定积分的概念和性质积分上限函数及其导数.ppt

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1、第十讲 定积分的概念和性质,积分学,不定积分,定积分,变上限积分函数,一、定积分的概念,二、定积分的性质,三、变上限积分函数,1、定积分问题举例,1)曲边梯形的面积,设曲边梯形是由连续曲线,以及两直线,所围成,求其面积 A.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,矩形面积,梯形面积,一、定积分的概念,解决步骤:,a)大化小.,在区间 a,b 中任意插入 n 1 个分点,用直线,将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;,b)常代变.,在第i 个窄曲边梯形上任取,作以,为底,为高的小矩形,并以此小,梯形面积近似代替相应,窄曲边梯形面积,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,c)近似和.,d)取极限.,令

2、,则曲边梯形面积,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2)变速直线运动的路程,设某物体作直线运动,且,求在运动时间内物体所经过的路程 s.,解决步骤:,a)大化小.,将它分成,在每个小段上物体经,b)常代变.,得,已知速度,机动 目录 上页 下页 返回 结束,n 个小段,过的路程为,c)近似和.,d)取极限.,上述两个问题的共性:,解决问题的方法步骤相同:,“大化小,常代变,近似和,取极限”,所求量极限结构式相同:,特殊乘积和式的极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2、定积分定义,任一种分法,任取,总趋于确定的极限 I,则称此极限 I 为函数,在区间,上的定积分,即,此时称 f(x)在

3、a,b 上可积.,记作,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分,变量用什么字母表示无关,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3、定积分的几何意义:,曲边梯形面积,曲边梯形面积的负值,各部分面积的代数和（几何意义）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理1.,定理2.,且只有有限个间断点,4、可积的充分条件:,(证明略),例1.利用定义计算定积分,解:,将 0,1 n 等分,分点为,取,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注,注 目录 上页 下页 返回 结束,注 利用,得,两端分别相加,得,即,例2.用定积分表示下列极限:,解:,机动 目录 上

4、页 下页 返回 结束,说明:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,根据定积,分定义可得如下近似计算方法:,将 a,b 分成 n 等份:,(左矩形公式),(右矩形公式),(梯形公式),为了提高精度,还可建立更好的求积公式,例如辛普森,机动 目录 上页 下页 返回 结束,公式,复化求积公式等,并有现成的数学软件可供调用.,二、定积分的性质,(设所列定积分都存在),(k 为常数),机动 目录 上页 下页 返回 结束,推论1.若在 a,b 上,则,6.若在 a,b 上,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,推论2.,7.设,则,8.积分中值定理,则至少存在一点,使,性质7 目录 上页 下页 返回 结

5、束,说明:,可把,积分中值定理对,是有限个数的平均值概念的推广.,例3.,计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均,速度.,解:已知自由落体速度为,故所求平均速度,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1.用定积分表示下述极限:,解:,或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、积分上限的函数及其导数,在变速直线运动中,已知位置函数,与速度函数,之间有关系:,物体在时间间隔,内经过的路程为,这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1、引例,2、积分上限函数及其导数,则变上限函数,证:,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理1.若,说明:,1)定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.,2)变限积分求导:,同时为,通过原函数计算定积分开辟了道路.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.求,解:,原式,说明 目录 上页 下页 返回 结束,例5.,确定常数 a,b,c 的值,使,解:,原式=,c 0,故,又由,得,例6.,证明,在,内为单调递增函数.,证:,只要证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,