接近1%的极限荷载，对桥梁结构来说，已可满足精度要求。当然还可向前再搜索一步到P/8。,2)位移控制法 如果在分析过程中不是控制荷载增量而是控制位移增量，则P-曲线的下降段部分便不难求得。,对于一般结构，我们可将刚度矩阵重新排列，使得要控制,=u2)排到最后一项，同时将原刚度矩阵分块，,的位移(例如,其有限元方程变为：,(12114),式中：,参考荷载向量；,控制荷载的步长系数；,求解迭代过程

47、中的不平衡力向量。,改写方程(12-114)为：,(12115),这样，求解方程时可控制指定的,值，求出相应的位移,及荷载增量比例因子,。,由于 与位移有关，求解,时需要迭代，使得,值趋于零，以满足精度要求。,需要指出，方程(12-115)中的系数矩阵,是不,对称，也不呈带状，求解时需要的存储单元较多，这是该方法的一大缺点。计算中还可以用强制迭代法、强化刚度法、弧长法等方法来克服下降段的不稳定现象，限于篇幅，本书不再赘述。,12.5.2单元模式与破坏形态的选取,首先介绍用于极限承载力分析的单元模式选取。桥梁结构分析以梁单元为主，用于极限承载力分析的梁单元模式主要有三种，一种是带有塑性铰的一般梁

48、单元；一种是不分层的等参梁单元；常常沿梁轴向和横截面上取一定数量的高斯点来反映梁元上不同点的应力、应变情况，单元刚度阵通过这些点的高斯积分来形成。这两种单元模式只适用于规则同材质的截面形式，因此，其应用受到限制。还有一种为上节介绍的分层梁元，它可以克服前面的缺点，但输入数据和计算过程都较复杂，读者应根据实际情况选用。,其次介绍破坏形态的模拟问题。当某个高斯点处出现裂缝时，其应力释放的计算比较麻烦。DR.J.Ower和E.Hinton通过将梁单元取短，并假定单元内应力、应变沿轴向不变，即沿梁轴向仅取一个高斯点的方法来解决这一问题，这样，梁元刚度阵可写成显式，一当出现裂缝，梁元便可退出工作。由此带

49、来的求解规模的增加，可以通过试探法来解决，即先对结构进行一次预分析，找出可能出现塑性区或开裂的部位，对构件加密后再作极限承载力分析。,相比之下，塑性铰法虽然精度差一些，但处理上述两个问题十分方便。下面以塑性铰法为例，说明桥梁结构的极限承载力计算步骤：,1)确定成桥状态的内力与构形；2)以成桥状态为初态，用单位计算荷载向量p进行结构分析。根据计算结果和极限弯矩，估算第一个塑性塑性铰出现时的荷载增量倍数,；,3)以,作用于结构，按全非线性进行结构分析，迭代形成第一个塑性铰和实际的荷载增量倍数；,4)检验结构是否成为机构，若是，给出极限荷载，计算结束。否则，估算出现下一个塑性塑性铰时的荷载增量倍数,

50、5)以上次计算结束时的结构状态为初态，以,作用于结构，按全非线性进行结构分析，迭代形成第i个塑性铰和实际的荷载增量倍数,6)重复4)5)的计算，直至第n个塑性铰出现时结构成为机构。此时，结构的极限荷载为:,(12116),12.6 小 结,本章首先介绍了桥梁结构稳定问题的分类及稳定理论的的发展历程。根据稳定与平衡的关系，建立了求解第一类稳定问题的控制方程，并介绍了桥梁结构第一类稳定问题的求解方法。然后，通过讨论圆弧拱稳定问题的解析解，给出了计算拱桥稳定和考虑非保向力效应的实用方法。最后，通过讨论材料非线性问题，引出了桥梁极限承载力及其全过程分析问题，指出只有通过对结构几何非线性关系以及材料非线