地理要素间的回归分析.ppt

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1、1,第五章 地理要素的回归分析（P59）,第1节 地理回归分析的意义和作用第2节 一元线性回归模型第3节 多元线性回归模型第4节 非线性回归模型的建立方法,2,第1节地理回归分析的意义和作用,相关分析揭示了地理要素之间相互关系的密切程度。但各要素之间相互关系的进一步具体化如某一要素与其他要素之间的相互关系如能用一定的函数形式予以近似地表达，那么它的实用意义将会更大。,3,在复杂地理系统中，某些要素的变化很难预测或控制，相反，另外一些要素则容易被预测或控制。若能在某些难测、难控的要素与其他易测易控的要素之间建立一种近似的函数表达式，就可以比较容易地通过那些易测、易控要素的变化情况了解那些难测、难

2、控要素的变化情况。,4,回归分析方法就是研究要素之间具体数量关系的一种强有力的工具，运用这种方法能够建立反映地理要素之间具体的数量关系的数学模型即回归模型。,5,回归分析的主要内容可概括为以下三个部分：从一组地理数据出发，确定这些要素（变量）间的定量数学表达式即回归模型；根据一个或几个要素（变量）的值来预测或控制另一个要素（因变量）的取值；从影响某一地理过程的许多要素中，找出哪些要素（变量）是主要的，哪些要素是次要的，这些要素之间又有些什么关系。(逐步回归分析),6,回归分析所研究的地理数学模型，依要素（变量）的多少可分为一元地理回归模型和多元地理回归模型。依据线性和非线性关系可分为线性回归模

3、型和非线性回归模型。,7,第2节 一元线性回归模型,2.1一元线性回归模型的定义2.2参数a和b的最小二乘估计2.3一元线性回归模型的建立方法与步骤2.4一元线性回归模型的显著性检验,8,2.1一元线性回归模型的定义,假设有两个地理要素（变量）x和y，x为自变量，y为因变量。则一元线性回归模型的基本结构形式为：,9,参数A,B未知，需要根据y与x的观测值采用最小二乘法来估计。设a和b分别为参数A和B的最小二乘估计值（拟合值），则得到一元线性回归模型为：公式（5.2）代表x与y之间相关关系的拟合直线(回归直线)。,10,2.2参数a和b的最小二乘估计,11,12,13,14,15,2.3一元线性

4、回归模型的建立方法与步骤,建立一元线性回归模型的过程就是用变量xi和yi的实际观测数据来确定a和b的值。例1：在下表（表5.1）中，将国内生产总值看作因变量y，将第一产业总产值看作自变量x，试建立它们之间的一元线性回归模型。,16,17,解答：,18,19,用SPSS求算上例,将表5.1的数据输入或复制到SPSS中：,20,进入线性回归分析界面,21,进行自变量和因变量设置,22,分析计算结果（一）,23,分析计算结果（二）,24,2.4一元线性回归模型的显著性检验,回归模型建立后需要对模型的可信度进行检验，以鉴定模型的质量。线性回归模型的显著性检验采用F检验。在回归分析中，y的n次观测值y1

5、，y2，yn之间的差异，可以用观测值yi与其平均值的离差平方和来表示即总的离差平方和，记为：,25,26,27,28,方差分析：把平方和与自由度同时进行分解，并用F检验法对整个回归方程进行显著性检验。具体检验时常在方差分析表上进行（见表5.2）。,29,我们来检验例1中所建立回归方程的显著性情况。,30,31,32,课堂练习,训练学生课堂计算教材P60实例（利用spss软件进行）,33,条件许可情况下课堂演示计算教材P60实例（利用MATLAB软件进行）数据已经准备在P65文本文件中的第一个。,34,第3节 多元线性回归模型,3.1多元线性回归模型的建立3.2多元线性回归模型的显著性检验,35

6、,地理系统具有多要素性，而且各要素间相互联系、相互影响和相互制约。当研究某一个要素y与其他要素x1，x2，xn之间的定量关系时需要用多元回归分析方法。多元地理回归模型更带有普遍性的意义。,36,3.1多元线性回归模型的建立,设某一要素y受k个要素x1，x2，xk的影响，其内在联系是线性关系，通过N组观测，得到一组地理数据为ya，xa1，xa2，xak，a1，2，n。多元线性回归模型的数学结构模型为：,37,38,偏回归系数的意义：当其它要素（自变量）都固定时，该自变量每变化一个单位而使因变量（y）平均改变的数值。回归模型在几何上表示一个超平面，也可称为y对x1，x2，xk的回归平面。依最小二乘

