导数四则运算33反函数与复合函数的求导规则.ppt

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1、二、反函数的求导法则,三、复合函数的求导法则,一、函数的和、差、积、商的求导法则,3.2-3.3 函数的求导法则,上页,下页,铃,结束,返回,首页,四、基本求导法则与导数公式,一、函数的和、差、积、商的求导法则,定理1 如果函数uu(x)及vv(x)在点x具有导数 那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点x具有导数 并且,下页,u(x)v(x)=u(x)v(x),u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x),证:,设,则,故结论成立.,(2),证:设,则有,故结论成立.,(3),证:设,则有,故结论成立.,求导法则的推广(uvw)=uvw(uvw)=uvw+uvw+uvw 特

2、殊情况(Cu)=Cu,求导法则,下页,例1,求导法则,例2,解,例3.,解:,求导法则,求导法则,例4,解,求导法则,用类似方法还可求得,(tan x)=sec2x,(sec x)=sec x tan x,例5 ycotx 求y,解,例6 ycsc x 求y,解,首页,解,解,二、反函数的求导法则,定理2 如果函数xf(y)在某区间Iy内单调、可导且f(y)0 那么它的反函数yf 1(x)在对应区间Ixf(Iy)内也可导 并且,简要证明,由于xf(y)可导(从而连续)所以xf(y)的反函数yf 1(x)连续,当x0时 y0 所以,下页,即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.,例2 求(arc

3、tan x)及(arccot x),解,因为y=arctan x是x=tan y的反函数 所以,例1 求(arcsin x)及(arccos x),解,因为y=arcsin x是x=sin y的反函数 所以,反函数的求导法则:,首页,反函数的求导法则:,例3,解,另一方面，,于是,从而可得公式,三、复合函数的求导法则,三、复合函数的求导法则,定理3 如果ug(x)在点x可导 函数yf(u)在点ug(x)可导 则复合函数yfg(x)在点x可导 且其导数为,简要证明,则Du0 此时有,假定u=j(x)在x的某邻域内不等于常数,下页,解,复合函数的求导法则:,解,下页,解,复合函数的求导法则:,下页

4、,解,例5,解,复合函数的求导法则:,解,例6,复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形例如 设yf(u)u(v)v(x)则,复合函数的求导法则:,复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形例如 设yf(u)u(v)v(x)则,例7,解,例8,解,解,例9,例10,解,四、基本求导法则与导数公式,基本初等函数的导数公式,(1)(C)0(2)(xm)m xm1(3)(sin x)cos x(4)(cos x)sin x(5)(tan x)sec2x(6)(cot x)csc2x(7)(sec x)sec xtan x(8)(csc x)csc xcot x(9)(a x)a x ln a(10)(e x)ex,下页,函数的和、差、积、商的求导法则,复合函数的求导法则,反函数求导法,四、基本求导法则与导数公式,(1)(u v)=u v(2)(Cu)=Cu(C是常数)(3)(uv)=uv+u v,下页,