7、法原理，即有：,39,40,方程组（5.12）式经展开整理后得：,41,方程组（5.13）式为正规方程组。由其系数所构成的矩阵记做A，则A=XX,即：,42,显然，A为对称矩阵。正规方程组（5.13）式右端的常数项所构成的矩阵记做B，则B=XY，即,43,当求出偏回归系数bj和常数项b0后再代入（5.11）式即可得k元线性地理回归模型。,44,例2：某地区城市公共交通营运总额y与城市人口总数x1以及工农业总产值x2的年平均统计数据如表5.4所示。试建立y与x1及x2之间的线性回归模型。,45,解：据表5.4中的数据，有,46,由于计算量巨大，建立多元线性地理回归模型一般采用计算机来完成。以下分

8、别介绍利用Matlab和统计软件SPSS来建立该实例的多元地理回归模型步骤。,47,利用Matlab计算例2的多元地理回归模型,在课堂进行具体演示（数据已经准备在P65文本文件中的第2个。）,48,49,利用SPSS建立例2的多元地理回归模型,在数据编辑器中输入原始数据或从EXCEL软件中复制粘贴过来。,50,按照此步骤打开“线性回归”对话框。,51,将因变量y输入到此框中,将自变量x1，x2输入此框中,52,在SPSS中根据多元回归时自变量选择的不同，多元回归可以有不同的计算方法。,53,（1）全回归法（Enter）,进行全回归时，所有的自变量进入回归方程。使用此种方法，一般具有较高的回归系

9、数，但一些对因变量没有显著影响的自变量也可能进入回归方程。,54,（2）向前法（Forward）,该方法先比较所有自变量与因变量的偏相关系数，然后选择最大的一个作回归系数显著性检验，决定其是否进入回归方程；缺点：某自变量选入方程后，就一直留在方程中，不再剔除，故该法又称“只进不出法”；由于在较早阶段进入回归方程的当时认为最好的变量在较晚阶段可能因为它与方程中其他变量之间的相互关系而显得不再重要，因而有剔除的必要，但向前法做不到这一点。,55,（3）向后法（Backward）,与向前法相反，向后法称为“只出不进法”；该法首先计算包含所有变量的回归方程，然后用偏F检验逐个剔除对因变量无显著影响的自

10、变量，直到每一个自变量在偏F检验下都有显著性结果为止；优点：该法得到的结果比全回归法的简洁；缺点：变量在向后消元过程中如果被剔除，它将永远不会在方程中重新出现，但该变量可能在其他变量剔除以后又对因变量有显著影响。,56,（4）逐步回归法（Stepwise）,该法是对向前法的改进，它首先对偏相关系数最大的变量作回归系数显著性检验，以决定该变量是否进入回归方程；然后对方程中的每个变量作为最后选入方程的变量求出偏F值，对偏F值最小的那个变量作偏F检验，决定它是否留在回归方程中。重复此过程，直至没有变量被引入，也没有变量可剔除时为止。应用该法，既有引入变量也有剔除变量，原来被剔除的变量在后面又可能被引

11、入到回归方程中来。该法是目前应用较为广泛的一种多元回归方法。,57,我们应用全回归方法对实例2进行多元回归分析，得出一系列的运算结果表(简单介绍如下)。,58,变量输入输出表,输入的变量,剔除的变量,采用的方法是全回归,59,模型综述表,相关系数,相关系数的平方,估计值的标准误差,调整的相关系数的平方值,60,方差分析表,61,系数分析表,表中列出了常数项和各个自变量对应的非标准化系数、标准化系数、t值和显著性水平（sig.）综合以上信息，用全回归方法最后得到的多元线性回归方程式为：,62,3.2多元线性回归模型的显著性检验 P66,与一元线性回归模型一样，当多元线性回归模型建立以后也需要进行

12、显著性检验。如果经过检验是显著的则说明建立的回归模型是有用的，否则就毫无意义。,63,与前面的一元线性回归分析一样，因变量y的观测值y1，y2，yn之间的波动或差异是由两个因素引起的，一是由于自变量x1，x2，xk的取值不同，另一是受其他随机因素的影响引起。为了从y的总变差中把它们区分开来，就需要对回归模型进行方差分析，也就是将y的总离差平方和S总（或Lyy）分解成两个部分，即回归平方和U与剩余平方和Q，即:S总LyyU+Q,64,在多元线性回归分析中，回归平方和表示的是所有k个自变量对y的变差的总影响，它可以按公式:由以上公式可知：多个自变量与一个自变量的情况完全相似，即回归平方和越大，则剩

13、余平方和越小，线性关系越密切，回归效果越好，方程的预测精度就越高。,65,在多元回归中，各个平方和的自由度按下述原则来确定：总平方和Lyy的自由度为n-1；回归平方和的自由度等于自变量的个数k；剩余平方和的自由度等于nk1。剩余平方和除以它的自由度称为方差（均方），即：S2=Q/(n-K-1)在多元线性回归问题上，对整个回归进行显著性检验时，通常用F检验法。检验的F统计量为：,66,当统计量F计算出来后就可以查F分布表对模型进行显著性检验。F分布表中有两个自由度，f1表示回归平方和的自由度k（第一自由度），f2表示剩余平方和的自由度nk1（第二自由度）。,67,在进行检验时，首先列出多元线性回

14、归方差分析表（见表5.9），然后查F分布表。在F分布表中列有三种不同显著水平的值（0.10，0.05，0.01）并与其相应的自由度数，将这三种具有不同显著性水平的F临界值与方差分析表中所计算出来的F值进行比较：当FF0.10(k,nk1)则称线性回归不显著，它表示y与k个自变量的线性关系不密切；当F值大于某一显著性水平下的F临界值，则反映出线性回归在该值水平上显著。,68,69,在置信水平0.01下查F分布表（P306）得：F0.01(2，11)7.21。由于F38.722 F0.01(2，11)7.21,所以例2所建立的回归方程在置信水平0.01下是显著的。同样，在SPSS软件计算的输出结果

15、中其F值为38.722（见后页）。,70,71,课堂练习,学生课堂演示计算教材P65实例（利用spss或Matlab软件进行）建立二元线性回归方程。,72,73,74,第4节非线性回归模型的建立方法,4.1一元非线性地理回归模型的建立4.2多元非线性地理回归模型的建立,75,在复杂的地理系统中除线性关系外，要素之间的非线性关系也大量存在。这时选择适当的类型曲线比配直线更符合地理实际情况。,76,4.1一元非线性地理回归模型的建立P67,选配曲线与非线性关系的线性化1.选配曲线的概念曲线选配：根据理论分析、过去的经验或观测数据的分布趋势与特点来确定两个要素之间的曲线类型及其函数形式，从而求非线性

16、地理回归模型的过程及其方法。,77,当曲线的函数类型确定后，下一步就是求函数中的参数a和b。确定未知参数最常用的方法仍是最小二乘法。而对许多函数类型来说都是先通过变量变换，把非线性的函数关系化为线性关系，然后再用求线性回归的办法来确定未知参数。,78,2.非线性关系的线性化,非线性关系线性化我们主要注意以下七种情况：,79,80,地理上常见非线性回归模型的建立方法在地理问题上较常见的曲线类型有幂函数型、指数函数型和对数函数型等。以下我们主要结合实际例子来说明非线性地理回归模型的具体建立方法与步骤。,81,（1）幂函数型我们从前面非线性关系的线性化内容可以知道，两个地理要素（变量）之间的幂函数表

17、达式为：,82,例3：长白山北麓熔岩台地地貌形态的变化（见表5.10）呈幂函数曲线形。X表示各地点距白头山天池火山口壁的距离（km），y为熔岩台地各地点的海拔高度（m）。试建立其回归模型。,83,解：,84,表5.11线性回归模型建立计算表,85,86,（2）指数函数型（计算原理一样,略）（3）对数函数型（计算原理一样，略）,87,课堂练习,学生演示计算教材P68页的求解。Excel和SPSS两个软件结合。原始数据已经在05data_p69中准备好。,88,一元非线性回归模型的效果检验,在配曲线的回归过程中，首先遇到的问题是曲线类型的选择。曲线类型选得恰当不仅对揭示出要素间的内在规律具有重要意

18、义，而且对于减少剩余误差、提高回归模型的效果更具有实际意义。否则，其结果往往不能令人满意，甚至会歪曲要素间的内在规律性。因此需要对曲线回归模型进行效果检验。,89,在配曲线的回归中，要求所选配曲线与地理数据拟合较好，因此可用相关指数R2作为衡量所配曲线效果好坏的指标。即：,90,相关指数R2越大表明选配的回归曲线效果越好，剩余标准差越小，其回归模型的预测精度就越高。现以例3表5.10中数据为例来进行曲线回归模型的效果检验。（1）根据表5.10中数据，计算出其剩余平方和与总平方和如表5.12所示。,91,92,（2）根据公式计算相关指数。相关指数为：R21-Q/Lyy=1-1201.14/547

19、191.3333=0.9978此外也可以计算出剩余标准差：由上可见，距离火山口壁距离对海拔高程地形变化的模型拟合效果很好，而且剩余标准差也很小，因此模型的预测精度很高。,93,4.2多元非线性地理回归模型的建立,在地理系统中，除部分问题是属线性关系外，还有大部分问题属于非线性关系。因此，需要进一步研究多元非线性地理回归模型的建立方法。我们重点介绍多项式回归模型多元非线性地理回归模型的建立方法。,94,在地理系统中由于各要素间关系十分错综复杂，有些回归曲线经过变量变换后可化为直线处理，但也有些曲线不能化为直线处理，如二次多项式就不能通过变量变换线性化，但可将它化为二元线性回归模型，然后按照多元线

20、性回归分析方法处理。,95,由此可以推广到包括许多要素（自变量）的任意形式:这种方法可以处理相当一类非线性回归问题。它在回归分析中占有重要的地位，其原因主要在于任何函数都可在较小区间内用多项式来逐步逼近。因此，在分析某一要素与其他要素的定量关系时，可不问y与x的确切关系，可直接用多项式回归进行分析与计算，其效果往往较好。,96,97,例4：下表（表5.13）为黑龙江省实测的土温与地积温系数原始数据，试建立反映两者关系的二次多项式回归模型。,98,解：基本原理和传统计算方法（略）我们介绍利用SPSS软件来求解。,99,利用SPSS软件求解例4的方法与步骤,该实例可以利用SPSS软件中的曲线拟合功

21、能求解。将数据输入或从EXCEL软件中复制粘贴。,100,按照此步骤进入“曲线拟合”对话框,101,在“曲线拟合”对话框中进行相关设置。,输入因变量,输入自变量,102,选择此项，在回归方程式中包含常数项,选择此项，生成拟合曲线图,103,选择此项，显示ANOVA表（方差分析表）,104,在Models方框中选择拟合模型。,105,Linear：拟合线性方程Yb0+b1XQuadratic：拟合二次方程Y=b0+b1X+b2X2；Compound：拟合复合曲线模型Y=b0b1X；Growth：拟合等比级数曲线模型Y=e(b0+b1X)；Logarithmic：拟合对数方程Y=b0+b1lnX；

22、Cubic：拟合三次方程Y=b0+b1X+b2X2+b3X3；S：拟合S形曲线Y=e(b0+b1/X)；Exponential：拟合指数方程Y=b0eb1X；Inverse：数据按Y=b0+b1/X进行变换；Power：拟合乘幂曲线模型Y=b0Xb1；Logistic：拟合Logistic曲线模型Y=1/（1/u+b0b1X），如选择该线型则要求输入上界。,106,在我们的实例中参数设置如下图所示：,107,运行后可计算得到一些图表。,以上结果中各列数据的意义分别为：Dependent：因变量；Mth：进行拟合时所使用的模型；Rsq：相关系数的平方 d.f.：自由度 F：F值Sigf：显著性水平 b0-b3:模型中待定系数的拟合值,108,各模型拟合曲线图,109,二次多项式拟合曲线图,110,故我们可以得到多项式回归方程式为,111,在Excel中画出散点分布图检验拟合情况。从图5.1来看,拟合效果很好。,112,113,114,115,The End,